立足方法引領 促進深度理解
——以“n次方根與分數指數冪”的教學設計為例*

毛錫榮

(江蘇省無錫市輔仁高級中學 214123)

1 基本情況

1.1 授課對象

授課對象來自江蘇省梅村高級中學高一年級的實驗班．該校于1960年成為江蘇省重點中學,實驗班學生在這個學校是第一層次學生,他們的數學基礎扎實,思維活躍,喜愛數學,參與課堂活動的積極性高,善于思考,合作精神強,勇于發表自己的見解．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中教科書·數學(必修第一冊)》(人教版),本課教學內容為第四章章引言和第一節“4.1.1n次方根與分數指數冪”．指數函數是以指數為自變量的一類函數,其定義域為實數集．為研究指數函數,需要把指數冪運算的范圍進一步推廣．類似于先將整數推廣到有理數,再將有理數推廣到實數,本節教材通過將指數冪由整數指數冪推廣到有理數指數冪,然后推廣到實數指數冪,進而為指數函數的學習奠定基礎．

根據對課程標準與教材內容的分析,確立本節課的教學目標如下:(1)了解指數函數模型的實際背景,認識學習指數的必要性,體會數學探究的方法;(2)理解n次方根、根式以及分數指數冪的有關概念,掌握分數指數冪的運算性質;(3)能正確地進行分數指數冪和根式之間的互化,提高分析問題和解決問題的能力．

本節課的教學重點是根式與分數指數冪的理解與分數指數冪的運算性質的應用;教學難點是根式與分數指數冪的關系的理解與運用．

2 教學過程

2.1 章節引領,提出問題

章引言:良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區良渚和瓶窯鎮,是一個具有宮殿區、內城、外城和外圍水利系統四重結構的龐大都邑(圖1)．

考古學家利用遺址中遺存物碳14的殘留量測定,古城存在時期為公元前3300～前2500年,距今約5 300至4 300年．

2019年7月6日,良渚古城遺址申遺成功,入選《世界遺產名錄》．作為世界文化遺產,良渚古城遺址為中華5 000多年文明史提供了有力實證．

問題1你知道考古學家在測定年代時用了什么數學知識嗎?

問題2當生物死亡后,它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率),大約每經過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”．

預設 設死亡生物體內碳14含量的年衰減率為p,如果把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位．那么,死亡1年后,生物體內碳14含量為;死亡2年后,生物體內碳14含量為;死亡3年后,生物體內碳14含量為;……;死亡5 370年后,生物體內碳14含量為．

設計意圖數學是什么?為什么要學習數學?學習數學有什么用?這些問題大多數不能被學生真正認識和理解．這里,以章引言為切入點,從5 000年前良渚文化入手,設計碳14測定年代時用到什么數學知識這一問題,使學生感受到數學就在我們身邊,它與我們的日常生活和科學技術緊密相連,激發學生學習數學的動力．

問題3(1-p)3的運算含義是什么?

預設 首先引導學生回憶已學整數指數冪概念,然后展示圖2,發現已學整數指數冪已不能滿足實際問題的解決,必須擴展到實數指數冪．然后類比實數學習過程,得到實數指數冪經歷的擴展過程(圖3),并引出課題“n次方根與分數指數冪”．

圖2

圖3

設計意圖引領學生從問題2中引出的整數指數冪出發,通過觀察生物體內碳14含量隨時間變化的連續曲線,自然而然會發現在解決實際問題時從整數指數冪擴展到實數指數冪的必要性;由類比實數學習過程,猜想整數指數冪擴充到有理數指數冪和實數指數冪的過程,感受數學是在已有知識基礎上根據實際需要擴展概念范圍,喚醒學生已有的經驗,讓知識在經驗之根上自然生長,讓學生經歷數學發生發展的過程．

2.2 合作交流,建構概念

(1)n次方根的概念與根式的性質

問題4我們在初中學過平方根、立方根,它們由什么運算引入的?什么是平方根?什么是立方根?怎么表示?同學們能說出這個一般性問題嗎?

