初中數學項目式課例的設計與實踐
——以“蘇州園林:窗欞之美”為例*

段廣猛 孫 峰

(江蘇省蘇州市工業園區星灣學校 215021)

王曉峰

江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)中明確指出:綜合與實踐以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標,根據不同學段學生特點,以跨學科主題學習為主,適當釆用主題式學習和項目式學習的方式,設計情境真實、較為復雜的問題,引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題．[1]筆者以蘇州園林中的窗欞為載體,開展項目式探究活動,充分調動學生的主觀能動性,使學生真正實現有意義的學習,從而獲得綜合能力的提升．

1 驅動任務

1.1 任務1:“看”中學

用數學的眼光“看”園林,發現與數學有關的研究對象或元素,搜集園林中的各種“數學元素”,并簡單歸類,描述各種數學對象或元素．觀察窗欞圖案,可以感受到圖形對稱之美(軸對稱、中心對稱等)、變換之美(平移、翻折、旋轉等)以及各種不同圖形的組合之趣．還能感受到大量與圖形密鋪有關的素材,抽象出相關的數學研究對象,歸納共同特征,得到平面圖形鑲嵌的基本概念．

表1給出了該任務所需的數學知識或技能以及相應的活動形式和成果建議(下同,不再贅述)．

表3 任務3所需數學知識或技能、活動形式和成果建議

表4 任務4所需數學知識或技能、活動形式和成果建議

1.2 任務2:“思”中學

(1)制定研究路徑:確定具體的研究路徑,即按照什么順序研究圖形鑲嵌．

(2)建立數學模型:建立合適的數學模型分析并解決鑲嵌問題．

(3)發現一般規律:將鑲嵌問題轉化成數學問題,通過求解數學問題,獲取鑲嵌中的一般規律．

1.3 任務3:“查”中學

通過上網查閱文獻或查閱相關的實體書籍,了解窗欞的發展歷史、鑲嵌的發展史以及鑲嵌在建筑、藝術等各方面的應用,梳理成課件展示成果．

1.4 任務4:“做”中學

根據探究所得的一般規律及相關結論,利用多媒體作圖軟件或手工繪制優美而有創意的窗欞圖案,學會用數學的語言進行表達的能力．

2 項目探究

2.1 特征歸納,概念導出,顯示研究對象

美麗的窗欞蘊藏著豐富多彩的數學美,如軸對稱性、中心對稱性、圖形變換(平移、翻折、旋轉)等．觀察各種各樣的窗欞圖案,發現這樣一類有趣的現象:很多窗欞都是由一種或幾種多邊形組合而成,而且每個頂點處這些多邊形的內角之和都是一個周角(圖1)．

由此抽象出鑲嵌的有關概念:用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的鑲嵌．

2.2 觀察分析,結合經驗,確定研究路徑

圍繞“由特殊到一般,從具體到抽象”的基本原則,確定探究“鑲嵌”問題的一般路徑:

(1)一種邊長相等的正多邊形鑲嵌;(2)一種形狀、大小完全相同的一般多邊形(三角形、四邊形、五邊形……)的鑲嵌;(3)兩種邊長相等的正多邊形鑲嵌;(4)三種邊長相等的正多邊形鑲嵌……

2.3 聚焦角度,錨定關系,建立數學模型

確定了研究路徑,接下來進入具體探究環節:

·一種邊長相等的正多邊形

(1)如圖2,先從最簡單的情形入手,即正三角形的鑲嵌．拼圖發現,正三角形可以實現鑲嵌,且每個頂點處需要6個正三角形.

(2)正四邊形的鑲嵌:拼圖發現,正四邊形可以實現鑲嵌,且每個頂點處需要4個正四邊形.

(3)正五邊形的鑲嵌:拼圖發現,每個頂點處放3個正五邊形會有空隙,放4個正五邊形會有重疊,所以僅用正五邊形不能實現鑲嵌.

經過一系列的對比、思考、探究后發現——能否實現鑲嵌的本質條件取決于“同一個頂點處,角度和是否為360°”,從而將多邊形的鑲嵌問題再次抽象成與角度有關的問題．由此提出更一般化的問題:對于邊長相等的同一種正多邊形,哪些能實現鑲嵌?

能夠僅用同一種邊長相等的正多邊形進行平面鑲嵌的只有三種:正三角形、正方形和正六邊形,且上面的拼接實驗檢驗出它們均能夠向外擴展開來．

·一種形狀、大小完全相同的一般多邊形

遵循由特殊到一般的研究路徑,結合前面的探究及轉化經驗,只需要研究“同一個頂點處角度和能否等于360°”．

(1)同一種全等的任意三角形

因為任意一個三角形的三個內角之和均為180°,而180°+180°=360°,所以用同一種全等的任意三角形都可以進行平面鑲嵌．

(2)同一種全等的任意四邊形

由于任意四邊形的四個內角之和恰好均為360°,結合拼接實驗可知,用同一種全等的任意四邊形也可以進行平面鑲嵌．

(3)同一種全等的任意五邊形、六邊形……

根據前面的探究經驗,自然提出:同一種全等的任意五邊形、六邊形是否也能進行平面鑲嵌?

答案是否定的!因為五邊形的內角和為540°,六邊形的內角和為720°……按照上面的拼接方式,顯然并不能滿足“在同一個頂點處各內角之和為360°”這一條件,因此,邊數超過4的任意多邊形均不能進行平面鑲嵌．

·兩種邊長相等的正多邊形

順著“從一到二,從二到三,再到所有”的研究思路,進一步探究兩種邊長相等的正多邊形的組合鑲嵌問題．

只要繼續建立方程模型進行分析:

第1步 (引進字母表示未知量)設有k1個正n1邊形,k2個正n2邊形,其中k1,k2,n1,n2為正整數,且n1≥3,n2≥3;

問題轉化為研究關于k1,k2,n1,n2的四元方程的正整數解問題．

·三種乃至多種邊長相等的正多邊形

進一步思考:最多有幾種邊長相等的正多邊形可能實現鑲嵌?

