壓電圓盤的軸對稱振動：改進的雙勒讓德多項式方法

周紅梅,韓康樂,禹建功,張會端,王現輝,張小明

(河南理工大學 機械與動力工程學院,河南 焦作 454000)

壓電陶瓷是一種重要的功能材料,具有優良的壓電、介電和光電特性,廣泛用作傳感器和執行器部件,應用于結構的形狀控制、振動和噪聲主動控制以及結構健康監測等諸多領域。作為具有壓電效應的橫觀各向同性材料,其自由振動問題受到了國內外學者們的廣泛關注。該類問題歸結為特征值求解問題,目前應用于壓電材料自由振動的方法包括解析法[1-9]、半解析法[10]、有限元法[11-14]、數值分析法[15]、無網格法[16]等。其中解析法利用三維彈性理論和壓電理論,一維剪切變形理論、彈性薄板理論等,將位移和電勢擴展成無窮級數的形式,代入求解特征值問題來獲得振動頻率及諧響應。Kim等[3]利用圓柱膜理論推導出二維控制方程,應用力學和電學邊界條件,得到了壓電開殼換能器諧振頻率的特征方程,計算了基頻和機電耦合系數。Li等用廣義超幾何函數代替橫觀各向同性壓電陶瓷軸對稱電場的精確解,分析了安裝在金屬軸上的徑向極化圓柱形壓電驅動器的軸對稱振動特性。Razavi等利用一致耦合應力理論和圓柱殼模型,建立了功能梯度壓電材料納米圓柱殼的機電振動控制方程,研究了特殊模型在不同邊界條件下的自由振動。林書玉[17]對壓電陶瓷圓環徑向振動進行了研究,由機電等效電路,推導出了壓電陶瓷圓環振子的共振和反共振頻率方程。

勒讓德多項式方法最早由Lefebvre等[18]應用到導波傳播求解,該法通過將邊界條件導入到傳播控制方程,將微分方程轉化為特征值來求解問題。之后,Elmaimouni等[19]提出了一種無限長均勻各向異性彈性材料圓柱桿中導波傳播的多項式方法,計算了其歸一化頻率。Raherison等[20]將勒讓德多項式方法擴展到體波諧振器的建模方面,得到了Al/ZnO/Al夾心板體波諧振器的諧振頻率和反諧振頻率。Elmaimouni等[21]將映射正交函數法推廣到考慮電源的三維聲波問題中,得到了一維解析模型下特定幾何形狀的歸一化頻率和電輸入導納。

由于雙勒讓德多項式法可以通過添加矩形窗函數將壓電材料兩個方向上的邊界條件加入其振動控制方程,現將其引入到壓電圓盤的振動特性研究,但傳統計算方法因求解過程的積分函數引入了雙勒讓德多項式級數、矩形窗函數及其導數,處理數值積分需要大量的運算時間,尤其高階數值積分計算相當費時,而低階時諧振頻率值收斂性較差,因此限制了雙勒讓德多項式法在壓電材料振動控制方程求解中的應用。為了解決計算緩慢這一問題,本文對雙勒讓德多項式的傳統求解方法進行改進,引入解析積分過程,用解析積分代替傳統數值積分的方法,使得程序計算時間大大縮短。

1 振動控制方程及求解

極化后的壓電陶瓷是橫觀各向同性材料,一般規定極化方向為Z軸方向。若在垂直于Z軸方向壓電圓盤的上下表面加上金屬電極,可近似認為只存在軸向電場Ez(忽略電極的邊界效應),因加上的電極很薄,其質量和剛度也可以忽略不計。由于壓電圓盤的幾何結構、外加電場和約束條件都是軸對稱的,故壓電圓盤作軸對稱振動。基于三維線彈性理論,假設壓電材料上下表面和側面應力自由機械邊界條件,側面電開路、上下面電短路電邊界條件。考慮材料結構為圓盤,故采用柱坐標系(r,θ,z),壓電圓盤的結構示意圖如圖1所示,其中V0jωt為壓電圓盤外加電源。

圖1 壓電圓盤

壓電材料的本構和壓電方程為

(1)

式中：i,j,k,l=1,2,3;σij,εkl,EkDi分別是應力、應變、電場強度和電位移;Cijkl,ekij和δik分別為彈性常數、壓電常數和介電常數。

式(1)在柱坐標系中展開分別為式(2)和式(3)

(2)

(3)

其中電場強度用式(4)表示

(4)

式中,φ為電勢。

式(2)、式(3)中的應變滿足下列幾何方程

(5)

式中,u,v,w分別為r,θ,z方向的位移。

基于三維線彈性理論,假設在柱坐標系下的邊界條件

考慮到邊界條件的處理問題,引入兩個方向(r和z)的矩形窗函數

將式(4)和式(5)代入式(2)和式(3)并添加上述矩形窗函數,分別得到式(6)和式(7)

(6)

(7)

不考慮體力和體電荷,壓電圓盤的振動控制方程為

(8)

壓電圓盤作軸對稱振動,所以振動與方位角θ無關(?/?θ=0,v=0),式(5)、式(6)對應項為0,式(8)中第二項都為0。將式(6)和(7)代入式(8)得到

(9)

(10)

(11)

式中,u(r,z),w(r,z),φ(r,z)分別為徑向位移、軸向位移和電勢,其解的形式可以用多項式表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中,Pm和Pn分別為第m階和n階勒讓德多項式。理論上m和n從0變化到∞,而實際上對于求和多項式(12)～式(14),當m和n取到有限值m=M和n=N時,更高階的項可以認為是高階小量,忽略不計。

