千古絕技:中國古代幾何中的“割圓術”

張維忠 唐慧榮

(浙江師范大學教育學院 321004)

對于圓周率,大家都很熟悉,我們一般用希臘字母π來表示它．回顧數學發展史,可以說,這個簡單的希臘字母見證了人類數學文明的發展,它甚至一度作為一個國家數學水平發展的重要標志,無數國內外數學家都曾孜孜不倦地對其展開過研究．其中,我國的“割圓術”便是與之相關的一種偉大算法,它所包含的數學思想方法在數學的歷史進程中穿針引線,曾掀起過狂潮巨浪．魏晉時期數學家劉徽的“徽率”和南北朝時期數學家祖沖之的“祖率”都是采用這一方法來研究圓周率的．那么,割圓術到底有什么神奇之處呢?

1 割圓術的產生

1.1 中國有關圓周率的最早記載——古率

在我國,有關圓周率的描述最早記載于2 000多年前的《周髀算經》．《周髀算經》中有術文曰“圓周徑一而周三”,即“直徑與周長的比為1∶3”．根據圓周率的概念“圓周率是圓的周長與直徑的比值”,可以推測出那時的人們認為圓周率的值是3．再后來,人們就把“徑一而周三”稱為“古率”,西漢時期的數學著作《九章算術》就有使用古率解決相關問題的記載．

古率是古人通過實物測量再計算而得到的估算結果．除了我國古代,π=3這個數值也一直被古埃及、古巴比倫、古印度等國家長期使用著．顯然,當古人將古率運用于生活和生產時能夠感知到它是比較粗略的．但在那時,圓周率具體多少不得而知,他們只是記錄了“圓徑一而周三有余”．

跟目前已知的圓周率相比,古率的精確程度是如此之低,那它還有存在的價值嗎?讓我們回望歷史,想象一下古人是如何在廣袤無垠的未知世界里對數學進行探索的．當時的計算條件簡陋,數學家們只能通過實驗直觀或者生活經驗對數學進行研究,但這并未阻止他們打開一扇思考的大門,去奮力追尋文化的更替和文明的覺醒．

1.2 千古絕技割圓術的出現

我國歷史上圓周率的科學計算是從魏晉時期的數學家劉徽創立割圓術開始的．割圓術,顧名思義,就是分割圓形的方法．劉徽在為《九章算術》 (圖1)方田章中的圓田術作批注時,大膽地提出了這一方法,這才將圓周率的研究從經驗算法推向了科學的幾何方法．

圖1

這是數學史上一個十分偉大的跨越．劉徽作為中國數學史上第一位用科學的方法推算圓周率的數學家,為中國數學在對圓周率的研究上處于世界前列水平打下了基礎．但不要以為割圓術的產生就是為了求圓周率!這是很多人的一個誤解．實際上,它是劉徽為了證明圓的面積計算方法而想出的辦法．

圖2

圓的周長是圍成圓的曲線的長度,而曲線的測量難度很大,在出現割圓術以前,人們會先在圓內畫出該圓的內接正六邊形和正十二邊形,再將圓內接正六邊形的周長當作圓周長L,用圓內接正十二邊形的面積當作圓面積S進行計算,最后再利用出入相補的原理將這個內接正十二邊形拼補成大長方形,以正六邊形周長的一半作為長,以圓半徑作為寬來推理圓的面積．

但劉徽認為此證明過程是極不嚴格的,利用π=3這一數值算得的結果不是圓面積,而是圓內接正十二邊形的面積,誤差甚大．于是他獨辟蹊徑,大膽提出了割圓術,大大提高了計算的精確度,憑一己之力改變了人們對圓周率的研究方向．

1.3 劉徽與割圓術

古代的石頭加工在沒有機器的支持下只能靠著石匠一點點打磨．一次,劉徽看到了石匠在打磨石頭,他非常好奇．一塊長方體的石頭,在師傅的打磨下,先去掉四個角,變成了八邊形的石頭(圖3),再去掉八個角,又變成了十六邊形的石頭(圖4)．最后,隨著石匠的打磨,長方體的石頭就變成了一個圓柱．

