高中生數學建模能力水平的調查研究
——以蘇州市XH中學高二年級學生為例*

陳子怡

(江蘇省南京市江北新區浦口外國語學校 210031)

唐 秦

(江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 215021)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱“課標”)將數學建模列入六大核心素養,并將“數學建模活動與數學探究活動”作為課程內容的四條主線之一,數學建模在高中數學學習中占有舉足輕重的地位．為落實新課程標準理念,提升學生的數學核心素養,作為江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“高中生數學建模能力的培養與評價研究”的實踐基地,蘇州市XH中學進一步加強了數學建模教學及評價研究,本文描述了數學建模能力評價框架的構建,以及對高中生數學建模能力水平的評價過程．

1 評價指標與水平劃分

1.1 評價框架的構建

由于建模步驟間的依賴性,過程導向型的評價方式很難測試出學生在各建模子能力上的實際表現．因此,課題組采用目標導向型評價,基于喻平的數學核心素養評價框架理論[1],在楊靜所構建的建模能力三維框架[2]基礎上,完善相應評價指標,從內容、結構、水平三個維度,構建了高中生數學建模能力水平的評價框架(圖1),并給出了各水平層次的行為表現(表1)．

表1 高中生數學建模能力各水平層次的行為表現

圖1 高中生數學建模能力水平的評價框架

1.2 測試卷的編制

基于上述評價框架,課題組編制了數學建模能力測試卷．全卷共6題,前五道題采用“子任務”的呈現形式,將建模過程片段化,截取單獨的建模子過程來評估學生的某一建模子能力;最后一題是一個完整的建模任務,并借鑒美國數學及其應用聯盟(The Consortium for Mathematics and Its Applications,即COMAP)建模手冊[3]中的做法,設置問題串引導學生經歷建模的全過程．

測試題取材于國內外的相關研究[4-8],其情境均來自生活實際,并保證所運用的數學學科知識在學生已學過的范疇內．每一水平基本都設置了兩道測試題與之對應,以減少由學生對情境的熟悉程度、知識內容的掌握程度帶來的干擾．各道測試題所對應的具體評價維度等見表2．

1.3 水平的劃分與編碼

為便于編碼,每一水平所對應的題目共賦值10分,全卷共計90分．接著根據各題的得分,劃分學生的建模子能力水平．同一水平對應的試題得分取最高分,達到該題分值的80%則判定其子能力達到該水平,逐級判定,最終確定其三個建模子能力的水平層次．

2 高中生數學建模能力水平的調查研究

2.1 研究問題

(1)高中生的整體數學建模能力水平如何?(2)高中生的數學建模水平與數學學業成績之間是否呈正相關?(3)短期建模教學對學生的數學建模能力有何影響?

2.2 調查對象及實施

研究對象為蘇州市XH中學高二年級的335名學生,其中參加過數學建模課程的有62人．測試工具為課題組編制的數學建模能力測試卷,測試時間為45分鐘．

2.3 研究結果及分析

(1)學生數學建模能力的整體水平

335名學生測試得分的平均值為32.50,標準差為14.35．這表明學生的數學建模能力平均水平較低,且個體間的建模能力差異較大．

在各建模子能力的表現上(圖2),學生的模型簡化與構建能力平均在水平1至2之間,即“再現”與“聯系”水平之間;大多數學生處于水平2“聯系水平”,能在較復雜的情境中遷移或重組標準數學模型．然而,僅有極少數學生達到水平3“創新水平”,且有超過一成的學生尚不具備簡化與構建模型的能力．

圖2 數學建模子能力的水平分布直方圖

在模型的求解能力上,學生的平均水平為水平1“簡單運算水平”,能進行簡單的運算求解,但不具備數學軟件技術的基本操作能力;約三分之一的學生甚至無法確定選擇何種數學工具或技術來求解已知的數學模型．

在模型的解釋與評價能力上,學生平均處于水平1“解釋與驗證結果水平”,即能結合實際情境對所得數學結果進行解釋及合理性驗證．但僅有一成左右的學生能夠評價所建模型的優缺點;而能針對模型的不足提出改進意見、指出模型應用推廣方向的學生更是寥寥．

(2)學生數學建模水平與學業成績的相關性

為探究數學建模能力水平和數學學業成績是否成正相關,課題組從定量的角度,將學生的數學學業成績與其三個建模子能力進行相關性分析．

首先,從教學系統中調取學生的數學成績．為避免單次測試帶來的偶然誤差,分別選取了學生近三次大型測試(上一學期的期末測試、本學期的期初與期中測試)的數學成績,并按期末40%、期初30%、期中30%的比重加權得出學生的數學學業成績．接著將其排序,按15%∶35%∶35%∶13%∶2%的比重劃分等第A,B,C,D,E．

