熱環境下彈性地基上多孔FGM 圓板的自由振動特性

滕兆春 ，王偉斌，薛剛

（蘭州理工大學 理學院，甘肅 蘭州 730050）

功能梯度材料（Functionally Graded Materials，FGM）是一種新型的非均勻復合材料，其作為智能化材料的典型代表，在工程領域內應用廣泛［1］.隨著新型材料的興起，FGM 圓板/環板作為核工業、航天、機械和土木等工程中常見的重要功能結構元件，在工程實際中具有較多的應用背景，尤其是應用于高溫工況中.為了準確評估FGM 結構的機械行為和為工程設計提供理論依據，許多學者先后展開了大量的研究工作.

目前，關于FGM 圓板結構的力學行為研究已有較多的研究成果，具體可參考Boutahar 等［2］、Allahverdizadeh 等［3］、Ma 等［4］和李世榮等［5］諸多學者的系列研究工作.近年來，許多研究者對FGM 圓板/環板結構的靜動態響應分析，如屈曲和振動方面做了大量的工作，可見文獻［6-7］.由于FGM 圓板/環板是大多數結構的關鍵元件，以下文獻集中利用不同理論和不同方法對FGM圓板/環板力學行為進行研究.如Hosseini-Hashemi 等［8］基于一階剪切變形Mindlin 理論，給出了階梯厚度圓形和環形功能梯度板自由振動的精確解.利用分離變量法求解了其自由振動，研究了FGM 板的幾何參數和材料參數，如階梯厚度比、階梯位置和梯度指數對固有頻率的影響.Asemi等［9］首次采用三維彈性理論，研究了FGM 環形、扇形板的剪切屈曲問題，詳細研究了載荷、邊界條件、梯度指數和扇形角等對FGM 環形、扇形板剪切屈曲載荷和振型的影響.Malekzadeh 等［10］基于三維彈性理論，研究了熱環境下FGM 厚環板的自由振動分析，應用微分求積法（DQM）求解了熱彈性平衡方程和自由振動方程，研究了溫升、材料和幾何參數對固有頻率的影響.Tajeddini 等［11］基于線性、小應變和精確彈性理論，分析了Pasternak 地基上徑向變厚度的厚各向同性材料和FGM 圓形及環形板的三維自由振動問題，并利用多項式Ritz法求解了特征值問題.

在此研究基礎上，考慮到FGM 構件的實際應用背景和材料自身情況，如FGM 微納米器件和多孔FGM 等，許多研究者相繼將微觀理論和多孔材料特性等應用于FGM 圓板開展研究，如Goodarzi 等［12］利用修正應變梯度理論（MSGT）和修正偶應力理論（MCST），研究了黏彈性地基上圓形和環形納米板的熱-機振動問題，使用微分求積法（DQM）和伽遼金法求解控制方程，研究了尺寸相關、平面預緊力、溫度變化和彈性介質等因素對固有頻率的影響.Eshraghi等［13］給出了統一表示的位移場，基于修正的偶應力理論介紹了熱載FGM 環形和圓形微板的靜力彎曲和自由振動問題的求解方法，分析了熱載荷、材料和幾何參數對靜態變形、應力和自振頻率的影響.Jabbari 等［14］研究了具有壓電驅動器層的多孔材料徑向實心圓板的熱屈曲，利用變分得到了壓電多孔板的控制方程，給出了圓板在溫度載荷作用下的封閉解，分析了多孔板厚度、孔分布、壓電厚度、外加驅動電壓和孔隙率變化對臨界溫度載荷的影響.Behravan等［15］基于三維彈性理論，分析了受非均勻面力和非對稱Kerr 彈性地基上非軸對稱變厚度FGM 多孔圓板的磁-彈問題，基于徑向和厚度方向上的微分求積和狀態空間矢量技術，討論了面力、邊界條件和彈性地基對位移、應力、電磁應力和磁擾動量的影響.Rahmani 等［16］通過考慮兩種類型的孔隙率分布，首次應用修正的高階夾層板理論，使用伽遼金法研究了兩種多孔FGM圓形夾層板的振動特性.