預設 引導學生類比初中學過的平方根、立方根的概念,自主建構n次方根的概念,探究根式的基本性質,并組織學生展開交流活動,列舉實例進行辨析．

(2)根式與分數指數冪的互化

問題6請同學們觀察以下式子,有什么規律?(a>0)

問題7你能利用問題6中得出的規律,表示下列式子嗎?

預設 在學生嘗試、歸納、辨析的過程中,通過總結得到結論:當根式的被開方數的指數能被根指數整除時,根式可以表示為分數指數冪的形式;當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時,根式也可以寫成分數指數冪的形式．

問題8你能用方根的意義解釋問題7中的幾個式子的含義嗎?

(3)有理數指數冪的運算性質

問題9整數指數冪的運算性質是什么?如何推廣到有理數指數冪的運算性質?

預設 通過具體實例,引導學生將整數指數冪的運算性質推廣到有理數指數冪,得出有理數指數冪的如下運算性質:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,r,s∈Q)．

設計意圖引導學生從熟悉的整數指數冪出發,通過對實例的分析,探索出“根式可以表示為分數指數冪的形式”,并會用方根的意義解釋這一規律,從而得到正數的正分數指數冪的意義,這樣再由整數指數冪的運算性質,推廣到有理數指數冪的運算性質也就水到渠成了．在這個過程中,讓學生進一步體會數學知識的發展和建構的思維路徑,在建立起對數學知識的深度理解的同時,掌握數學探究的方法,在掌握知識的同時,學會數學的思想和方法．

2.3 知識運用,深化理解

例1求下列各式的值:

例3用分數指數冪的形式表示下列各式(a>0):

例4計算下列各式(式中字母均是正數):

預設 學生自主完成后交流所得結果,教師點評,總結出根式與分數指數冪互化的規律: (1)根指數化為分數指數的分母,被開方數(式)的指數化為分數指數的分子;(2)在具體計算時,通常會把根式轉化成分數指數冪的形式,然后利用有理數指數冪的運算性質解題．

設計意圖幫助學生在應用的過程中進一步認識指數概念的本質,深化對指數概念的理解,使學生熟悉根式與分數指數冪之間的關系,掌握根式與分數指數冪互化的規律,訓練學生的理性思維,提高學生分析問題、解決問題的能力,培養學生的運算素養．

回到開頭的問題:設死亡生物體內碳14含量的年衰減率為p,如果把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位．那么,死亡5 370年后,生物體內碳14含量為多少?

設計意圖引導學生使用新學的知識解決引例中的數學問題,加深對分數指數冪概念的理解,并使得整個一節課前后呼應,形成整體．

2.4 總結反思,升華認知

(1)為什么研究?——研究的背景;(2)研究什么?——研究的內容;(3)怎么研究?——研究的過程、思想和方法;(4)你認為接下來研究什么?——還需研究的問題,將探究活動延伸至課外．

預設 引導學生回顧本節課的研究內容、過程和方法,教師幫助完善,使學生在回顧、總結和反思的過程中建立起完整的知識網絡,升華認知,深化理解．

設計意圖通過“為什么研究”“研究什么”“怎么研究”三個問題,學生不僅學習了本節課的數學知識,而且掌握數學知識的研究路徑．“你認為接下來研究什么?”這一問題,讓學生結合已學的函數,更好地理解“背景概念—圖象和性質—應用”的函數研究套路,深度理解教材的編寫意圖．

3 教后反思

3.1 以章引言為切入點,自然提出問題,發揮學科育人價值

在過去一個相當長的時期,學科教學的目標只關注“雙基”,教學過程變成知識授受的過程,學科育人的任務被成績、分數、升學所遮蔽、所排斥．這種狀況必須改變,教師的教學工作要從“學科教學”轉向“學科育人”．所謂學科育人,就是指學科的教學要以學科知識為載體,以育人為目標,挖掘學科的德育內涵和人格養成價值,致力于培養學生的學科核心素養．

