考慮慣性載荷的多材料結構拓撲優化

任毅如 ，楊林海 ，米棟 ，張立章 ，何杰 ，向劍輝

（1.湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082；2.中國航發湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002）

拓撲優化指在給定的設計域內不斷優化設計變量使得結構在滿足設計要求的同時達到材料分布的最優解，其由于具有優化自由度高、材料利用率強的優點，被廣泛應用于汽車設計、航空航天、聲學等領域［1-3］.

1981 年程耿東［4］對實心彈性薄板的優化研究，被認為是連續體結構拓撲優化的奠基性工作.各算法相繼被提出用于解決拓撲優化問題.然而在早期的拓撲優化問題中，研究重點大多側重于施加外部載荷作用下的優化，慣性載荷作為與設計結構質量直接相關的載荷往往被忽略［5］，以此得出的優化結果應用于實際工程問題是不可靠的.Rozvany 等［6］首先提出了關于自重的優化設計問題.陳樹勛和葉尚輝［7］為解決天線設計問題提出了導重法.Bruyneel等［8］對固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）進行了修正，來改善慣性載荷作用下結構拓撲優化中低密度區域存在的寄生效應.Huang 等［9］開發一種新的帶有插值函數的雙向結構漸進優化方法（Bi-directional Evolutionary Structural Optimization，BESO），在對具有自重的結構進行優化時相比較SIMP 插值模型能夠獲得更好的優化結果.Xu 等［5］指出在使用導重法時，RAMP 插值函數相比其他插值方法更適用于慣性載荷作用下結構的拓撲優化.Jain等［10］研究表明自重對結構的最優拓撲有顯著影響，結構的拓撲構型取決于外加載荷和結構自重的雙重作用.Kumar［11］提出了一種基于密度的拓撲優化方法來設計自重載荷下的結構，并利用Heaviside函數得到一種新的質量密度插值策略.

同時在結構設計中，輕量化和性能要求越來越高，多材料混合結構能夠在多方面更好地滿足設計需求，增材制造技術的發展也使得多材料結構拓撲優化從理論設計變為現 實［12-13］.Huang 等［14］采 用BESO 來解決多相結構拓撲優化問題.Tavakoli 等［15］將多材料拓撲優化問題分解為多個單材料拓撲優化子問題并提供了一個可在MATLAB 上運行的通用框架.Zuo 等［16］提出了一種單變量有序SIMP 插值方法，用于質量約束和成本約束下的多材料拓撲優化.劉繼凱等［17］提出了基于Ordered SIMP 方法的點陣-實體多材料插值模型.Gao等［18］使用交替有源相位法與蒙特卡羅模擬相結合來解決多材料的拓撲優化問題.

多材料下的多個優化變量增加了優化求解的復雜性，且在解決慣性載荷作用下結構拓撲優化問題時，由于密度趨于0，質量懲罰與剛度懲罰之比過大，在低密度區域結構的位移和柔度趨近于無界，由此產生寄生效應［8，19］，更是加大了拓撲優化的難度.目前針對慣性載荷下的多材料結構拓撲優化的相關研究還較少.基于上述研究，本文將通過數值算例對比提出基于RAMP 插值模型的導重法，并將其應用于考慮慣性載荷作用下多材料結構拓撲優化問題.研究體積約束下柔度最小的多材料結構拓撲優化，提供多材料組合下的優化方案.

1 基于導重法的優化模型

1.1 體積約束下的多材料結構優化模型

進行多材料結構拓撲優化時假設共有p相材料，N個單元結構，將孔洞材料看作一種材料，傳統的單材料結構拓撲優化即為二相材料結構拓撲優化.在進行多材料結構拓撲優化時，將所有材料兩兩組合，p相材料拓撲優化即被分解為p（p+1）/2 個二相材料結構拓撲優化，再對每個優化組合運用導重法進行求解.優化時其余組合保持不變.優化過程中，將彈性模量較大的材料稱為a材料，較小的稱為b材料.在一個循環中，體積約束下的以柔度最小為目標的多材料結構拓撲優化數學模型如下.

1.2 不同插值模型下的迭代公式

對于多材料結構拓撲優化，其彈性模量插值公式為：

式中：Ea和Eb為材料a，b的彈性模量；f()為插值函數模型.

常見的插值函數模型有RAMP、SIMP、EAMP.用式（3）表達，其中qR、qS、qE分別為不同插值模型的懲罰因子.

將柔度對設計變量進行求導，獲取關于柔度的靈敏度［式（4）］，其中ki和ui分別為單元剛度矩陣和單元位移向量矩陣.