綜上所述，已有關于FGM 圓板的文獻表明，對多孔FGM 圓板的研究則相對較少，同時一些研究結果也很好地驗證了微分變換法（Differential Transformation Method，DTM）在求解特征值問題時的實用性和有效性［17］.目前關于熱環境下彈性地基上多孔FGM 圓板自由振動問題的研究在國內外還鮮見有文獻報道，因此本文考慮均勻分布孔隙引入力學模型，采用DTM 對不同溫度場中多孔FGM 圓板自由振動展開研究，分析梯度指數、孔隙率、升溫、邊界條件、厚度與半徑比和彈性地基系數等對多孔FGM 圓板無量綱固有頻率以及相關各參數對臨界溫升值的影響，為今后多孔FGM圓板的研究提供數據支撐.

1 多孔FGM 圓板的物性參數

1.1 材料物性描述

如圖1（a）所示，選取柱坐標(r，θ，z)分別表示徑向、環向和橫向坐標，建立彈性地基上多孔FGM 圓板的力學模型.多孔FGM 圓板半徑為R，厚度為h，kw為Winkler 彈性剛度系數，上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，含均勻孔隙FGM 各物性參數P(z，T)（彈性模量E、密度ρ和熱膨脹系數α）可用改進的混合冪律公式表示［18］：

圖1 彈性地基上多孔FGM圓板的幾何模型和橫截面上均勻分布的孔隙Fig.1 Geometric model of porous FGM circular plate on elastic foundation and uniformly distributed pores in cross section

式中：n為梯度指數；Pc、Pm分別表示無孔隙時陶瓷和金屬材料的物性參數；β為孔隙率，均勻分布的孔隙如圖1（b）所示.

上述金屬和陶瓷的某一物性參數P隨溫度T的變化可采用 Touloukian 非線性函數［19］統一表述為：

式中：P0、P-1、P1、P2和P3為溫度相關的系數，一般由實驗給出，見表4.

1.2 溫度場描述

在不考慮材料導熱率情況下，本文給出一種統一的溫度場表達式，可以更好地描述溫度場

式中：ΔT=Tc-Tm表示多孔FGM 圓板上下表面溫度差，Tc和Tm分別為上下表面溫度值；η為溫度指數.當Tm=T0=300 K時，表示無應力狀態的參考溫度，此時當η=0 時為均勻升溫，當η=1 時為線性升溫，當η取其他值時均為非線性升溫.

將式（2）、式（3）代入式（1），即可得到不同孔隙率下多孔FGM圓板的物性參數.

2 控制微分方程的推導與DTM變換

2.1 無量綱控制微分方程

基于小撓度假設和一階剪切變形理論，多孔FGM圓板的位移分量如下：

式中：ur、uθ和uz分別表示圓板徑向、環向和橫向位移；φ為法線的轉角；w為橫向位移；t為時間；z0為物理中面.物理中面內應力分量與應變分量為零，其表達式如下［20］：

圓板考慮軸對稱，其幾何方程為：

式中：εr、εθ和γrz分別表示徑向應變、環向應變和切應變.物理方程為

式中：σr，σθ和τrz分別表示徑向應力、環向應力和切應力；ν為泊松比；T0表示無應力狀態的參考溫度，本文取T0=300 K.

多孔FGM 圓板單位面積的薄膜力和彎矩分別為：

式中：B、C、D為剛度系數；κs為剪切修正系數，且取κs=π212；NT和MT分別為熱軸力和熱彎矩，可定義為

應用Hamilton 變分原理可推導出熱環境下彈性地基上多孔FGM 圓板的自由振動問題的控制微分方程.Hamilton原理如下：

式中：Π 為Hamilton 作用量；S、U和V分別為系統的動能、應變能和外力做的功；δ為變分符號；t1和t2分別表示系統運動的初始時刻和終止時刻.