觀察正多邊形的每個內角度數的變化,發現正多邊形的每個內角隨著邊數的增多而增大．

正n邊形n=3n=4n=5n=6…每個內角度數60°90°108°120°…

回到上面的問題中來,若是有三種邊長相等的正多邊形進行拼接,則同一個頂點處各內角之和的最小值為60°+90°+108°=258°<360°,也就是說,三種邊長相等的正多邊形有可能實現鑲嵌．同樣地,若是由四種邊長相等的正多邊形進行拼接,則同一個頂點處各內角之和的最小值為60°+90°+108°+120°=378°>360°．由此可見,四種邊長相等的正多邊形不可能實現鑲嵌．

由此得到:最多由三種邊長相等的正多邊形實現鑲嵌．

2.4 學科融合,借力編程,求解一般模型

若是一一枚舉,將非常繁雜,利用Python編程(或C+ + 編程)可以找到符合條件的所有非負整數解(共17組):

類型1 一種邊長相等的正多邊形(3種):①(3,3,3,3,3,3);②(4,4,4,4);③(6,6,6)．

類型2 兩種邊長相等的正多邊形(6種):①(3,12,12);②(4,8,8);③(5,5,10);④(3,3,6,6);⑤(3,3,3,4,4);⑥(3,3,3,3,6)．

類型3 三種邊長相等的正多邊形(8種):①(3,7,42);②(3,8,24);③(3,9,18);④(3,10,15);

⑤(4,5,20);⑥(4,6,12);⑦(3,4,4,6);⑧(3,3,4,12)．

注:以上( )中的數字均表示正多邊形的邊數．

以上17種情形中,經過實驗及作圖驗證,最終得到能夠進行平面鑲嵌的只有11種[2]．

2.5 圖案設計,藝術鑒賞,凸顯數學應用

小組合作或獨立創作,利用探究所得的結論,借助電腦軟件或手工繪制優美而有創意的窗欞圖案．通過“做”中學,親身感受圖形鑲嵌、變換、組合的藝術之美,體會數學探究的應用價值,培養用數學的語言進行藝術表達等核心素養,發展審美、創造美的能力．

學生代表作品(圖3):

圖3

靈感來源:密鋪圖形,園林中的自然美景．

數學元素:圖案中心為一個用六個全等的鏢形與箏形拼成的正六角星形,在此基礎上用全等的菱形進行密鋪,組成一個冰晶的形狀．

自然元素:冰晶周圍運用互不相同的多個圖形進行填充,用這種不規則、無規律的美表現大自然的鬼斧神工．

寓意:冬日即將來臨,透過此窗欞觀景,便是透過冰晶賞冬景．即使無雪,也可在園中一步見冰晶,一步見冬景．

3 項目反思

3.1 指向驅動任務,凝練本質問題

項目式學習以驅動任務來包孕本質問題,或以驅動任務推動本質問題的凝練化．通過數學的眼光,可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式,提出有意義的數學問題,抽象出數學的研究對象及其屬性,形成概念、關系與結構,進而幫助人們理解自然現象背后的數學原理,感悟數學的審美價值．本文以蘇州園林中的窗欞為載體,通過若干驅動任務,引導學生用數學的眼光觀察窗欞,發現幾何圖形的對稱之美、組合之美,并聚焦到圖形的密鋪(即鑲嵌)之美,由此提出核心問題:“什么是圖形的鑲嵌?圖形鑲嵌中蘊含怎樣的規律?”在任務實施的過程中,培養學生發現美、探究美、創造美的能力．項目式學習可以幫助學習者不斷發現知識和現實世界的聯系,提出現實生活情境中真實遇到的問題,讓學習者實現“經驗的不斷改造和重新組織”,從而獲取并建構屬于自己的經驗和知識,在“做中學”“學中做”,通過親身實踐解決實際問題．

3.2 體驗真實情境,凸顯實踐價值

《課標2022》指出:初中階段綜合與實踐領域,可釆用項目式學習的方式,以問題解決為導向,整合數學與其他學科的知識和思想方法．項目式學習所涉及的問題主要是現實世界中具有開放性的跨學科問題,問題解決需要將現實問題轉化為數學問題．真實性是考量項目優劣的首要指標,這就要求項目本身必須立足于現實生活的真實場景,或者是真實情境,在真實情境里解決真實問題．本文中千姿百態、美妙絕倫的窗欞就是現實世界的產物,學生從真實情境出發,以數學、美學等不同學科的視角,綜合運用相關學科的知識與方法、思維與習慣去分析、探究窗欞之美,通過創作新的窗欞圖案,又回歸到現實生活中來,充分體現項目式探究的實踐價值．

3.3 聚焦活動過程,提升核心素養

項目式學習中,學生歷經發現問題、解決問題的全過程,在建構學科核心知識的同時,體驗知識學習的價值和意義,使學習方法和思維方式得到不斷強化,從而實現思維品質和關鍵能力的螺旋上升,提升核心素養．本文的項目探究路徑如圖4所示,概括來說,即會用數學的眼光觀察現實世界,從生活情境中抽象出數學的研究對象,發現并提出數學問題;會用數學的思維思考現實世界,通過數學推理,對提出的問題展開有序研究,逐步分析數學問題;會用數學的語言表達現實世界,將數學建模探究得到的相關結論應用于現實生活,發展并提高數學的應用意識．

圖4