融合現代信息技術 發展學生空間觀念
——數學實驗課“莫比烏斯環”的教學與思考

徐 麗

(江蘇省蘇州工業園區星瀾學校 215121)

空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識.[1]它作為發展空間想象力的基礎,在學生理解現實生活中空間物體的形態與結構上舉足輕重,也是數學課程標準提及的學科核心素養之一.對初中學生而言,教材中涉及空間觀念的內容較少,導致核心素養的形成與發展缺少必要的載體.莫比烏斯環是一個嵌在三維空間中的二維曲面,沒有正反之分.通過對莫比烏斯環幾何本質的探索和研究,可以激發學生學習數學的好奇心和求知欲,開拓視野,在動手實踐、動腦思考的過程中發展學生的空間觀念.

1 教學過程設計

莫比烏斯環是只有一個面、一條邊的單側曲面.初一學生對平面幾何和立體圖形已有初步了解,那么莫比烏斯環蘊含了哪些神奇的數學性質?它在日常生活中有哪些運用?

基于以上思考,設定本節課教學目標:(1)認識莫比烏斯環;(2)利用動手操作、動態幾何軟件制作莫比烏斯環;(3)探索莫比烏斯環的特性,感悟類比、歸納的思想,提高動手做數學、進行數學探究的能力,發展空間觀念.

1.1 提出問題

一張長方形紙條如何變成只有一個面?

問題1 將紙條首尾相連變成一個環(圖1),它是一個面嗎?

圖1

問題2 怎樣才能讓紙環變成只有一個面?

我們知道,長方形紙條有正、反兩面,若將它變為首尾相接形成的紙環,則有內、外兩個面,怎樣才能讓紙環變成只有一個面呢?

設計意圖該環節通過嘗試將紙條變為只有一個面,讓學生動手操作.基于學生原有認知,感受普通紙環有兩個面的特性.拋出問題2:“怎樣讓紙環變成只有一個面?”引發學生思考．

1.2 探索活動

觀看動畫:莫比烏斯環的發現.介紹1858年德國數學家莫比烏斯發現的這一神奇結構,將其命名為莫比烏斯環.

莫比烏斯環就是只有一個面的神奇之環.那它的神奇之處在哪里?

實驗1制作莫比烏斯環.

制作方法:將一根紙條扭轉180°,兩端粘貼做成紙環.

莫比烏斯環的制作方法雖然簡單,但打破了學生原有認知.對于這一新的幾何結構,教學時利用GeoGebra(下稱GGB)軟件演示,呈現莫比烏斯環的圖形特征,豐富學生的空間認知,更清晰地認識該圖形(圖2).

圖2

操作 用紙帶制作莫比烏斯環.

思考 (1)它有幾個面、幾條邊?

(2)它特別之處在哪里?

發現 它只有一個面、一條邊.

結論 它的神奇之處在于只有一個面、一條邊,是一個單側曲面．

設計意圖本環節是讓學生先感受莫比烏斯環的制作過程,再觀察其特殊之處.學生用筆在自己制作的莫比烏斯環上劃線,發現筆跡走一圈后能夠首尾相連,得到莫比烏斯環的特殊之處:只有一個面、一條邊,是一個單側曲面．對于新的幾何結構,借助GGB動態展示,學生經歷制作、觀察、探索三個環節,發展空間觀念.

沿普通雙面紙環中間線剪開,學生的已有認知是會形成兩個大小相同的雙面紙環.那類比到莫比烏斯環呢?這樣的現象仍然存在嗎?沿莫比烏斯環中間線剪開又會產生什么結果呢?

實驗2沿二分之一線剪開莫比烏斯環.

(1)探索

操作 沿中間線剪開莫比烏斯環.

思考 出現什么結果?形成的環是莫比烏斯環嗎?

發現 剪開后形成一個大環,長度是原來環的2倍.

結論 沿中間線剪開莫比烏斯環得到一個大環,長度為原來的兩倍,且大環不是莫比烏斯環.

本環節學生從已有經驗出發,猜想沿莫比烏斯環中間線剪開的結果,再動手嘗試.雖然實驗結果明確,但實驗原理是什么?又蘊含了哪些數學知識?借助動態Flash軟件詳細分解展示裁剪過程,再利用GGB演示沿中間線剪開莫比烏斯環,發現剪開形成的兩個部分能夠連接形成一個整體.教學過程融合信息技術支持,化抽象為直觀,豐富數學現象的理解,進一步發展學生的空間觀念(圖3).