可得多孔FGM圓板的動能的變分為：

慣性系數為：

其中，

多孔FGM圓板的應變能的變分為：

多孔FGM圓板的外力做功的變分為：

式中：kw為Winkler彈性剛度系數.利用上述Hamilton原理，可得到多孔FGM 圓板的熱環境下彈性地基上多孔FGM圓板自由振動的控制微分方程.

將式（8）～式（12）代入式（17）和式（18），并假設多孔FGM 圓板做簡諧振動，令w(r，t)=wˉ(r)cosωt，φ(r，t)=-φ(r)cosωt，其中ω是多孔FGM圓板的固有頻率，wˉ(r)和-φ(r)是形狀函數.代入式（17）、式（18），可以得到多孔FGM圓板的運動控制微分方程為：

引入如下無量綱參數：

式中：λ為厚度與半徑比；Kw為無量綱Winkler 彈性剛度系數為無量綱熱載荷；Ω為無量綱固有頻率.

綜上可得到熱環境下彈性地基上多孔FGM 圓板自由振動的無量綱控制微分方程

對于熱環境下彈性地基上多孔FGM 圓板自由振動問題，本文考慮了兩種邊界條件，其形式如下：

ξ=0，圓板中心邊界為：

2.2 DTM變換

對于熱環境下彈性地基上多孔FGM 圓板自由振動的無量綱控制微分方程組（20）、（21）的特征值問題，這里采用一種半解析方法——微分變換法（DTM）進行求解.該方法在求解特征值問題時具有過程簡單、編程方便的特點，且對于特征值無需經逆變換過程即可得到［17，21］.按照DTM的求解過程及原理［22］，將其無量綱控制微分方程組轉換為如下的迭代代數方程組可表示為：

邊界條件的DTM變換如下：

ξ=0，圓板中心邊界為：

3 算例分析與數值討論

應用MATLAB 軟件編寫相關程序，由此可得到通過DTM 求解多孔FGM 圓板自由振動時的無量綱固有頻率.為了驗證DTM 的正確性，不考慮材料受溫度依賴，經算例1 退化為孔隙率為零時的FGM 圓板，得到表1、表2 和表3 結果，并與文獻［23］和［24］中的結果進行比較.考慮材料受溫度依賴，經算例2得到圖2～圖9新的結果.

表1 固支和簡支邊界條件下一階剪切變形理論和經典板理論的無量綱固有頻率對比（λ=0.01）Tab.1 Comparison of dimensionless natural frequencies between first-order shear deformation theory and classical plate theory under C and S boundary conditions（λ=0.01）

表2 固支和簡支邊界條件下不同梯度指數對FGM 圓板無量綱固有頻率的影響（λ=0.05）Tab.2 Effects of different gradient indices on the dimensionless natural frequencies of FGM circular plates under C and S boundary conditions（λ=0.05）

表3 固支和簡支邊界條件下不同Winkler系數對FGM 圓板無量綱固有頻率的影響Tab.3 Effect of different Winkler parameter on the dimensionless natural frequency of FGM circular plate under C and S boundary conditions

圖2 均勻升溫下梯度指數對無量綱前三階固有頻率的影響曲線Fig.2 The influence curve of gradient index on the first three dimensionless natural frequencies under uniform temperature rise

算例1：表1 給出了在固支（C）和簡支（S）邊界條件下，FGM 圓板取不同梯度指數時，基于經典板理論（CPT）的前兩階固有頻率［23］與本文基于一階剪切變形理論（FSDT）的DTM 解對比，發現DTM 求出的解與文獻解在準確性和精度上完全吻合.其中取ρc=3 800 kg/m3，ρm=2 700 kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa，ν=0.3，λ=0.01，β=0.

表2 和表3 為固支（C）和簡支（S）邊界條件下，不同梯度指數和Winkler 系數下，基于一階剪切變形理論（FSDT）得到FGM 圓板和彈性地基上FGM圓板振動的無量綱前兩階固有頻率，若依據文獻［24］對剛度無量綱過程處理方法，得到本文解?與之對照，發現其數值結果完全吻合.本文在剛度無量綱過程中與文獻［24］不同，引入了物理中面，雖然文中拉-彎耦合剛度為零，但對結構的耦合影響被帶入彎曲剛度D和慣性剛度I2中，所以得到本文解??與表3 中無量綱前兩階固有頻率略有差別，但也進一步證明了DTM 的精度滿足要求，其中取ρc=3 800 kg/m3，ρm=2 702 kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa，ν=0.3，β=0.

