在教學設計中滲透數學閱讀能力的培養*

郭紅清

(江蘇省黃埭中學 215143)

蘇霍姆林斯基有言:“一個閱讀能力不好的學生,就是一個潛在的差生．”[1]高度信息化的社會中知識總量越來越龐大,數據、圖標等信息充斥了生產生活的各個方面,而閱讀是認識世界和汲取知識的重要手段．閱讀能力的培養就是學科素養和關鍵能力的培養[2],應貫穿并滲透于整個教學活動之中．

數學閱讀是個體根據已有的知識經驗,通過閱讀與數學相關的材料建立數學意義和方法的學習活動,并在此過程中發展數學思維、學習數學語言、鍛煉數學表達．數學閱讀的對象包括教材、例題習題、參考答案、圖形圖表、數學文化等,材料一般涉及大量的數學概念和數量關系．閱讀要講究策略,既要提綱挈領把握整體,又離不開琢磨細節．數學閱讀能力直接關系到數學核心素養培養,其可以體現在數學教學的各個環節[3]．

1 概念文本閱讀教學

數學學習本質上是一個又一個概念的學習,而概念的語句精煉,值得認真研讀和深度辨析．高考命題中常出現“新概念”問題,要求考生現場學習新的數學概念,然后利用新概念分析和解決問題．對概念的閱讀和理解水平直接決定問題的解決,所以說高考考查的是數學能力,而不是刷題能力．

新授課的教學中圍繞概念進行教學設計,以閱讀交流的形式組織教學活動,這是教師培養學生閱讀能力的良機．一堂概念課的教學質量和教師對概念的重視程度高度一致,通過問題鏈引導學生開展活動,是對概念研讀的引導和示范．

1.1 感知閱讀,聯系相關知識

問題1 我們學過數的和,其結果是一個數,而這里是向量的和,其結果又是什么?

問題2 物理中位移的合成,是數的加法還是向量的加法?

設計意圖學習概念要認清概念中涉及的數學對象和與之前知識相同或相似的部分．通過聯系與對比,從舊知識遷移到新知識,從特定情境直觀感知并抽象出新概念．問題1指出這是區別于數的加法的一種特別的加法,是帶方向的量的合成,不是傳統意義上的數和數的和,并指出向量和的結果仍舊是一個向量．問題2指出向量加法是物理中位移情境的數學化,讓學生自然地進行知識遷移,認識數學化過程中的起源和背景．

1.2 理解閱讀,推敲關鍵語句

問題3 概念中有哪些重要語句,你能不能圈畫出來?你覺得有沒有可以刪掉的文字或未考慮到的情況?

問題4 為什么要提出“非零向量”“任意一點”?使用了與數的“加”一樣的數學符號,它是圖形的“加”,是哪個向量的頭接哪個向量的尾?

設計意圖引導學生閱讀概念,字斟句酌,圈劃重難點．問題3可以看成一般閱讀的引導語,有利于學生自主閱讀能力的形成．問題4有了明確指向,激發學生仔細閱讀,推敲文本:“非零向量”,也就是說涉及零向量時需要單獨規定;“任意一點”是因為數學中向量是自由的,向量平行移動時大小、方向不變則向量不變;作圖規定中,a+b是a的終點接b的起點．

1.3 多元閱讀,符號和圖形表征

問題5 能畫出圖形表示此概念嗎?可以調換向量相接的順序嗎?

問題6 圖形構成了一個三角形嗎?一定構成三角形嗎?

問題7 三角形的邊長關系用向量符號怎么表示?

1.4 反思閱讀,辨析應用

問題8 力是物理中的向量模型,以平行四邊形法則合成兩個力,以此定義向量的加法,與三角形法則一致嗎?

問題9 一艘船從長江南岸A地出發,垂直于對岸航行,航行速度的大小為15 km/h,同時江水的速度為向東6 km/h．你能用向量知識解釋船的實際航行速度嗎?

設計意圖概念的學習需要辨析應用,挖掘性質并解決問題．在抽象水平上對概念進行闡述,再結合實例應用概念,解決問題也是為了理解概念．問題8將位移和力兩個物理模型結合起來,辨析平行四邊形法則和三角形法則的聯系,發現兩者之間的一致性．問題9要求借助概念中抽象的術語來觀察新的具體情境,在解決問題的過程中進一步理解概念的數學本質．

教學設計和課堂實施中以問題引領學生閱讀,對概念的解讀使得知識生成成為自然的行為,體現了數學閱讀的邏輯性和嚴謹性、數學表達的多樣性．教學中一般通過情境建構出一個概念骨架,這通常是不完整的,有所欠缺和考慮不周的,師生完全可以通過對教材概念文本的斟酌,從各種語言表征建立概念體系,與后續的相關性質取得有機聯系．

