四個函數的單調性及應用

張志剛

［摘? 要］ 針對《普通高中教科書·數學必修第一冊》（人教A版）中的一道比較對數大小的習題，學生提出構造函數利用其單調性解題的想法. 研究者引導學生對y=logxa，y=log（x+a），y=xlogxa，y=等函數展開探究，利用其單調性比較對數（式）的大小，為解題提供了新鮮視角.

［關鍵詞］ 構造法；函數單調性；比較大小；類比推理

復習“函數與導數”模塊時，筆者引領學生回顧《普通高中教科書·數學必修第一冊》（人教A版）（下文簡稱“課本”）第141頁的一道習題：

比較下列各題中三個值的大小：（1）log6，log6，log6；（2）log23，log34，log45.

兩小問均比較底數互不相同的對數的大小，具有一定的思維難度.以第（2）問為例，先看教學用書的解答：

教學用書采用的是作差法：先利用對數換底公式將對數轉化為常用對數，然后利用基本不等式等工具通過多次放縮完成大小比較.解答過程稍顯煩瑣.

對此有學生提出：在第（1）問中，三個對數具有“底數變化，真數為定值6”的結構特征，能否構造函數y=log6，根據其單調性判斷大小呢？在第（2）問中，三個對數的底數和真數都在變化，且每個對數中的底數與真數均相差1，能否構造函數y=log（x+1），根據其單調性判斷大小呢？

如此靈感，是在已有知識和經驗的基礎上展開豐富聯想，實現思維正遷移的結果. 在“指數函數的圖象和性質”的教學中，分析和解答“例3”時，學生學習構造函數y=1.7x和y=0.8x，利用函數的單調性判定兩數的大小；在“對數函數的圖象和性質”的教學中，分析和解答“例3”時，學生又學習構造函數y=logx和y=logx，利用函數的單調性判定兩數的大小. 受此啟發，學生類比聯想到函數y=log6和y=log（x+1），利用其單調性解題，符合學生的思維規律和認知特點. 因此，筆者鼓勵并協助學生對此深入研究，將函數y=log6抽象為y=logxa（x>0，x≠1，且a>0，a為定值），它不屬于基本初等函數的范疇，是學生素未謀面的“新面孔”，如何研究它的單調性呢？將y=log（x+1）抽象為y=log（x+a）（x>1，且a為正常數），能否類似討論它的單調性呢？

探索函數y=logxa的單調性

上述討論過程綜合應用了不等式的性質和代數式的變形公式等，而通過代數運算（變形）證明數學命題對學生而言是相對陌生的.除此之外，還有其他渠道可以考察函數y=logxa（a>1）的單調性嗎？

我們知道，導數定量刻畫了函數的局部變化，是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等性質的基本方法，因而也是解決諸如增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實際問題的基本工具，是微積分的核心內容之一，還是現代數學的基本概念.在高中數學復習中，學生已經積累了利用導數探求簡單函數的單調性等性質的活動經驗，于是筆者打算引導學生用導數探究函數y=logxa（a>1）的單調性：

顯然，當0<a<1時，f′（x）>0，則f（x）在（0，1）和（1，+∞）上分別單調遞增. 可見，無論0<a<1還是a>1，函數y=logxa（x>0，x≠1，且a>0，a為定值）在（0，1）和（1，+∞）上具有相同的單調性.

例1 （2013年高考新課標Ⅱ理數第8題）若a=log36，b=log510，c=log714，則（? ）

A. c>a>b B. b>c>a

C. a>c>b D. a>b>c

交換例1的條件和結論，設計成例2.

例2 若實數a，b，c滿足log2<log2<log2，則下列關系不可能成立的是（? ）

A. a<b<c B. b<a<c

C. c<b<a D. a<c<b

下面，繼續用導數探求y=log（x+a）（x>1，且a為正常數）的單調性.

探求函數f（x）=log（x+a）的單調性

研究函數f（x）=xlogxa的單調性

函數f（x）=xlogxa（x>0，x≠1，a>1）的單調性也可以用來判定對數（式）的大小關系.

例3 （2017年高考全國卷Ⅰ理數第11題）設x，y，z為正數，且2x=3y=5z，則（? ）

A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

當0<a<1時，可類似進行研究，如例4.

例4 （2016年高考全國Ⅰ卷理數第8題）若a>b>1，且0<c<1，則（? ）

A. ac<bc ? B. abc<bac

C. alogbc<blogac ? D. logac<logbc

解析 易知選項A，B錯誤.

追求解題過程由復雜到簡單，追求思維過程由表及里、由淺入深，是數學工作者解題研究的一項基本任務.在解題教學中，教師要注重引導學生通過觀察、實驗、概括、聯想、推理、證明、交流等思維活動，敏銳捕捉解題靈感，優化解題技能方法，增加題目的“附加值”. 尤其要注重培養學生的“質疑”意識，鼓勵學生提出新想法、發現新規律、發展新理論.本文正是從學生的一個新想法出發，引領學生利用導數考察四個新函數的單調性，為判定對數（式）大小找到了統一簡捷的解決之道. 當然，我們還要繼續深入研究：函數的奇偶性、增長率（衰減率）、凹凸性等是怎樣的？函數的圖象是哪種形態的？在實際問題的解決中有何應用價值？

參考文獻：

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中教科書教師教學用書·數學·必修第一冊（A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 項武義. 基礎數學講義叢書：基礎代數學［M］. 北京：人民教育出版社，2004.