算例2：圖2～圖9 中各物性參數均遵循表4 中的實驗數據，由于泊松比的取值對振動頻率幾乎沒有影響，故在此ν取常數.

表4 陶瓷和金屬材料物性參數的溫度相關系數［19］Tab.4 Temperature correlation coefficient of physical parameters of ceramic and metal materials

圖2 和圖3 為多孔FGM 圓板在固支（C）和簡支（S）邊界下，當β=0.1，λ=1，Kw=10，ΔT=100 K時，不同梯度指數對無量綱前三階固有頻率Ω的影響曲線.可以看出在溫度指數一定時，隨著梯度指數n的增加，多孔FGM 圓板的無量綱固有頻率Ω逐漸下降，當n在小值范圍取值時（1 附近），無量綱固有頻率Ω（減小的）波動很劇烈；當n在較大值范圍取值時，無量綱固有頻率變化趨于平緩.合理解釋了FGM中陶瓷材料向金屬材料過渡的特性.溫度指數的變化表示升溫類型的變化，均勻升溫（η=0）和線性升溫（η=1）類型下，梯度指數對固有頻率的影響趨勢基本一致，當梯度指數n一定時，隨著溫度指數η增大，無量綱固有頻率在增大，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大.

圖3 線性升溫下梯度指數對無量綱前三階固有頻率的影響曲線Fig.3 The influence curve of gradient index on the first three dimensionless natural frequencies under linear temperature rise

圖4為多孔FGM 圓板在固支（C）和簡支（S）邊界下，當β=0.1，n=1，Kw=10，ΔT=100 K時，不同溫度指數和厚度與半徑比λ對無量固有綱頻率Ω的影響曲線.可以看出隨著厚度與半徑比λ的增大，多孔FGM圓板的無量綱固有頻率Ω在非線性單調減小，λ的取值在0.15～0.35 之間，C 邊界下一階固有頻率減小的速度較快，S 邊界下減小得較緩慢，而兩種邊界下二階固有頻率減小的速度均較快.當厚度與半徑比λ一定時，隨著溫度指數η增大，無量綱固有頻率增大，邊界約束越強，無量綱頻率越大.

圖4 不同厚度與半徑比，不同溫度指數對無量綱前兩階固有頻率的影響曲線Fig.4 The influence curve of different thickness-to-diameter ratio and different temperature index on the first two order dimensionless natural frequencies

圖5為多孔FGM 圓板在固支（C）和簡支（S）邊界下，當β=0.1，n=1，Kw=0，λ=0.1和不同溫度指數時，溫升值對無量綱基頻Ω1的影響曲線.由結構穩定性理論［25］可知，當結構自振基頻為零時，意味著結構構件發生失穩，所加載荷為最危險載荷即臨界屈曲載荷，此時對應的溫度即為臨界屈曲溫度.由圖5可見，隨著溫升值的增加，多孔FGM 圓板的無量綱頻率逐漸下降，具體表現在無量綱基頻Ω1均隨溫升值的增大而減小，由于材料受溫度依賴性溫度300 K ≤T≤1 100 K［26］，當溫升值取800 K 以內時，η=0 時，表示均勻升溫下，無量綱基頻Ω1減小至臨界升溫ΔTcr（或臨界屈曲溫度Tcr=T0+ΔTcr），（C 邊界下，ΔTcr=679 K，S 邊界下，ΔTcr=278 K），結構發生熱屈曲而失穩，此時達到臨界平衡狀態，即Ω=0.當η=1時，表示線性升溫，S邊界同樣減小至臨界升溫，此時ΔTcr=490 K，發生熱屈曲，C 邊界只有減小的趨勢.同樣，邊界約束越弱，達到臨界熱屈曲時的溫升值越小.