圖3 圖4

歷史上是這樣記載割圓術的:“以六觚之一面乘半徑,因而三之,得十二觚之冪．若又割之,次以十二觚之一面乘半徑,因而六之,則得二十四觚之冪．”其中,“觚”指正多邊形,“面”指正多邊形的邊,“冪”指正多邊形的面積．簡單地說,就是在圓內先作一個內接正六邊形,再作出圓的內接正十二邊形,以同樣的方法繼續作圓的內接正二十四邊形、正四十八邊形等．隨著所作圖形的邊數增多,圓的面積與正多邊形的面積差減少．想象一下,不斷增加圓內接正多邊形的邊數,當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,正多邊形就無限接近于圓的大小(圖5)．這正好對應了劉徽對于割圓術的描述:“割之彌細,所失彌少．割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣．”[1]

圖5

像上面這樣將圓進行分割以后,劉徽又是怎么計算的呢?我們先從簡單的內接正六邊形開始對割圓術的原理進行簡單分析．總體可以分為以下三個步驟:

第一步:均分六邊形．將內接正六邊形均分成六等份,如圖6,△ABO是均分后的其中一份．由圖可知,若把S△AOB當作S扇AOB,那圓的面積就會缺失一大部分．

圖6

像這樣,從內接正六邊形的面積算起,到正十二邊形,再依此類推到正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形等面積,隨著分割的邊數越多,計算出的圓面積就越準確了．

2 走進割圓術

2.1 割圓術與徽率

割圓術最初是劉徽為了計算圓面積而發明的,圓周率只是其研究過程中的一個“副產品”．他是如何利用割圓術找到當時世界上最精確的圓周率的呢?

根據圓周率的概念,將圓近似地看成一個正十二邊形,那么就可以計算正十二邊形周長與直徑的比值或者計算正十二邊形面積與半徑平方的比值來求出π的值．

首先作圖．畫出半徑為1的⊙O,在其中依次畫出⊙O的內接正六邊形和內接十二邊形(圖7)．根據正六邊形的圖形特點,可知△AOB為等邊三角形,OC是AB的垂直平分線,OE是CB的垂直平分線．因為AB是正六邊形的一條邊,又半徑AO=1,所以AB=AO=1,AD=0．5．因為△AOD為直角三角形,所以DO2=AO2-AD2,所以DO≈0．866,DC=OC-DO≈0．134．又因為△ACD為直角三角形,所以AC2=DC2+AD2,即AC2≈0．018+0．25=0．268,所以AC≈0．517 7,即正十二邊形周長=12AC≈12×0．517 7=6．212 4．那么π等于正十二邊形周長與直徑的比值,即π≈6．212 4÷2=3．106 2．

圖7

除了以上這樣通過計算周長來算π,還可以把S圓近似地計算為S正十二邊形來求π．可知S△AOC=S△AOD+S△ADC,即S△AOC≈0．216 5+0．033 5=0.25,S正十二邊形=12S△AOC≈12×0．25=3．把S正十二邊形近似認為S圓來計算π值,那么π等于S正十二邊形與半徑平方的比值,即π=3÷12=3．

我們通過圓內接正十二邊形的周長和面積計算出了π的兩個近似值．透過這個例子,應該對利用割圓術求圓周率的方法有了更深刻的理解．

現在回到1 700年前,已經讀懂割圓術的你是否能幫助古人計算出更精確的圓周率呢?請你用計算器,借助古人智慧嘗試計算圓內接正24邊形的相關內容算出π的近似值(表1,保留八位小數)．

表1 不同的內接多邊形計算π值對比

計算還順利嗎?數學的探究從來不是一蹴而就的,劉徽憑著一腔熱愛,最后竟然算到了圓內接正192邊形的面積．同時,他在解決問題的過程中發現誤差總是存在,因此他繼續思考,總結出了“劉徽不等式”,找到了S圓的上限．觀察圖8可知,S圓>6SACBO,S圓<6SAECFBO．同理,假設正n邊形的圖形面積為Sn,正2n邊形的圖形面積為S2n,便有S2n