圖3

繼續引導,如果沿著生成大環中間線剪開會產生什么結果?

(2)沿二分之一線剪開生成的大環

操作 從生成的大環中間線剪開.

思考 形成什么?再沿生成的環中間剪開呢?剪n次呢?

發現 因為大環是一個雙側曲面,所以剪開后會形成兩個長度與原來大環相等的環.再繼續沿中間線剪開,則會產生出4個、8個、…、2n-1個環(圖4).

圖4

操作發現,沿普通雙側曲面大環的中間線剪開,會產生兩個雙面大環,這一結論正好匹配學生的原有認知.引導學生思考,繼續沿生成的兩個大環中間線剪開呢?剪開3次、4次、n次呢?學生利用空間想象總結規律,得出結論,發展學生的空間觀念(表1).

表1

沿中間線剪就是沿二分之一線等分剪開,如果沿著其他等分線剪開會出現什么結果呢?

實驗3沿等分線剪開莫比烏斯環.

(1)沿三分之一線剪開莫比烏斯環

操作 沿三分之一線剪開莫比烏斯環.

思考 出現什么情況?形成的環是莫比烏斯環嗎?

發現 剪開后形成一個大環+一個小環(莫比烏斯環),大環長度是原來環的2倍(圖5).

圖5

結論 沿三分之一線剪開莫比烏斯環,剪開后形成一個大環+一個小環(莫比烏斯環),大環長度是原來環的2倍(表2).

表2

(2)沿其他等分線剪開莫比烏斯環

操作 沿四分之一線、五分之一線、六分之一線剪開莫比烏斯環.

思考 剪開后形成的環之間是什么關系?

發現 沿四分之一線剪開形成一個大環+一個小環(莫比烏斯環),大環長度是原來環的2倍.沿五分之一線、六分之一線、…、n分之一線剪開,剪開后形成一個大環+一個小環(莫比烏斯環),大環長度是原來環的2倍.

結論 當n=2時,僅產生一個大環,其長度是原來環的2倍,不是莫比烏斯環.當n≠2時,僅產生一個大環和一個小環,大環的長度是原來莫比烏斯環的2倍,不是莫比烏斯環;小環是等長莫比烏斯環.

本環節由猜想到動手實驗,學生在探索中觀察并思考數學原理.借助動態Flash軟件再現裁剪過程,利用GGB演示,沿三分之一線走遍圓環需兩圈,外側和內側的剩余部分構成一個大環,因為單面循環的特性,中間留下了一個莫比烏斯環.利用數學軟件將抽象的數學原理形象地展現在學生面前,豐富學生的幾何直觀,發展學生的空間觀念(圖6).

引導學生思考沿其他等分線剪開后的情況,并得到結論如表3所示.

表3

無論沿三分之一線、四分之一線還是n分之一線,均為不沿中間線剪開一次.這樣的操作能夠得到一個大環套一個小環.產生原因也是因為單側曲面無限循環.那么如果不沿莫比烏斯環中間線剪開多次呢?

(3)不沿中間線剪開莫比烏斯環n次

觀察 沿非中間線剪開一次生成一個大環+一個小環(莫比烏斯環).

猜想 不沿中間線剪開2次,出現什么情況?

發現 不沿中間線剪開一次,形成一個大環和一個小環(莫比烏斯環),大環長度是原來環的2倍.不沿中間線剪開2次,會形成兩個大環和一個小環(莫比烏斯環).

結論 不沿莫比烏斯環中間線剪開n次,會產生n個大環和一個小環(莫比烏斯環),大環長度是原來環的2倍,是雙側曲面;小環的長度不變,是單側曲面的莫比烏斯環.