當Fi為固定載荷時，?Fi/=0，見式（5）；當Fi為慣性載荷時，其大小隨著每次迭代優化改變而變化時，式（4）不變，根據四節點矩形單元的形函數可得到每個單元的等效節點載荷［式（6）］.

其中，Gi和mi為單元重量和單元質量，wi為結構旋轉的角速度，ri為各單元至旋轉軸的距離，P0=[0-10-10-10-1]，P1=[1 0 1 0 1 0 1 0] 分別為自重和離心作用下的方向矢量.

根據庫恩塔克條件由式（1）可推導出：

為確保設計變量迭代的收斂性，引入步長因子m0［20］，本文取m0=0.5.為減少計算量采取二分法來求解λ.將上式代入即可得到的迭代式.當相鄰迭代步中誤差小于0.001時，優化結束.

2 數值算例分析

2.1 不同插值函數對優化進程的影響

為了比較SIMP、RAMP、EAMP 插值方法對導重法處理慣性載荷作用下多材料結構拓撲優化問題的影響，分別采用這三種插值方法對經典簡支梁模型進行優化，體積約束設置為0.3，使結構的目標函數即柔度最小.懲罰因子選取合適大小.同時為方便對優化結果的可制造性進行定量分析，引入灰度因子Mi，由式（11）可以看出，Mi數值越大，代表優化結果中間密度單元越多，優化結構的可制造性也就越差.

圖1 為簡支梁（算例1）模型圖，其兩端固定，長120 m，高30 m，離散后的單元數目為3 600，泊松比V統一設置為0.3.只受到自身的重力影響.在優化對比中設置了二相材料（即單材料）結構以及三相材料結構，其彈性模量及體積占比見表1.密度統一設置為1 kg/m3.

表1 多材料下算例1的參數設置Tab.1 Multi-material parameters setting for example 1

圖1 算例1模型圖（單位：m）Fig.1 Model diagram of example 1（unit：m）

劃分為黑色、紅色.由圖2 可以看出，使用不同的插值函數對于不同相數材料結構的優化結果都是大致相同的，優化結果呈現經典的“拱橋”形狀，在三相材料優化結構中，彈性模量大的材料集中在主拱圈處.其次使用SIMP 插值方法在慣性載荷作用下的材料結構優化中無法得到清晰的拓撲圖形，存在明顯的灰度單元，且在得到初始穩定拓撲形狀后其目標函數隨著迭代而緩慢升高.使用RAMP 和EAMP插值方法能夠得到清晰的拓撲圖，目標函數相對更低，其原因在于在低密度區域，RAMP 和EAMP 插值方法中的是有界且維持在一個小范圍內，而SIMP 插值方法的在低密度區近于無界，因此不可能實現一個較好的0～1分布優化［5］.

圖2 不同插值模型的優化進程圖Fig.2 Optimization process diagram of different interpolation models

從表2可以看出，使用RAMP插值方法獲得的最終拓撲圖其目標函數和灰度因子明顯小于EAMP 和SIMP 插值方法，利用RAMP 插值函數對結構進行拓撲優化后在二相材料下得到的目標函數相比EAMP插值函數減少8.2%，對比SIMP 插值函數減少了35.2%，三相材料下相比EAMP插值函數減少16.1%，對比SIMP 插值函數減少了33.1%，且需要的迭代步數與其他方法比較接近.顯然在運用導重法解決慣性載荷下結構的拓撲優化問題時，RAMP 插值方法明顯優于EAMP和SIMP插值方法.

表2 不同插值模型下的優化結果Tab.2 Optimization results of different interpolation models

2.2 多載荷作用下的數值算例

上節已驗證了基于RAMP 插值函數的導重法在處理慣性載荷下多材料結構拓撲優化的優越性，本節將其應用于同時包含集中力與慣性載荷的多載荷拓撲優化問題，且其結構優化將包含更多相數的材料.

2.2.1 自重與集中力載荷作用

懸臂梁（算例2）模型圖如圖3 所示，長80 m，寬40 m，共計3 200個單元，其受自身重力影響，同時為防止優化過程中懸臂梁末端低密度區域造成優化結果不收斂，在其末端的中點處施加一個質量點，大小為自身重力的25%.

圖3 算例2模型圖（單位：m）Fig.3 Model diagram of example 2（unit：m）

結構的多材料參數如表3 所示，密度統一設置為1 kg/m3.厚度設置為1 m，重力加速度為9.8 N/kg.根據式（7）可以推導出算例2 所受重力的表達式.在體積約束設置為原材料的30%的情況下使得整體結構的柔度最小.