將式(12)～式(14)和式(15)、式(16)代入式(9)～式(11),利用不同次數的勒讓德多項式在區間[-1,1]上正交的特性,用Qi(r)Qj(z)e-jωt乘各式的兩邊,i從0變化到M,j從0變化到N,再將各式對z從-1到1、r從-1到1積分,利用其正交特性,式(9)～式(11)可轉換為下列形式

(17)

為了便于計算,取

(18)

與此同時,求出式(17)中的rm,2n+1并代入式(18),可以得到

[ABC+Ω2MM]pm,n=CfV0

(19)

式中：ABC=AB-CC(C3)-1AB3;Cf=CC(C3)-1·f3-f1,2。

由壓電材料的諧響應特性可知,諧振頻率點處的阻抗很小,即此時模型電極間的電勢很小,近似為零。將V0=0代入式(19),即可得到求解諧振頻率的特征方程

(MM)-1ABCpm,n=-Ω2pm,n

(20)

利用特征矩陣求特征值,可得歸一化頻率Ω。

計算過程中引入解析積分法,使得程序計算時間大大縮減。解析積分法轉換前公式為

(21)

轉換后為

(1) 當a+m≥n和a+m-n=偶數

當a,m,n取其他值時,I1=0。

(2) 當a+m-1≥n和a+m-n-1=偶數

當a,m,n取其他值時,I2=0。

(3) 當a+m-2≥n和a+m-n-2=偶數

當a,m,n取其他值時,I3=0。

(22)

2 數值算例

為了驗證該方法的準確性和高效性,本章給出了兩種材料壓電圓盤的自由振動分析算例。其中材料參數如表1所示。本文程序用MATLAB 2018b編制,運行電腦配置 CPU為Inter core I7-4790,3.6 GHz,內存為16 G。

表1 材料參數

2.1 算例1

首先以PZT4壓電圓盤(R=12.4 mm,H=2.05 mm)為例,將本文解析法與傳統方法進行比對,并與已有文獻結果對比,如表2所示。

表2 解析法與傳統方法結果對比

從表2可以看出隨著雙勒讓德多項式階數(M,N取值)的增大,壓電圓盤的諧振頻率低階快速收斂,高階相對收斂較慢,相同階數傳統求解時間比解析法求解時間多數百倍,傳統法隨著階數增大,耗費CPU時間劇增以致7階以上無法求解。通過與文獻結果比對發現M=N=15時前3階的誤差均在0.5%以下。

為了分析壓電圓盤固有頻率與徑厚比的關系,PZT4壓電圓盤厚度H=2 mm,改變圓盤直徑,圖2給出了不同徑厚比對應的圓盤固有頻率半徑積。圖2給出了前3階模態關系曲線,從圖2可以看出隨著徑厚比增大到5之后頻率半徑積趨于穩定,而且低階更快達到穩定。圖2中小圖是[1,4]區間細化后的圖,明顯3階頻率半徑積都是先增大再減小到固定的穩定值。

圖2 PZT4壓電圓盤頻率半徑積隨徑厚比關系

以徑厚比R/H=10,H=2 mm為例,其徑向u和軸向w位移如圖3和圖4所示,從圖3、圖4得出u向關于厚度中面對稱分布,半徑大小對前3階位移影響較小。w向位移對于H中面呈反對稱分布,同樣半徑大小對低階影響較小。

圖3 PZT4壓電圓盤u向位移

為了分析壓電圓盤固有頻率與厚度變化關系,PZT4壓電盤R=50 mm,改變其厚度H,圖5顯示不同厚度圓盤固有頻率前3階數值。從圖5可明顯看出厚度在[2,10]內也就是徑厚比在[5,25],固有頻率隨厚度變化較小。圖2～圖5所用雙勒讓德階次M=N=15。

圖5 PZT4壓電圓盤頻率隨厚度變化關系

2.2 算例2

材料為PZT5A,R=20.05 mm,H=2.03 mm,得到其諧振頻率如表3所示,其中理論計算是通過電輸入導納計算獲得。

表3 PZT5A壓電圓盤諧振頻率(R/H=10,M=N=15)

對于薄圓片的徑向振動模式可以通過式(23)計算電輸入導納,結果見圖4。

(23)

從表3可以看出諧振頻率前兩階與文獻[22]相比誤差較小,在0.5%以內。高階時誤差逐步增大。通過引入電輸入導納理論計算獲得數據與本文方法高度吻合,5階的誤差僅為0.54%,進一步驗證了本文方法的準確性。

3 結 論

本文應用三維壓電彈性理論,結合力電耦合的本構方程、幾何方程和振動控制方程,把位移和電勢分別擴展成相乘的包含待定系數的雙勒讓德多項式級數,然后利用多項式的正交性分別與不同階的正交多項式相乘,并在R和Z方向進行積分,得到關于頻率的特征方程,其特征值為壓電陶瓷振動的諧振頻率,特征向量為勒讓德多項式級數的待定系數,可轉化為壓電陶瓷的諧響應。

多項式級數法的邊界條件處理是將應力和電位移乘上限定邊界的矩形窗函數,把邊界條件直接添加到振動控制方程中,在后續積分中消去矩形窗函數。但是求解過程因為積分函數引入了勒讓德多項式級數、矩形窗函數及其導數,處理數值積分需要大量的運算時間。為了解決這一問題,本文引入解析積分法,導出了用解析積分代替數值積分的轉換公式,使得程序計算時間大大縮短。將計算結果與文獻及理論結果進行了對比,充分說明了方法的準確性與高效性。

勒讓德多項式方法可以直接把變系數的彈性常數引入本構方程[23]。因此,本文所提出的改進方法在求解功能梯度結構、黏彈性結構的振動問題時也將有較大優勢。