設計意圖本節課的研究主題是探索莫比烏斯環單面循環的特性．該環節是讓學生類比不同情況下剪開莫比烏斯環,探索規律.要求初一學生利用動手操作感受實驗結果、用數學語言表述實驗現象并不難,但如何讓學生更深刻地理解現象背后的數學原理、發展空間觀念才更為關鍵.本環節作為這節課的重點,充分利用視頻展示,分解實驗過程、運用GGB分類展示不同實驗的分解過程.學生更細致地觀察并思考,歸納得出規律,感受莫比烏斯環的神奇之處,豐富認知,發展空間觀念,培養幾何直觀．

1.3 感受應用

在工業設計、生產生活、藝術創作中,如果你是設計師,你會將莫比烏斯環運用到哪些方面?本環節采用視頻展示,感受無限循環的創作靈感在生活中的延伸(圖7).

圖7

設計意圖學生感受莫比烏斯環的神奇之處,在認識新的數學知識的過程中感悟數形結合思想與歸納類比思想,將數學知識運用到日常的生活中,感悟數學價值,讓學生愛上數學.

根據學生的設計思路,介紹兩個莫比烏斯環在高維空間中拼湊形成的神奇的克萊因瓶.

1.4 拓展延伸

1882年,克萊因發現了這個著名的“瓶子”.它僅有一個面,因而一只蒼蠅可以直接從瓶子的內部飛到外部而不用穿過瓶身.與莫比烏斯環一樣,它沒有內外之分.雖然克萊因瓶只是一個概念,沒有實物,但運用GGB能實現高維空間中莫比烏斯環構成克萊因瓶的過程,更直觀地豐富學生的空間認知(圖8).

圖8

我們可以將莫比烏斯環的側面變成多邊形,并形成環面,利用網絡畫板感受動態的變化,欣賞美麗的數學圖形(圖9).這給學生后續學習立體圖形、繼續發展空間觀念,埋下渴望知識的種子,同時引導學生將思考延伸到數學課堂之外.

圖9

最后,請學生欣賞音樂大師巴赫的音樂,愿他們都有一雙善于發現的眼睛,在無限循環的探索中感受數學,創造更多的精彩!

設計意圖帶領學生感受環面與莫比烏斯環,從發散的角度思考數學,利用網絡畫板實現多邊形環面與莫比烏斯環的結合,增進學生的空間感受,為后續高中研究立體幾何、解析幾何以及拓撲等學科埋下伏筆;更好地借助信息技術融合數學課堂,將較為抽象的空間圖形直觀展現在學生的眼前,繼續發展學生的幾何直觀.

2 思考

相對于學生熟悉的幾何對象,莫比烏斯環更為抽象.怎樣在三維空間中研究二維平面,特別是如何讓學生在數學活動中感知、體驗、明理,是教學中難以把握的.因此,教師需要在教學中適時地利用技術幫助學生感知原理、理解本質,從而在技術支持下實現空間觀念的培養.

2.1 視覺體驗,在情境中感受,認識數學對象

本節數學實驗課,從如何將一張長方形紙片變成只有一個面的問題引入,讓學生感受莫比烏斯環的無限循環特性.借助GGB、Flash與網絡畫板等技術化抽象為形象,展現裁剪過程,正向與逆向結合,豐富視覺體驗,讓學生更直觀地感受和參與.在情境中拓展學習空間,打開思維的大門,提升數學教學的趣味性.

2.2 動手操作,在實踐中明理,理解數學本質

莫比烏斯環是一種拓撲結構,它抽象不直觀,因此鼓勵學生動手操作,將裁剪、制作、探索、發現融入學習過程,打開學生的思維,提高學生處理信息的 能力,在不知不覺中提升空間觀念,發展幾何直觀素養.

學生經歷了動手操作、探索發現,自然更能深刻地領悟到莫比烏斯環神奇的特征.沿著莫比烏斯環不同等分線剪開產生的不同結果與相關規律,都與莫比烏斯環無限循環的單面特征相關.學生在實踐中明理,探尋數學現象蘊含的數學原理,理解數學本質.

2.3 技術支持,在思考中通融,發展空間觀念

本節實驗課利用GGB、動態Flash軟件、中科院張景中院士研發的網絡畫板等軟件,化“不能”為“能”,化“抽象”為“具象”.沿中間線剪開為何形成一個普通大環?技術賦能激發了學生的興趣,提高了知識的接受程度,在操作和探究中不斷發展學生的空間觀念.融合信息技術的數學實驗課,能提高學生的自信心,促進學生從數學現象思考數學本質,并將數學思考延伸到其他問題的解決.