從“三個理解”看“一次函數、一元一次方程和一元一次不等式”教學

郭儀昊

(江蘇省無錫市天一實驗學校 214105)

好課要打磨,打磨的過程就是取舍與改進的過程．面對多樣的素材,取什么,舍什么,要求執教者要理解教材、理解學生、理解數學．筆者以一次市級評優課蘇科版八年級上冊第6.6節“一次函數、一元一次方程和一元一次不等式”的教學設計的改進過程為例,剖析“三個理解”對課堂教學的重要性．

1 教學設計的改進分析

環節1創設情境,導入新課

原設計 觀看視頻“一次函數征服珠峰”,接著出示登山路線圖(圖1),問學生根據這些信息能提出什么問題．本意是想讓學生根據信息,列出海拔與溫度的函數表達式.試教時發現,學生關注點為圖片上的營地,往往只針對營地對應的溫度提問,沒有達到快速切入主題的效果．

圖1 圖2

改進 為改進這種狀況,筆者去掉了無關信息,保留了本節課有關的核心問題,重新調整了問題呈現的順序．

新設計 聊天式引入,設置問題串:同學們,你們有登山的經歷嗎?你登過的最高的山是什么山?在登山途中,你感覺氣溫有何變化?你們知道世界第一高峰嗎?然后出示珠峰圖片(圖2),給出指向性清晰的信息:若海平面的溫度是6 ℃,每升高1 km,氣溫下降6 ℃.學生能快速得到氣溫關于海拔的函數表達式y=-6x+6.接著讓學生畫出對應圖象,為后續在圖象上分析三個“一次”的關系做好鋪墊．

對比分析相比原設計,改進后的教學設計基于學生的興趣和認知,更多地從學生的視角去思考問題,符合學生的認知規律．同時,設計中去掉了視頻,改成聊天式引入,更能拉近教師和學生的距離,使學生在問題的引領下快速走進本節課的學習．事實上,改進后的教學設計在實施時學生的參與度高,氣氛活躍,收到了較好的教學效果．

環節2探究一次函數與一元一次方程的關系

原設計 繼續看圖1,問學生還能提出哪些問題.學生會說出可以問每個營地對應的溫度是多少,這與圖片上給出的信息有關:圖上給出的已知量都是高度的值,學生自然想到可以求溫度.但很少有學生說出,也可以問根據溫度對應的高度是多少.因此該環節問題的設置有局限性,而且對同一張圖片反復讓學生去提問,學生會感到不知所措,不符合學情．

改進 鑒于此,筆者對原問題做了調整:設置指向性清楚的兩個營地(圖3),讓學生拾階而上,課堂生成自然有序．

圖3

新設計 設置1號營地,給出信息海拔6 km,問學生可以求出什么,指向性明確.學生很容易回答:可以求出對應的溫度為-30 ℃.接著數形結合,讓學生在y=-6x+6的圖象上找到反映1號營地溫度與高度的點,引導學生在圖象上感受已知x的值,可以找到一次函數圖象上的點,這個點的縱坐標就是y=-6×6+6的值．設置2號營地,給出信息氣溫-36 ℃,仿照解決1號營地問題的流程,讓學生明白:當y的值給定時,既可以根據-36=-6x+6求出x的值,也可以在圖象上定縱坐標,找到圖象上點的橫坐標就是方程的解．接著通過比較解決兩個營地問題過程的相同點與不同點,讓學生自己總結得出:從“數”上看,定一個變量的值,一次函數變成一元一次方程,求出另一個變量的值;從“形”上看,一次函數圖象上每一個點的坐標對應一個一元一次方程的解．

對比分析改進后的教學設計,把“數”與“形”結合在一起,從兩個角度比較了一次函數與一元一次方程之間相互轉化的過程,學生易于理解與吸收,并在探究的過程中借學生之口總結了兩者之間的聯系,既體現了學生是學習的主體,也達到了預設的目標．同時在教學設計時把課本上的彈簧例子換成了與學生生活更貼近的爬山,這樣起點低、坡度小的策略讓大多數學生都能參與其中,學習熱情得到提高．

環節3探究一次函數與一元一次不等式的關系

原設計 基于環節2探究一次函數與一元一次方程的經驗,以一個問題“3號營地以下溫度是多少” (圖4)為引,放手讓學生去提問、去探索．此時,課堂上大多數學生一籌莫展,無所適從,雖然教師積極地去引導學生去求兩個營地之間的溫度范圍,但效果不好,學生更不會想到從圖象的視角去理解,整個過程變成了教師自導自演．

圖4

改進 在確保教學流程連貫的設想下,筆者在兩個知識點之間設置了銜接問題,促進學生思維的轉變．

新設計 銜接問題:你知道珠峰的海拔是多少嗎?你能求出對應的溫度嗎?在學生給出答案的同時,指出在實際問題中,溫度y是有范圍的,為后續問題串的提出做了鋪墊．

問題1了解完營地對應的高度和溫度后,我們背上行囊開始登山(圖5),首先,我們要經過的是“登山舒適區”,它的溫度是-18 ℃以上,你能求出對應的高度范圍嗎?

圖5

問題2我們到達了“登山沖鋒區”,溫度在-36～24 ℃,你能求出對應的高度范圍嗎?

問題3我們到達了“登頂區”,高度在7～8 km之間,你能求出對應的溫度范圍嗎?

問題4這三個問題的求解過程有什么相同點?有什么不同點?

問題5仿造前面函數到方程的學習思路,你能嘗試從圖象的角度來理解一元一次不等式嗎?