2 探究建構閱讀教學

概念、公式、定理或性質的學習都離不開知識產生的原因,相比結論本身,得到結論的過程更有價值．知識探究建構的過程,始于數學閱讀活動中的初步感知,再從感覺抽象到概念,內化吸收成為知識體系的一部分,鋪平通向應用的道路,也打開了推廣延伸的道路．

有效的學習應該是自然的,有合乎邏輯的探究活動參與其中,而不應該是知識的簡單呈現．每一個公式或定理的教學,都可從直觀感知中探索提煉,在形式化階段進行演繹論證和辨析,直至完成數學建構．數學教材中包含大量引導語,教師應結合教材閱讀、設計一些探究和建構活動,提高教材使用率,也培養了學生的理性精神．

案例2(面面垂直性質定理的探究)下面我們研究平面與平面垂直的性質,也就是在兩個平面互相垂直的條件下,能推出哪些結論?

如果兩個平面互相垂直,根據已有的研究經驗,我們可以先研究其中一個平面內的直線與另一個平面具有什么位置關系．

2.1 回顧中的閱讀,獲取方法

問題1 以面面垂直為條件,有怎樣的結論?這是性質的研究,之前研究過哪些線面關系的性質定理?

問題2 教材中有“根據已有的研究經驗”這一句,已有的研究經驗是什么?

設計意圖教材中每一個性質定理的探究都是一以貫之的,學生通過回憶和翻閱教材指定內容,提高了對教材的認識．問題1提醒學生去哪里閱讀;問題2提醒學生閱讀尋找已有的研究經驗．學生可以在教材有關線面平行、面面平行、線面垂直性質定理的內容中找到許多相似的提示語,順藤摸瓜,從整體上獲取探究線面關系的基本思想:先探究直線和直線具有什么位置關系,再探究直線與平面的位置關系．

2.2 準備中的閱讀,初步感知

問題3 你能夠使用道具表示面面垂直,或者直接尋找生活實例嗎?

問題4 你能夠用圖形表達面面垂直,畫出相應的直觀圖嗎?

設計意圖數學本身是抽象的,所以需要創造或利用感知環境,通過“聽說讀寫畫”的方式形成對最終結論的初步認識．對于問題3的提出,用手工制作的道具或課堂觸手可及的練習本,容易營造出面面垂直的情境．或手指比劃、或鉛筆演示,可以創造出活生生的數學課堂,也激發了學生的學習熱情．問題4是進一步探究的需要,立足于面面垂直的數學特征,也是問題3的數學抽象．閱讀過程伴隨著實物觀察、畫圖表達等活動,提高了學生的數學抽象意識和直觀想象能力．

2.3 探究中的閱讀,發現定理

問題5 兩個平面內各擺放一條直線,請大家判斷兩直線可能的位置關系．是否存在面面垂直特有的線線關系?

問題6 在其中一個平面找一條直線,請大家判斷它和另一平面可能的位置關系．是否存在面面垂直特有的線面關系?

設計意圖學生通過實物輔助觀察,積極交流直觀體會,提高對空間線面關系的認識,并在此基礎上進行數學抽象．問題5的探究中,兩條直線可能重合、相交、平行、異面等,學生討論的過程中可能涉及交線、二面角的平面角等．如果兩平面相交且不垂直,教師和學生逐一對照各種情況加以判斷,發現每一種情況都同等存在,并非是面面垂直的特性,探究活動陷入停頓.問題6的探究中,直線a與平面β可能平行(平行于交線)、斜交(交點落在交線上)、垂直相交(垂足落在交線上)或在面內(與交線重合)等(圖1)．如果兩平面相交且不垂直,那么直線a與平面β不可能垂直相交．師生互動中辨析取舍,發現線面垂直是面面垂直具有的特別情況．

圖1

2.4 建構中的閱讀,演繹論證

問題7 用語言描述定理內容,作出相應圖形,并用數學符號表示．

問題8 閱讀性質定理的證明過程,并說出證明思路．

設計意圖數學閱讀和理解過程中總是不斷交織著三種語言的轉譯,同一個本質可以用多種形式進行呈現．性質定理的證明既可以由教師講授,也可以利用問題引導學生自主閱讀．問題7要求學生組織文本,用“如果……那么……”的形式敘述定理,抽象成數學符號,并用圖形直觀表達,既鍛煉了學生數學語言的表達和轉化,又提升了數學抽象和直觀想象等核心素養．問題8不同于一般的教師講解,引導學生閱讀證明過程,變教師講為學生學,以任務的形式明確學習目標,提高學生總結提煉的意識．

案例2圍繞教材進行教學設計,通過閱讀教材整體把握探究方法．探究過程有方向,感知發現顯自然,建構邏輯求嚴謹,演繹論證講規范,從感性認識過渡到理性認識,符合認知規律．在此過程中,材料豐富、方式多樣,滲透多元表征和總結概括的意識,讓學生形成閱讀自覺．