本節課為了更好地發揮數學學科的育人功能,突出學科內容的本質,體現數學思想方法,培養數學能力,發展學生的核心素養,教學時注重數學知識的背景和應用,利用章頭圖——良渚遺址,它存在的時期為公元前3300～前2500年,是距今5 000年左右長江中下游地區等級最高的城址,它對研究中華五千年文明的起源具有重要的參考價值,是弘揚中華文化的寶貴素材．以此為背景設置問題“考古學家在測定年代時用了什么數學知識?”和“死亡5 370年后,生物體內碳14含量為多少?”學生一方面為擁有5 000年璀璨文明的祖國感到自豪,另一方面又了解了所要研究問題的來龍去脈和實際價值,并于良好的研究氛圍中激起濃厚的學習興趣,生成對數學的熱愛,使得對數學知識的探究產生不竭的動力．

3.2 整體把握教材結構,立足方法引領,構建數學研究路徑

布魯納認為:“掌握事物的結構,就是允許許多別的東西以與它有意義地聯系起來的方式去理解它．簡單地說,學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的．”[1]一方面,結構具有較知識點更強的遷移力,也就是學生能用基本的結構不斷拓展和建構知識．另一方面,如果學生把握了知識之間的內在結構、學習方法的結構,就有可能借助結構的支撐,解決許許多多看來似乎陌生但實際密切關聯的問題,從而能夠從整體的高度把握知識的本質,形成對知識、思想和方法的正確認識和深度理解,使得學習的活動更有價值、充滿活力．

本節課主要研究指數冪的概念、表示方法、運算法則及基本性質,這是進一步學習和研究指數函數的基礎．教學中,一方面要引導學生通過對根式、有理數指數冪的概念及運算性質等的探究與辨析,并借助具體例題的求解,深化對根式、有理數指數冪的概念以及有理數指數冪的運算性質的認識,掌握根式、有理數指數冪的概念以及有理數指數冪的性質等知識在解決具體問題中的應用;另一方面要啟發學生學會從整體上把握教材結構,引領學生經歷知識發生發展的過程,感知探究和學習新知的一般套路,體會函數研究的一般思路,使學生不僅學會數學的知識,更學會研究數學的方法,從而有效地提升數學學科的素養．

3.3 滲透數學思想方法,揭示數學本質,提升數學核心素養

數學的基本思想是指對數學及其對象、數學概念和數學結構以及數學方法的本質屬性的認識,是數學的靈魂和精髓.它蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中,制約著學科發展主線和邏輯架構,也是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括．“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了,惟有深深銘記在頭腦中的是數學的精神和數學的思想、研究方法、著眼點等,這些隨時隨地發生作用并使學生終身受益．”[2]掌握數學的基本思想對提升學生的思維品質,對學生后續學習乃至終身發展有十分重要的意義．在數學教學活動中,要有意識地滲透數學思想方法,使學生領悟數學的真諦,學會數學地思考,發揮出數學的真正價值．

數學思想方法存在于問題的解決過程中,數學問題的步步轉化無不遵循著數學思想方法的指導．本節課的教學過程十分重視數學思想方法的滲透和提煉．首先,章引言中碳14衰減問題,是從實際問題中抽象出函數模型的過程,體現了“數學建模”的思想;其次,通過具體實例的歸納,由具體到抽象,由特殊到一般,建立了分數指數冪與n次方根的關系,體現數學不完全歸納的思想;第三,在進行實數指數冪推廣時,類比了實數的擴充過程,在函數研究路徑的探究中,類比了冪函數的研究過程,都運用了類比的思想方法．通過數學思想方法的提煉和滲透,學生在理解和掌握有理數指數冪的概念和性質的同時,內化了“數學建模”“特殊到一般”“不完全歸納”和“類比”的數學思想方法,收到了很好的教學效果．