圖8

圖9

在這個過程中,除了能看到劉徽對數學的熱愛,還可以明顯看到他超前的數學思想方法．他對圓進行了直觀的無窮分割(圖5),這個過程蘊含著“割之又割,以至于不可割”的極限思想．另外,從我們前面對割圓術和徽率的探究過程來看,這一方法具有很強的可操作性和直觀性．

2.2 割圓術與祖率

到了南北朝時期,祖沖之和他的兒子祖暅繼承了劉徽的思想,取直徑為一丈的圓進行割圓,直至圓內接正24 576邊形,計算得到了圓周率數值范圍在3．141 592 6與3．141 592 7之間.他們首次將圓周率精確到小數點后第七位,這是當時世界上最精確的記錄．而在1 100多年后的1593年,法國數學家韋達(Fran?ois Viète)才計算到了這里．或許是留下痕跡遠比創造歷史更難,記錄這個算法的《綴術》一書已經失傳了．后人在研究史料的時候對這個精密的算法感到佩服的同時又多了一份好奇,但我們只能根據當時的文明發展來進行推測．

隨著時間軸的推移,越來越多的數學家在劉徽的幾何算法基礎上計算出了更為精確的圓周率近似值．目前為止,劉徽的《九章算術注》已經成為世界科學名著．在2021年,為了紀念劉徽,國際天文學聯合會在為中國嫦娥五號降落地點附近的月球地貌命名時,將劉徽(Liu Hui)作為其中的地貌地名之一．

2.3 中考與高考里的割圓術

數學文化一直是各地區中考和高考的熱門話題,割圓術就是近年來頻繁出現的題材．

(1)(2019年湖北中考題)劉徽是我國魏晉時期卓越的數學家,他在《九章算術注》中提出了“割圓術”,利用圓的內接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積,如圖10,若用圓的內接正十二邊形的面積S1來近似估計⊙O的面積S,設⊙O的半徑為1,則S-S1=．(答案:π-3)

圖10 圖11

(答案:C)

(3)(2020年高考北京卷第10題)2020年3月14日是全球首個國際圓周率日(π Day)．歷史上,求圓周率π的方法有多種,與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是:當正整數n充分大時,計算單位圓的內接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長,將它們的算術平均數作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法,π的近似值的表達式是( )．

(答案:A)

3 其他圓周率的計算方法

國內外的每一位數學家所作出的大大小小的貢獻匯聚成一條數學歷史的長河．就圓周率而言,古希臘人的窮竭法在數學史上也舉足輕重．這個方法先后主要由古希臘兩位數學家安提豐(Antiphon,公元前480—公元前411)和阿基米德(Archimedes,公元前約287—公元前212)創造和改進．

安提豐曾提到:“作一圓內接正方形,將其邊數加倍,得內接正八邊形;再加倍,得正十六邊形．如此下去,最后正多邊形‘窮竭’了圓．因此,總可作出與正多邊形等積的正方形,故圓可化為方．”這個說法是他的一種數學直覺,不過我們可以從中看到極限的影子．后來,阿基米德進一步改進并發揚了它．

阿基米德和劉徽的研究對于幾何的發展意義重大．在計算方法上,阿基米德同時利用了圓內接多邊形和外切多邊形進行計算,而劉徽采用的是在內接多邊形上進行計算;在數學思想上,劉徽使用了極限思想和勾股定理,巧妙地化曲為直,而阿基米德避開了極限,多次使用合比定理和三角形的相似;在影響的程度上,阿基米德在國際上的名譽更大、影響更廣．

在追求數學真理的道路上,人類永無止步．1973年,人們對圓周率已經計算到小數點后300萬位,1993年計算到了小數點后800萬位,2011年計算到了小數點后10萬億位,2018年8月,瑞士的研究人員將它計算到了小數點后62.8萬億位,這是目前最精確的一個數值．縱使現代的社會已經能用計算機進行快速計算,但圓周率的歷史源遠流長,數學家們為此努力的時刻是值得銘記的,也正是這些一代又一代數學家們的堅持,人們對圓的認識才得以愈發深刻．

