創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn) 培育數(shù)學(xué)理性精神
——以“尺規(guī)作圖尋找橢圓的中心”為例*

陸 庭

(江蘇省太倉高級中學(xué) 215400)

理性精神是人們在通過邏輯思維對事物進(jìn)行抽象、概括從而形成概念、判斷或推理的認(rèn)識過程中反映出的尋找事物本質(zhì)及其規(guī)律的精神．著名數(shù)學(xué)家克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中寫道:“數(shù)學(xué)是一種理性的精神,正是這種精神,激發(fā)、促進(jìn)并推動人類的思維得以發(fā)展完善．”[1]高中數(shù)學(xué)在培育理性精神方面有著重要的意義,是培育學(xué)生理性精神的重要載體．張奠宙先生把數(shù)學(xué)理性精神概括為:“獨(dú)立思考,不迷信權(quán)威;尊重事實(shí),不感情用事;思辨分析,不混淆是非;嚴(yán)謹(jǐn)推理,不違背邏輯．”[2]數(shù)學(xué)理性精神的培育能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)理性的魅力,提高通過思考與推理獲得成功的信心和應(yīng)對挫折的承受力,養(yǎng)成堅(jiān)忍的優(yōu)秀品質(zhì)．

數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn),以學(xué)生的動手操作、動腦思維為基礎(chǔ),通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、概括等過程,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的探究或驗(yàn)證過程．這種學(xué)習(xí)方式能使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建構(gòu),逐步理解數(shù)學(xué)概念,從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．因此創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神有著重要的促進(jìn)作用[3]．

1 創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究情境,凸顯“形式化”思想

·片段1

師:古羅馬時期杰拉什(Jerash)的橢圓形廣場(圖1)中央曾有一個高臺,安放著太陽神的雕像,現(xiàn)在在杰拉什藝術(shù)節(jié)期間還作為藝術(shù)節(jié)的圣火燃放地．那么當(dāng)年工人們建造完橢圓形廣場之后該如何去尋找橢圓的中心來安放太陽神的雕像呢?

圖1 杰拉什(Jerash)橢圓形廣場

生:要找到安放太陽神雕像的位置,就是要找到橢圓的中心．

師:當(dāng)時沒有現(xiàn)代的科技手段和測量儀器,如何在偌大的橢圓形廣場上找到它的中心呢?

生:可以將廣場等比例縮放到圖紙上去研究,用尺規(guī)作圖找出橢圓的中心．

師:非常好的想法,我們現(xiàn)在的建筑行業(yè)很多都采用這樣的策略．我們這一節(jié)課的主要任務(wù),就是用尺規(guī)作圖來尋找橢圓的中心．

本節(jié)課以真實(shí)存在的橢圓廣場作為切入口,結(jié)合時代背景,讓學(xué)生將“安放太陽神雕像”這一實(shí)際問題抽象為“用尺規(guī)作圖尋找橢圓的中心”這一數(shù)學(xué)問題,在教學(xué)中凸顯了形式化的思想．教師是課堂的組織者,也是教學(xué)的引導(dǎo)者,通過探究實(shí)驗(yàn)情境的創(chuàng)設(shè),讓學(xué)生明確了本節(jié)課的探究主題,知道“要研究什么”,激發(fā)了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的興趣,進(jìn)而為學(xué)生通過實(shí)例來提出問題、建立模型、充分挖掘已有的橢圓知識來解決問題埋下伏筆,讓學(xué)生經(jīng)歷探究數(shù)學(xué)問題的全過程,促進(jìn)探索精神與實(shí)踐精神的發(fā)展,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)．

數(shù)學(xué)源于生活又高于生活,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是抽象的,但抽象實(shí)驗(yàn)來源于現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)踐[4]．因此,在數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,通常先回歸到直觀和具體的生活實(shí)踐中,通過創(chuàng)設(shè)適合學(xué)情的實(shí)驗(yàn)探究情景,使數(shù)學(xué)的抽象回歸到具體,讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的更好理解,激發(fā)學(xué)生尋找事物本質(zhì)的好奇心．

2 創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究過程,注重“數(shù)學(xué)化”思想

數(shù)學(xué)化的過程通常就是對數(shù)學(xué)知識的探索、發(fā)現(xiàn)、分析、總結(jié)的過程．運(yùn)用數(shù)學(xué)化思想進(jìn)行課堂教學(xué),是一種鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行動手實(shí)踐、獨(dú)立探索的教學(xué)方法．

·片段2

在尋找橢圓中心的過程中(GGB操作),有學(xué)生指出,直接畫一條橫線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),通過細(xì)致的操作讓兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣(GGB原始精度為0.1,這位學(xué)生確實(shí)做到了),再作線段AB的中垂線,與橢圓交于C,D兩點(diǎn),作線段CD的中點(diǎn)O(圖2),即為橢圓的圓心．

圖2 學(xué)生求解過程1

師:請問你這樣做的依據(jù)是什么?