3 解題分析閱讀教學

數學離不開解題,數學能力就是解題能力,只有在解題中分析、轉化,使用數學技能和體現數學思想,才是掌握了“活知識”．一個數學問題的解決應該從審題閱讀開始,也許需要畫一張圖或者引入數學符號,聯系已經解決過的問題,理清邏輯關系,分析和轉化,尋找解決方案并執行數學運算．

為培養審題能力,可以預設提示問題,波利亞的解題表就是最佳提示．教學時,我們可以根據幾個一般性的提示問題來培養學生的閱讀意識,提升思維習慣．

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明直線CD過定點．

3.1 感知閱讀,直觀想象

問題1 可以畫出本題的示意圖嗎?能夠對照圖形敘述一遍題目嗎?

問題2 誰引起了圖形的變化?(主動點,主動線)圖形變化有沒有什么幾何特征,比如對稱性?你感知到定點可能在哪里嗎?

設計意圖新高考解析幾何問題常常沒有圖形,作圖能力也是考查的重要部分．畫出“靜態的圖”,結合思考可以得到思維上“運動的圖”．誰能夠發現數學問題中隱藏的圖形及其變化,誰就從整體上把握了問題．問題1除了作圖(圖2),還需要重新敘述問題,正確的敘述意味著清晰的邏輯關系．問題2通向對圖形的進一步觀察,感受圖形中的運動變化,并體會出定點位置．

圖2

3.2 理解閱讀,設計算法

問題3 從以下三個角度分析,怎樣開展運算?畫出計算流程圖．

角度①:點P的運動帶動了整個圖形;

角度②:點C的運動帶動了整個圖形;

角度③:直線AC的運動帶動了整個圖形．

問題4 選擇以上不同計算角度,解決問題的難點分別在哪?能不能找到克服難點的辦法?

設計意圖問題解決鏈條較長且路徑多樣,運算難度差別很大．一般運算觀念下得到的不同路徑可以利用流程圖的形式呈現,有利于閱讀者直觀系統地把握復雜問題的解法．問題3培養學生整體觀察和概括的能力,流程圖有助于討論交流,清晰且高效(圖3)．問題4思考判斷,選擇的多樣帶來選擇的困難,如何選、怎樣選既基于經驗,又來自理論分析．三個角度都要計算直線和橢圓的公共點,而點C,D的坐標比較復雜,更進一步導致直線CD的方程建立較為困難．感知定點在x軸上,可以先猜出定點坐標,再證明三點共線．

圖3

3.3 深度解讀,建構探究

問題5 倒過來閱讀,先有直線CD,可以怎樣理解?怎樣逐步得到同樣的圖形?

問題6 運算起點也可以從哪里出發?完整考慮整個解題運算,尤其注意對特殊情況加以改進,并畫出流程圖．

3.4 反思閱讀,概括推廣

問題7 你曾經解決過定點問題嗎?你能將本題推廣得到一個新的數學問題嗎?

問題8 你能概括有關定點問題的一般研究方法嗎?在題目閱讀、圖形觀察、思路呈現等方面有什么好辦法嗎?

設計意圖波利亞談到解題時稱,每一個數學問題都不會被徹底解決,一定有可以延伸推廣的部分．問題7橫向聯系相似問題并加以推廣,比如可類比得到圓或者雙曲線、拋物線等背景下的新問題．問題8梳理解題方法,形式化地提出一般規律,有利于提高解題能力,將思維融匯貫通．

新課程標準提出,學生的閱讀理解能力和解決數學問題的能力緊密聯系．直觀性和抽象性互為表里,問題可以換一種方式敘述．題目中隱藏著新問題,運動變化中有著特殊情況．解題要抓住關鍵語言,形和數是兩條腿,既用于問題閱讀理解,也用于思維分析表達,不可偏廢,不能就題讀題,就題解題．

4 結束語

課堂是數學教學的主陣地．教學設計時,數學概念內容、知識探究過程、解題思路分析等環節中都可以設置相應的閱讀內容,引導學生推敲、 探索、讀寫辨析、總結表達．教師首先提高認識,在潛移默化的滲透中培養數學閱讀能力,提高閱讀興趣,提供閱讀機會,指導閱讀技巧,養成閱讀習慣[4]．

當前數學閱讀隨意性較強,還有很多工作要做．數學材料并不通俗易懂,難以生動有趣,但是有著抽象簡潔之美、邏輯嚴謹之美、多樣統一和諧之美．數學閱讀需要更高的鑒賞能力,更優的閱讀品質,培養閱讀能力也是學生對教師的“去依附”,助力學生通向自主學習,服務于人的終身發展．