4 割圓術中的數學思想

不同時期、不同國家的數學家在數學方面思考的方向和深度是不同的．除了時代所流行的文化因素,數學家個人的思想水平往往決定了其所能取得的成就高度．就像前面提到的劉徽,他的割圓術是人們對幾何認知的一個跨越,其精髓不僅在數學方法的使用上,更在數學思想方法的體現上．

4.1 割圓術中的化歸思想

劉徽認為“事類相推,各有攸歸．故枝條雖分而同本干者,知發其一端而已”,數學方法和理論雖多樣,但它們之間是相互聯系的,人們可以觸類旁通．割圓術對面積進行無窮小分割,這就是“化歸思想”的最好體現．“曲”和“直”看似是相去很遠的概念,其實有相通之處．他將幾何圖形的“曲”化“直”,給了數學界一種有效的科學計算方法,而后又通過不斷切割,使得直邊圖形的面積接近于圓面積．從圓到方,這是方法上的轉換,也是思維上的飛躍．

劉徽在數學辯證思想下向我們展示了幾千年前將復雜的問題簡單化的智慧．割圓中把疑難雜癥進行分解,把規則直邊圖形與曲邊復雜圖形進行溝通,把幾何和代數互相轉換,這種將疑難問題轉換后間接解決的方法對后世的數學家們產生了深遠的影響,讓我們看到了一個新的世界．

4.2 割圓術中的極限思想

割圓術蘊含著豐富的數學思想,其中的極限思想是最為重要的思想之一,貫穿割圓的始終．首先,這表現在他把圓進行了無窮小分割,在無窮小分割后圓的內接正多邊形周長就是圓周長;其次,在割圓術中,曲線被他視為由無窮多的小的直邊所組成,“以直代曲”也是我們現在說的積分思想．最后,在劉徽的觀點中,隨著圓被分割的次數增加,所計算的圓內接正多邊形的面積便會越接近圓．這說明了他能從事物中找到變化的趨勢,對變化趨勢的思考就是極限思想的一個深入起點．

劉徽身上的批判精神和求理精神也是他有如此偉大成就的重要原因．極限思想對劉徽所在的時代而言是全新的一種思想,他能夠在批注古文的過程中打破傳統研究,首次嚴謹地討論不確定的量,尤其是極為抽象的無窮大和無窮小,最后還能在確定量和不確定量中找到平衡．也正因如此,后人才得以從有限邁向無限,感受極限的本質．

割圓術在日常生活中也有極多的應用,比如我們常常從無窮大(小)的角度去解決實際的問題．下面我們就通過一些活動來感悟割圓術中的極限思想[2]．

4.2.1 在剪紙活動中感悟極限思想

(1)對折兩次剪一刀成正方形:先把紙對折兩次,形成一個交點,即中心點．再在與中心點相連的兩條邊上截取相等長度,連線并剪一刀,展開后是一個正方形,由4個等腰三角形組成(圖12)．

圖12

(2)對折三次剪一刀成正八邊形:換一張紙,把紙在對折兩次的基礎上過中心點再對折,截取相等長度剪一刀,展開后是一個正八邊形(圖13)．

圖13

(3)按照這樣的方法將紙對折四次、五次……剪一刀,能得到什么圖形?

(4)對比圖形,體會“逼近”．觀察剪出的正多邊形,發生了什么變化?

隨著正多邊形的邊數增多,組成正多邊形的等腰三角形的底邊越來越短,圖形越來越接近于圓,當底邊趨于無限小時,正多邊形就無限接近圓．

4.2.2 在古詩詞中感悟極限思想

還有先秦荀子的《勸學》中有“不積跬步無以至千里,不積小流無以成江海”．我們不妨把一“跬步”看作一個無窮小量,走個幾步、甚至幾萬步也只能在家門口轉轉,要想達到“千里”那么遠的距離確實不知要走多少步,而這個大數量的步數我們就可以看作一個“無限”了,無限步以后的距離當然不是無窮小量了．

在數學歷史文化的發展過程中,中國的千古絕技割圓術所蘊含的數學思想就像是盞不滅的明燈,豎立在文明的長河里,照亮了一代代數學家們的漫漫征途．中國傳統數學文化連綴古今,希望每一次交響都能對我們的教與學有所啟發,并帶給我們繼續探索前行的力量!