然后,對兩組數據進行相關分析(表3)．Spearman相關性檢驗結果(表3)表明,學生的數學學業成績與其對模型的簡化與構建能力不存在顯著相關性;與模型的求解、解釋與評價能力呈極弱的正相關性,但由于相關系數極低(r<0.3),可視為二者不相關．因此可認為,學生的三個數學建模子能力水平與其學業成績均不存在相關關系．

表3 Spearman相關性檢驗結果

(3)短期建模教學對學生數學建模能力水平的影響

根據是否接受過建模教學,將學生分為兩組,并對他們的建模子能力水平進行差異性檢驗(表4)．結果顯示,兩組學生在模型的求解能力(p=0.001<0.05)、解釋與評價能力(p=0.03<0.05)上存在顯著差異,但他們的模型簡化與構建能力沒有顯著性差異(p=0.957>0.05)．因此,在統計意義上,短期建模教學對學生求解模型、解釋與評價模型能力的提升效果較好,而對其簡化與構建模型的能力幾乎沒有影響．

表4 Mann-Whitney U秩和檢驗結果

盡管兩類學生的表現不存在統計學意義上的顯著差異,但進一步對比兩組學生的各水平分布情況,可發現二者間的細微差別．若將水平0視為低水平,水平1、水平2為中等水平,水平3為高水平,則接受建模教學組的低水平比例更少,高水平比例更多(圖3),這說明短期建模教學能在一定程度上提高學生的模型簡化與構建能力,建模教學初見成效．

2.4 主要結論

(1)高中生的整體數學建模能力水平較低,且學生個體能力間的差異較大．在建模子能力上,學生的簡化與構建模型能力平均處于水平1“再現水平”與水平2“聯系水平”之間,求解模型能力平均處于水平1“簡單運算水平”,解釋與評價模型能力平均處于水平1“解釋與驗證結果水平”．

(2)學生的數學建模子能力與學業成績間均不存在相關關系．

(3)短期建模教學對學生求解、解釋與評價模型的能力培養效果較好,但對簡化與構建模型能力發展的促進作用較小．

3 思考與討論

3.1 原因分析

針對上述研究結論,探討其中的原因主要有以下幾點:

首先,目前高中對于學生數學建模能力的培養重視尚且不足,只有部分學校專門開設了建模課程,且其教學形式多以選修性課程為主,受眾面較窄,因而學生整體數學建模能力難以提升．同時,學生當前接觸較多的文字應用題大多是對標準數學模型的直接套用,且無需利用相關的數學技術求解問題,得出結論后也幾乎不需要進行驗證,更談不上評價、改進與推廣．

其次,當前對于高中生的評價仍以知識為導向,主要檢驗學生對于數學學科知識的掌握,而本次測試是對學生數學建模能力的考查,數學知識的影響較小,因而并未體現出與數學學業成績的相關關系．

最后,目前高中的建模教學多以教師講授為主,學生實際操作、自主建模的機會不多,其建模能力的提升也就受到限制．通過短期的建模教學,學生能夠了解數學建模的基本流程,知道對于各類數學模型的求解與處理方式,因而能增強其對模型進行求解、解釋與評價模型的意識與能力．而對于學生簡化與構建數學模型能力的培養,絕非一旦一夕之功,需要學生的長期實踐積累．

3.2 對中學數學建模教學的建議

結合研究結論,對中學數學建模教學提出以下幾點建議．

(1)廣泛教學,長期強化建模意識

建模教學要面向所有學生,由于學生的建模能力水平與其數學學業成績并不相關,因此不同數學學業水平的學生都具有發展建模能力的同等可能．建模能力培養的本質是通過數學活動經驗的長期積累來提升學生的“四能”,因此建模教學需要走向“常態化”．除了開設建模課程之外,在日常的教學中,教師也應滲透運用數學知識工具或技術解決實際問題的意識,體現數學與現實世界的緊密聯系．

(2)有計劃、分階段、有目標地實施建模教學

初期的建模教學意在指導學生“入門”,可利用問題示例展示數學建模的完整過程,使學生形成對數學建模的本質、基本流程、基本模型的求解方法等方面的初步認知,并逐步從局部走向整體、從模仿走向自主,從模型的“再現”水平過渡到“聯系”水平．而在“入門”后,則要注重實際操作．例如,指導學生研讀優秀建模論文,體會選題、開題、做題、結題中的思路,鼓勵其在課后參與數學建模項目競賽等．

(3)增強研究意識,發展教師專業素養

在建模教學中,教師也需不斷更新知識技能,提高自身素養．除了掌握常用的幾何畫板等技術外,教師需要進一步學習GeoGebra,MATLAB等軟件的操作．此外,數學建模課例資源開發、建模教學形式的創新也是教師需要面對的重要功課．