圖5 不同升溫類型對無量綱基頻的影響曲線Fig.5 The influence curve of different heating types on dimensionless fundamental frequency

圖6 和圖7 反映了固支（C）和簡支（S）邊界和不同升溫類型下，當ΔT=100 K，n=1，β=0.1，λ=0.1時，孔隙率β對多孔FGM 圓板無量綱前兩階固有頻率Ω的影響曲線.圖中顯示：均勻升溫（η=0）和線性升溫（η=1）類型下，孔隙率β對無量綱固有頻率Ω的影響趨勢基本一致，當升溫類型和溫升值一定時，隨著孔隙率β的增大，多孔FGM 圓板的無量綱固有頻率逐漸上升，是因為孔隙的存在不僅削弱了FGM圓板的整體剛度，同時也降低了等效質量，此時質量的弱化強于剛度弱化.當孔隙率β一定時，隨著溫升值增大，無量綱固有頻率減小，邊界約束越弱，無量綱固有頻率越小.

圖6 均勻升溫下孔隙率對無量綱前兩階固有頻率的影響曲線Fig.6 The influence curve of porosity on the first two dimensionless natural frequencies under uniform temperature rise

圖7 線性升溫下孔隙率對無量綱前兩階固有頻率的影響曲線Fig.7 The influence curve of porosity on the first two dimensionless natural frequencies under linear temperature rise

圖8 和圖9 給出了在固支（C）和簡支（S）邊界條件下，當ΔT=100 K，n=1，β=0.1，λ=0.1 時，無量綱Winkler 彈性剛度系數Kw對無量綱固有頻率Ω的影響.結果表明：當無量綱彈性剛度系數增大時，無量綱固有頻率增大，且無量綱二階固有頻率幾乎呈線性變化.當剛度系數增大時，增強了結構的整體剛度，且當彈性剛度系數Kw一定時，邊界約束越強，無量綱固有頻率越大.

圖8 均勻升溫下無量綱Winkler彈性剛度系數對無量綱前兩階固有頻率的影響曲線Fig.8 The influence curve of dimensionless Winkler elastic stiffness coefficient on the first two dimensionless natural frequencies under uniform temperature rise

圖9 線性升溫下無量綱Winkler彈性剛度系數對無量綱前兩階固有頻率的影響曲線Fig.9 The influence curve of dimensionless Winkler elastic stiffness coefficient on the first two dimensionless natural frequencies under linear temperature rise

4 結論

本文基于一階剪切變形理論，考慮修正的混合冪律多孔FGM 圓板模型，在統一溫度場下應用Hamilton 原理導出該熱環境下該結構自由振動的控制微分方程，使用微分變換法（DTM）對自由振動和屈曲的運動控制微分方程及邊界條件進行變換，通過編寫MATLAB 程序計算多孔FGM 圓板的無量綱固有頻率和臨界溫升值，并且與已有文獻對比以驗證結果的正確性.分析了不同邊界、孔隙率、梯度指數、溫度指數、厚度與半徑比、溫升值和Winkler 彈性剛度系數對多孔FGM 圓板無量綱固有頻率的影響和相關參數各對臨界溫升值的影響.主要結論如下：

1）無量綱固有頻率隨著梯度指數n的增大而減小，隨著梯度指數n趨向于無窮大，無量綱固有頻率趨于不變，合理地解釋了FGM 中陶瓷材料向金屬材料過渡的特性.

2）隨著厚度與半徑比的增大，無量綱固有頻率減小，隨升溫類型η值的增大，無量綱固有頻率增大.

3）無量綱固有頻率隨著孔隙率β增大而增大，因為存在孔隙，降低了多孔FGM 圓板的整體剛度和有效質量，而對質量的弱化強于剛度弱化的原因導致了這一結果.

4）隨溫升值的增大，無量綱固有頻率減小，減小直至發生熱屈曲而失穩，使得無量綱基頻變為零，此時達到臨界平衡狀態.

5）無量綱Winkler 彈性剛度系數Kw越大，無量綱固有頻率Ω越大，且二階固有頻率幾乎呈線性變化.