上述問題串層層遞進,通過小組討論、教師的適時點撥和個別輔導,較好地突破了教學難點．

對比分析該環節基于環節2的知識生成,通過設計有梯度的問題串,讓學生在模仿環節2的過程中完成對新知識的學習.同時,教師在原有知識的基礎上進行適度的引導、啟發,讓學生主動參與到知識探索生成的過程中．教學過程雖花了較多時間,卻讓學生切身感受了知識的逐步生成過程,充分尊重了學生的主體性、教師的主導性．事實上,相比原設計,現在的課堂參與率高,每個學生都有事可做,打破了原有課堂沉悶的氣氛,有效提高了課堂效率．

環節4學以致用

原設計 拋棄了教材中的題目,直接給了一般的一次函數y=kx+b的圖象經過點A(m,0),求:(1)關于x的方程kx+b=0的解是;(2)關于x的不等式kx+b>0的解集是;(3)關于x的不等式kx+b<0的解集是．課后研讀教參發現,本節課中并沒有一般化的要求,是教師人為提高了難度,這就造成基礎薄弱的學生很難跟上教學的進度,從而放棄學習．

改進 從學生角度出發,回歸教材,回歸例題,用具體的例子,讓學生真正掌握三個“一次”之間的聯系．

新設計 例1 試根據一次函數y=2x+4的圖象(圖6)說出2x+4=0,2x+4>0,2x+4<0的解或解集.

圖6

思考:根據圖6說出2x+4=2的解,2x+4<6的解集.

例2 一輛汽車行駛35 km后駛入高速公路,并以105 km/h的速度勻速行駛了xh．試根據上述情境,提出一些問題,并用一次函數、一元一次方程或一元一次不等式求解．

對比分析改進后的教學設計主要體現了:(1)立足學情．這兩個例題只需把前面學到的知識經驗遷移過來即可,實際教學中大部分學生都能快速得到答案,從而獲得成就感,提高了學習的積極性.(2)立足課本．加入的思考題是對課后練習題的整合,意在進一步強化三個“一次”之間的聯系．例2的開放性更是從側面檢驗學生對三個“一次”聯系的理解程度,這樣的設計貼近學生的最近發展區,符合學生思維發展的規律,教學效果明顯．

環節5板書設計

圖7為原設計,圖8為改進后的設計.

圖7 原設計

圖8 新設計

對比分析改進后的板書設計指明了三個“一次”之間的關系:(1)從“數”上看,當一次函數中的兩個變量已知一個時,一次函數轉化成一元一次方程,通過一元一次方程可以求出另一個變量的值.(2)當已知一個變量的范圍時,一次函數轉化為一元一次不等式,通過一元一次不等式可以求出另一個變量的范圍;一元一次不等式和一元一次方程之間通過臨界值相互關聯;從“形”上看,一次函數圖象上點的橫坐標對應一元一次方程的解,一次函數圖象上部分點橫坐標的集合對應一元一次不等式的解集．

2 教學思考

2.1 理解教材,方能提綱挈領,有舍有得

教材是學生學習數學、教師教授數學最基本的素材.理解教材就是要理解教材內容順序設置的合理性,理解例、習題安排的有效性．教師教學時要整體把握教材,挖掘知識的本質,對于教材中的例、習題,教師應通過取舍、改編、整合,構建學科知識框架．本設計在尊重教材的基礎上,對教材中彈簧的引入作了調整,改為既貼近學生生活又富有挑戰性的攀登珠峰,通過設置不同的營地求高度或溫度,設置不同的攀登區求高度或溫度范圍,讓學生在具體的情境中感受三個“一次”相互轉化的過程;后續在細品教材后,舍棄了原設計中較抽象的例、習題,堅持用課本上的例題,并整合了部分習題到例題中,讓學生既鞏固了所學知識又提高了學習積極性．

2.2 理解學生,方能教學得法,收放自如

理解學生主要是指理解學生的最近發展區、思維屏障、認知規律等．本節是探索三個“一次”之間的關系,雖然學生已經掌握每個獨立的知識點,但還沒有建立它們之間的聯系,更不會用整體的眼光去看待三者之間的相互轉化,這是學生思維的難點．要突破難點,就要求教師在選擇教法時把抽象的數學式子和直觀的函數圖象結合起來:一方面,從“數”上找聯系,發現定一個變量的值(范圍),一次函數就轉化為一元一次方程(不等式);另一方面,從“形”上找關聯,發現圖象上的點(部分點)的坐標對應于一元一次方程(不等式)的解(解集),做到“數形 結合”．此外,在教學過程中,教師也要做到收放自如:當學生遇到思維障礙時教師要積極引導,凸顯 主導作用,做到“收”;當學生思維活躍積極參與到 課堂中時教師要大膽放開,凸顯學生的主體地位,做到“放”．

2.3 理解數學,方能關聯前后,形成整體

課標指出,核心素養導向下的中學數學教學關注的是不同知識之間的橫、縱向聯系,強調數學的整體性、數學思想方法內在的一致性[1]．本節課借助函數主線,建立其與方程和不等式之間的聯系,告訴學生方程和不等式可以看成函數在特殊情況下的表達,從而在學生腦海中構建關聯的知識體系;另外,教師還需要關注同一主題內容與方法的一致性,比如這節課建立一次函數、一元一次方程和一元一次不等式聯系的方法同樣適用于二次函數、一元二次方程和一元二次不等式;最后,教師在教學中要理解數學知識的前后關聯性和整體性,只有做到整體把握,才能確保課堂教學內容與教學環節的取舍科學合理,才能確保課堂教學的短期目標與數學教育的長期目標相得益彰[2]．