“橢圓的扁平程度”微探究活動的思考與設計*

鄒信武

(廣西南寧市第三中學 530021)

1 “橢圓的扁平程度”教學中的問題

“橢圓的簡單幾何性質”是人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊3.1“橢圓”的第二課時內容.本節課一方面要使學生掌握橢圓的幾何性質,另一方面要通過橢圓方程的討論研究橢圓的幾何性質,體會用坐標法研究幾何性質的基本思路與方法,感受通過代數運算研究曲線性質所具有的程序化、普適性等特點．

在本節課中,離心率e與橢圓的扁平程度是課堂教學重點之一．在筆者參與的一次本課時的同課異構教學活動中,幾位教師對于“橢圓的扁平程度”部分的教學大致有以下三種處理方式:

方式1 直接給出特殊橢圓,教師引導并歸納

追問1 這兩個橢圓的扁平程度不同是由方程中的哪個量的變化引起的?

追問2 你認為可以用一個怎樣的關系式來定量刻畫橢圓的扁平程度呢?(利用幾何畫板演示動態變化的橢圓,以此提供直觀支持)

方式2 通過信息技術演示發現,數學實驗探究發現

問題(教師通過幾何畫板演示)我們可以看到a,b,c的變化會影響橢圓扁平程度．請同學們思考,需要幾個量才能發生變化?(與學生辨析分離出兩個基本量:a和c)

追問 用a和c的怎樣的關系刻畫呢?

數學活動 細繩實驗．分別固定焦距、調整繩子長度與固定繩長、調整焦距,觀察橢圓“扁”的程度變化規律．

方式3 數學實驗歸納,代數運算分析

(1)橢圓的扁平程度概念模糊．在沒有明確定義的情況下,“扁平程度”是一個視覺效果,具有相對性,只有在差異明顯時學生才能識別．正因為學生對于扁平程度沒有清楚的認識,所以多數學生無法意識到橢圓可能存在“相似”的情況,進而間接影響了學生思考為什么使用“比”來判斷橢圓的扁平程度,而不使用“差”進行判斷．

(2)幾何關系的觀察與提煉太草率．教材中呈現該部分內容時,采用了“先用幾何眼光觀察,再用坐標法解決”的編排思路．橢圓的前幾條性質(范圍、對稱性等)幾何特征較為明顯,因此不需要太多圖象進行對比提煉．但是對于橢圓的扁平程度,沒有大量的圖象對比作為基礎,讓學生提煉出這一幾何關系是非常困難的．其實這一點在教材第111頁“思考”中也有教學提示:如圖1,對于左邊這些橢圓,顯然呈現出不同的“扁平程度”,但是對于右圖呢,它們的扁平關系是怎樣的?其實應該是“扁平程度一樣的橢圓”,即相似橢圓．

圖1

(3)忽視選擇a,c(或a,b)研究橢圓的扁平程度的思辨過程．三種方式從直接作圖、信息技術演示和“細繩實驗”分析出選取a,c(或a,b)作為參考量,再引導學生探究它們的關系,整個過程看似自然,實則不然．三種設計都有太多教師“直接給予”的成分,缺乏從學生角度的思考——為什么先固定了其中一個量?在高中階段分析兩個參數對數學對象的作用時,常常會先固定其中一個參數,分析另一個參數的作用和影響,再反過來用同樣的方法研究另一個參數,最后綜合分析．思考問題的這種方法應該是在教學中要讓學生體會的．上述的幾種教學設計中顯然忽略了這一點．

圖2

2 “橢圓的扁平程度”教學再設計

2.1 “橢圓的扁平程度”探究活動再認識

在《課標2020》中,數學探究活動的具體表現為[1]:發現和提出有意義的數學問題,猜測合理的數學結論,提出解決問題的思路與方案,通過自主探索、合作研究論證數學結論．在實際教學中,某些探究活動不具備完整的數學探究活動的環節,它只是課堂的一個環節,是教師根據教學目標,設置合理的數學問題和組織形式開展的探究活動,我們可以簡稱為“微探究活動”[2]．在微探究活動中,教師做引導,學生是主體,探究內容為載體,數學思維是鏈條,以此培養學生的主動性、創造性、應用意識和實踐意識．探究橢圓的扁平程度就是一個典型的微探究活動．