表3 多材料下算例2的參數設置Tab.3 Multi-material parameters setting of example 2

不同材料依據其彈性模量由大到小分別用黑色、紅色、藍色、綠色表示，即E黑＞E紅＞E藍＞E綠.如圖4所示，基于RAMP插值函數下的導重法應用于受自重和集中力作用下的結構拓撲優化，拓展到5 相材料所得到的優化圖依舊清晰可見，且優化結構保持一致，呈現桁架結構，其拓撲構型在力的傳遞方面表現合理.其中彈性模量最大的材料分布在固定端及結構頂端，除去固定端，距離固定端越遠，其材料的彈性模量越大.這是由于距離固定端越遠，所受自重影響越大，所在設計區域分布材料彈性模量越大.由圖5 可以看出，目標函數隨著迭代次數的增長而下降，且在迭代初期就趨于最終解.隨著材料相數的增加，最終優化結果的目標函數依次升高.這是因為加入了彈性模量較小的材料，導致其整體剛度降低，符合預期結果.

圖4 多材料下算例2的優化結果圖Fig.4 Multi-material optimization plots of example 2

圖5 算例2的目標函數迭代曲線Fig.5 Objective function iteration curve of example 2

2.2.2 離心力與集中力載荷作用

受離心力懸臂梁（算例3）模型圖如圖6 所示，長80 m，寬40 m，共計3 200個單元，繞著固定端以恒定角速度旋轉，ω為旋轉角速度取2 rad/s，mi為單元質量，ri為各單元到旋轉軸的直線距離，F為質量點，施加在結構末端的中點區域，為總重力的1.2 倍.各材料參數如表4 所示，體積約束設置為30%，使得整體結構的柔度最小.

表4 多材料下算例3的參數設置Tab.4 Multi-material parameters setting of example 3

圖6 算例3模型圖（單位：m）Fig.6 Model diagram of example 3（unit：m）

算例3 的優化結果圖和目標函數迭代曲線分別如圖7、圖8 所示.可以看出結構在離心力和集中力作用下優化構型呈三角形，由固定端上下兩側連接至末端中點區域.結論與上節類似，結構繞固定端旋轉時，距離固定端越遠，所受離心力影響越大，其所在設計域分布的材料彈性模量越大.目標函數隨著材料相數的增加依次升高.

圖7 多材料下算例3的優化結果圖Fig.7 Multi-material optimization plots of example 3

圖8 算例3的目標函數迭代曲線Fig.8 Objective function iteration curve of example 3

3 多材料組合下的優化策略

在上節中已經證明了導重法在處理慣性載荷下多材料拓撲優化問題的可靠性，本節將在體積約束的前提下，通過自重情況下簡支梁（算例1）的拓撲優化，論證多材料結構優化下，如何選取不同參數的材料使得目標函數即柔度較低.選取以下3 種材料，其材料參數如表5 所示，為更直觀研究參數對于目標函數影響，將所選材料參數進行歸一化，使得其數值的絕對值轉變為相對值關系，所選取材料的彈性模量和密度最大值被映射為“1”［21］.進行歸一化處理后如表6 所示，在優化圖中顯示的顏色分別為黑色、紅色、藍色，其中Ei、ρi分別為材料的歸一化彈性模量及密度.圖9為在體積約束為0.3的條件下，對3種材料排列組合進行優化的結果.從圖9 可以看出，通過改變材料組合并不改變優化結構形狀，分布規律與上節結論相同，彈性模量最大的材料分布在固定端及結構頂端.在單獨使用B 材料進行拓撲優化時所得結構的柔度最大，單獨使用C 材料時柔度最小即此時剛度最大，最滿足設計需求.這是由于C 材料的歸一化模量密度比（Ei/ρi）最大［21］.

表5 各材料參數Tab.5 Materials parameters

表6 不同材料的歸一化參數Tab.6 Normalized parameters for different materials

圖9 多材料組合下的優化結果Fig.9 Optimization results of multi-material combination

4 結論

本文主要研究單一體積約束條件下柔度最小的考慮慣性載荷作用的多材料結構拓撲優化問題，通過不同數值算例的對比，確立了基于RAMP 插值函數的導重法，能夠有效減少優化結果的灰度單元，有助于獲得清晰的拓撲構型，降低結構的整體柔度.并有下列結論：所受慣性載荷的影響越大，所在設計區域分布材料彈性模量越大；選取不同材料用于多材料結構拓撲優化設計，材料的模量密度比越大，結構的整體柔度越小，剛度越大，對于實際工程應用有著一定的指導作用.