生:因?yàn)闄E圓是對稱的圖形,我只要作x軸的平行線,那么它與橢圓的交點(diǎn)關(guān)于y軸對稱,再作AB的中垂線,它必然過橢圓的中心……

師:想法非常好,但是現(xiàn)在GGB設(shè)定的精度是0.1,如果我改成0.01,A,B的縱坐標(biāo)還一樣嗎?(實(shí)踐發(fā)現(xiàn)不一樣)如果改為0.000 1呢?還能手動操作讓A,B的縱坐標(biāo)一樣嗎?(實(shí)踐發(fā)現(xiàn)非常困難)

數(shù)學(xué)探究的過程是不斷試錯尋求正確結(jié)論的過程,教師應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維誤區(qū),適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤,及時改正,在探究實(shí)驗(yàn)的過程中注重?cái)?shù)學(xué)化思想．以往的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以教師為主導(dǎo),要么教師直接向?qū)W生演示實(shí)驗(yàn)過程,要么學(xué)生按照教師的步驟來做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),學(xué)生感受不到真正的探究過程．學(xué)生的能力都是在多次嘗試中積累出來的,而不是靠教師教出來的．教師是學(xué)生的指路人,一句“改成0.01,A,B的縱坐標(biāo)還一樣嗎?”讓學(xué)生明白了自己的錯誤在哪;一句“如果改為0.000 1呢?還能手動操作讓A,B的縱坐標(biāo)一樣嗎?”也讓學(xué)生徹底明白了靠手動操作使得A,B的縱坐標(biāo)相等是不可能實(shí)現(xiàn)的．

·片段3

生1:圓和橢圓差不多,我們可以利用圓的任意兩條弦的中垂線來找到圓心,那可不可以尋找橢圓中弦的中垂線來找中心?

生2:橢圓中的任意一條線段位置不固定,所以它的中垂線就不一定過中心,中點(diǎn)加上垂直的限制條件是不是太強(qiáng)了呢?

生3:如果找線段的中線行不行?

生4:可是一條線段的中線只知道過中點(diǎn),如何確定它的方向呢?

生5:一條線段不行,那兩條線段行不行呢?

生6:兩條線段中點(diǎn)連線確實(shí)把直線確定了,但是橢圓的中心在哪里呢?

學(xué)生通過相互交流不斷更正(圖3),慢慢地打開了思路,將數(shù)學(xué)問題探究得更加充分．一位學(xué)生興奮地站起來說他畫出了兩組平行線段的中線,發(fā)現(xiàn)這兩組平行線段的中線的交點(diǎn)就是橢圓的中心．教師隨即讓這位學(xué)生用GGB驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)果真如此．(學(xué)生鼓掌)

圖3 學(xué)生求解過程2

人本主義理論認(rèn)為“人的求知欲和學(xué)習(xí)的潛能會在合適的條件下完全釋放出來”．將探究過程還給學(xué)生,教師從實(shí)驗(yàn)的主導(dǎo)者轉(zhuǎn)為引導(dǎo)者,放手讓學(xué)生通過對問題的不斷探索及對方法的不斷修正,從有爭議的問題突破,提出不同的看法,發(fā)表不同的見解.在交流的過程中思維全方位打開,思維的不斷碰撞與疊加使得難以解決的問題通過集體的智慧被創(chuàng)造性地解決了,這種成功的喜悅將會更加激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,進(jìn)而提高他們的學(xué)習(xí)動力．

3 創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究證明,追求“演繹化”思想

學(xué)生發(fā)現(xiàn)了用尺規(guī)作圖尋找橢圓中心的方法并不意味著這個探究實(shí)驗(yàn)的結(jié)束,精彩的部分恰恰才剛剛開始．理性精神的內(nèi)涵包含了追求真理的過程．特級教師張乃達(dá)先生強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)證明是理性探索精神的產(chǎn)物,是理性精神的啟蒙教育,是理性探索活動中的重要環(huán)節(jié)．”[5]數(shù)學(xué)證明是演繹化思想的重要表現(xiàn)形式,創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究證明就是要讓學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥碚撟C探究實(shí)驗(yàn)過程的正確性,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的重要方面,也是設(shè)計(jì)和進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的切入點(diǎn)．

·片段4

師:我們通過GGB驗(yàn)證了兩條平行弦的中點(diǎn)連線必定過橢圓的中心,那你能證明這個結(jié)論嗎?

圖4

證明 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)．

(1)若AB斜率不存在,則x1=x2,x3=x4,從而E(x1,0),F(x2,0),所以EF:y=0經(jīng)過橢圓的中心．

師:觀察證明過程,結(jié)合我們已有的知識,你有什么新的啟示嗎?

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)演繹化思想既要把學(xué)生的注意力吸引到邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性上去,又要激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力;不只訓(xùn)練推演的能力,也要加強(qiáng)歸納和類比的能力;不只要求發(fā)展收斂思維,也應(yīng)要求發(fā)展發(fā)散思維．在抽象、論證、演算、推廣數(shù)學(xué)問題時,能夠把具體與抽象、特殊與一般、邏輯的嚴(yán)密性與形式的生動性等很好地結(jié)合起來．

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)不僅承載著驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題真?zhèn)蔚娜蝿?wù),更加肩負(fù)著通過實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的重任．“命題真?zhèn)蔚呐袛嗯c證明”“檢驗(yàn)命題成立的條件”“將命題推廣到一般化”,這些實(shí)驗(yàn)探究的過程都將培養(yǎng)學(xué)生去思考、發(fā)現(xiàn)新的問題,獲得新的知識,從而達(dá)到弄清問題的本質(zhì)這一最終目的,從根本上培育學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神．

數(shù)學(xué)教學(xué)中的形式化、數(shù)學(xué)化、演繹化思想無一不突顯出理性精神．在數(shù)學(xué)教學(xué)中這些思想不應(yīng)僅局限于對一些數(shù)學(xué)知識的理解,而更應(yīng)該提倡追根溯源、弄清實(shí)質(zhì)、理清脈絡(luò),從而獲得對知識更深層次的理解．總之,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神需要改變以往數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中單一的教師講授模式,應(yīng)創(chuàng)新數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn),在實(shí)驗(yàn)中培育學(xué)生用數(shù)學(xué)的理性思維分析、處理實(shí)際問題的能力,從而將數(shù)學(xué)知識與生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)象結(jié)合起來,讓學(xué)生自己去感受、探索世界萬物中數(shù)學(xué)的本質(zhì)、原理及其內(nèi)在的聯(lián)系．