解析幾何是一門方法論色彩濃厚的學科,教學中應當以“坐標法研究問題”為主線,以讓學生領會坐標法和數形結合思想為主要任務．因此,根據數學教學微探究活動的特點,結合解析幾何方法論知識,可以把“橢圓的扁平程度”探究活動大致分為三個環節:幾何直觀—代數表達—論證與幾何解釋(圖3)．代數表達是這個探究活動的核心,是發展學生理性思維和科學精神的重要環節．在代數表達環節,主要解決兩個問題:一是橢圓的扁平程度與什么量有關;二是如何用a,c刻畫橢圓的扁平程度．為實現探究活動的預期目標,教師應設置恰當的問題和利用信息技術輔助教學．

圖3 探究橢圓扁平程度的三個環節

2.2 “橢圓的扁平程度”探究活動再設計

問題1我們剛剛得到的“范圍”“對稱性”和“頂點”這些性質是從一個橢圓圖形得到的,如果我們把多個橢圓放在一起,你能發現橢圓的其他特征嗎?請大家觀察圖1和動畫演示．

(教師投影圖1,并演示GeoGebra制作橢圓動畫.如圖4,保持一個橢圓不變化,設置另外一個橢圓的兩個參數a,b自動變化,形成一個自由變化的橢圓．注:此時隱藏四個參數的滾動條)

圖4 GeoGebra演示

設計意圖這是一個比較開放的問題,目的是在圖形的對比中觸發學生的直觀想象.學生的答案可能出現大小、圓扁、相似、周長和面積等,教師充分收集學生的結果,重點關注學生是否發現大小相等、相似和扁平程度等幾何關系．同時,教師指引學生先關注橢圓的扁平程度．

問題2我們發現,不同形狀的橢圓扁平程度不同,相同形狀的橢圓的扁平程度相同．扁平程度是橢圓的重要形狀特征,你能用適當的量定量刻畫橢圓的扁平程度嗎?你覺得我們應該如何開始研究呢?

設計意圖將學生的關注點引向橢圓的扁平程度,并布置下一個環節的學習任務:用適當的量定量刻畫橢圓的扁平程度．這個問題的容量是比較大的,學生需要考慮許多因素才能回答這個問題,而這恰是我們數學教學的目的之一——教會學生思考．因此,提出這個問題后,教師留一定時間讓學生獨立思考,再根據學生的情況,設置追問,引導學生將問題進一步具體化．

追問1 橢圓的扁平程度與橢圓的什么量有關系呢?你是如何判斷的?

設計意圖從幾何直觀中分析影響扁平程度的因素,并設計檢驗方案．在這里,采用何種方式分析兩個參數是關鍵,教學中教師可以進行針對性提問．檢驗過程可以根據教學條件采取不同的方案,例如:

方案1學生使用信息技術,分別保持a(或b)不變,觀察b(或a)變化時橢圓如何變化．分別保持a(或c)不變,觀察c(或a)變化時橢圓如何變化．

方案2細繩實驗:分別固定繩長、調整焦點位置和固定焦點位置、改變繩長,觀察橢圓的變化．

追問2 我們已經確定橢圓的扁平程度與a,c都有關系,a,c是如何一起作用于橢圓的扁平程度呢?結合剛剛的小實驗,你能找到與a,c相關的一個量來刻畫這個現象嗎?請給出猜想論證．

設計意圖這是探究的重點,具有方法論意義,它體現了用數學關系表達客觀世界的現象和規律．教師引導學生從剛剛進行的小實驗中的現象尋找變化規律、提煉關系式,并引出離心率的概念．因為本探究問題的發散性,教師將學生分成小組進行合作思考,并提前準備了幾個預案:

預案2如果有學生用a-c(或c-a)表示,引導學生用信息技術實驗檢驗a-c(或c-a)相同時橢圓的圓扁變化(注意大小不同、扁平程度相同的橢圓的情況)．

如果沒有學生提出用a-c(或c-a)表示,此時教師應該在學生驗證了預案1的猜想之后提出追問:我們能用a-c(或c-a)刻畫橢圓的扁平程度嗎?再回到預案2．

問題3回顧剛才研究橢圓扁平程度的過程,請回答以下問題:

(1)我們剛才依次做了哪些工作?

(2)在這一過程中碰到了什么問題,我們是如何解決它的?

(3)你覺得今后還可以研究橢圓的哪些性質?應該如何開始呢?

設計意圖每一個探究都應該有小結,小結中教師應該帶領學生回顧探究過程,提煉方法,讓學生再一次體會數學思想,并促使學生對未來要探究的數學問題展開聯想．

3 結語

數學是訓練思維的學科,是教會人思考的學科．在探究活動中,教師不僅不能代替學生的思考,更應該促進思考的發生與生成．小環節體現大智慧,教師在教學中充分理解并運用好教材,組織行之有效的微探究活動,是發展學生數學核心素養的重要途徑．