基于Bootstrap抽樣的厚尾自回歸過程結構變點檢測

張 思, 金 浩, 楊云鋒

(西安科技大學理學院, 西安 710054)

預先檢測結構變化可以讓我們更好地解讀數據、更準確地預測數據并規避風險.因此,通過檢驗所研究的時間序列是否存在變點來評價其結構的穩定性是非常有必要的.在變點問題的統計推斷研究中,結構變點一直是變點檢驗的核心研究內容之一.Amirhossein[1]討論了基于極大似然方法下的結構變點問題.Sen和Srivastava[2]、Worsley[3]基于最小二乘法提出了對正態序列水平結構變化的檢驗.Dehling等[4]基于累積和統計量檢測了長相依序列的均值變點,發現統計量檢驗功效隨著長記憶指數的增大而減弱.Habibi[5]應用比值型統計量研究了ARCH序列的多均值變點檢驗,這較好地解決了累積和統計量需要精確估計序列長期方差的問題.Saisai[6]利用累積和估計量給出了均值結構變點的一致估計.潘婉彬等[7]采用基于自正則的K-S方法對羊群行為的均值變點進行檢驗,這是因為自正則的K-S檢驗可以避免窗寬參數的選取.陳希孺[8]梳理了近三十年關于均值變點問題的研究方法,主要包括累積和、極大似然、最小二乘估計及M估計等方法．

針對上述均值變點問題,為了推導檢驗統計量的極限分布,要求觀測數據方差存在.但大量的研究發現醫學、經濟、氣象等領域中高頻數據常出現較多的異常值,使得數據呈現尾部概率偏大的統計現象.眾所周知,隨機變量的尾部概率大小度量了其風險,因此不能用傳統的高斯序列來刻畫具備尾部概率偏大的數據,而厚尾序列很好的彌補了這一的缺陷.因此,許多統計學家和計量經濟學家對厚尾序列的統計推斷產生濃厚的興趣.基于平方累積和統計量,Jin等[9]研究了厚尾ARCH序列均值變點檢驗問題,并證明了統計量的極限分布是Lévy過程的泛函.鑒于尾指數未知且難以估計的特點,Wang等[10]通過證明Bootstrap抽樣分布依概率收斂逼近極限分布以避免尾指數的估計,從而實現厚尾序列均值變點檢驗的問題.Qin和Liu[11]基于符號函數研究了α-混合的厚尾序列均值變點檢驗和估計,并利用數值模擬表明其比基于最小二乘的檢驗具有更好的檢測效果.更多關于厚尾序列變點的研究,可參見文獻[12-14]．

考慮到設定相依觀測序列更符合實際情況,本文將研究厚尾自回歸過程均值變點的檢驗問題.由于Horváth等[15]提出的比值型統計量對厚尾相依序列不能得到統計量的精確極限分布且檢驗功效受變點位置的影響,因此本文提出修正的比值型檢驗統計量來提升檢驗功效.同時,針對臨界值依賴尾指數的情況,基于Wang等[10]提出的Bootstrap抽樣方法以獲得尾指數的響應曲線,從而解決厚尾自回歸過程均值變點的檢驗問題．

1 模型與假設

假設均值變點模型如下:

yt=μ+Δ·I{t>k*}+εt,

(1)

εt=ρ1εt-1+…+ρpεt-p+ηt,t=1,…,T,

(2)

針對均值變點的檢驗,提出以下假設檢驗題:

H0:Δ=0,

H1:在未知的時刻k*,Δ≠0．

為了保證下面檢驗統計量的可行性,給出所需的假設和引理.

假設1特征多項式ρ(z)=1-ρ1z-…-ρpzp的根都在單位圓之外．

假設2{ηt}∈D(κ),這里D(κ)為尾指數κ∈(1,2]的穩定吸收域,且Eηt=0．

引理1若厚尾序列{ηt}是獨立同分布,且{ηt}∈D(κ),則

這里aT=T-κ(T),而L1(r)和L2(r)是在區域[0,1]上的κ-Lévy過程和κ/2-Lévy過程.Kokoszka和Wolf[16]指出L1(·)是一個穩定過程,其可以表達為:

這里,{Ut}是獨立同分布在區間[0,1]上的均勻分布隨機變量,{δt}是獨立同分布的隨機變量,滿足P(δt=1)=1-q,P(δt=-1)=q.Γ1,Γ2,…,Γt是具有勒貝格測度的泊松過程的到達時間,且{Ut,δt,Γt}相互獨立．

經典的累積和統計量是檢測均值變點的有效方法,但構建累積和統計量必須估計長期方差,Antoch等[17]指出,即使在獨立的情況下,方差估計也相當困難.特別地,當誤差是重尾序列時,由于長期方差的復雜形式更增加了估計難度.針對此問題,Horváth等[15]提出的比值型檢驗統計量避免長期方差的估計.比值型統計量定義如下,

(3)

(4)

定義修正的比值型檢驗統計量如下:

其中,

2 主要結論

下面證明比值型統計量在原假設下的極限分布,并給出備擇假設下的一致性．

定理1若觀測序列{yt}由(1)～(2)生成,{εt}是p階自回歸厚尾過程,假設1～2成立,在原假設H0下,當T→∞時,有

其中,

V(s;r)=L1(s)-sr-1L1(r),

(s-r)(1-r)-1(L1(1)-L1(r))．

(5)

則式(5)可寫為矩陣形式G=Rρ+ξ.則參數ρ的最小二乘估計為

(6)

將G=Rρ+ξ代入式(6),則

其中,

和

(7)

(8)

令

聯立式(7)和(8),則

(9)

對于t=p+1,…,k,有

則

∏1+∏2+∏3+∏4.

(10)

同理可證得

L1(s)-L1(r)-(s-r)(1-r)-1[L1(1)-L1(r)]=

(11)

聯立式(10)和(11),則

定理1證畢．

定理1表明在原假設下,修正的比值型統計量Q*的極限分布是Lévy過程的泛函.接下來討論備擇假設下檢驗統計量的一致性．

定理2若觀測序列{yt}由(1)～(2)生成,{εt}是p階自回歸厚尾過程,假設1～2成立,在備擇假設H1下,當T→∞時,

證明當k*≤k時,利用觀測樣本yt,t=1,…,k,則殘差序列計算如下

It+IIt,

(12)

(13)

將式(12)代入式(2),則

其中,

(It-ρ1It-1-ρ2It-2-…-ρpIt-p)+ηt,

(14)

因式上式的第二項是常數,由BN分解,不難發現

(15)

令

結合式(13)和式(15),則

(16)

因此,當t=p+1,…,k時,

It-ρ1It-1-…-ρpIt-p+ηt=

(It-ρ1It-1-…-ρpIt-p)+ηt,

則

ρ1It-1-ρ2It-2-…-ρpIt-p)∶=

假定Δ(1-ρ1-…-ρp)<0,令i=[Ts],k=[Tr],k*=[Tr*],當p+1≤i≤k*時,有

-s(r-r*)r-1Δ(1-ρ1-…-ρp).

(17)

顯然,式(17)關于s在區間[0,r*]單調遞增,可得

-Δ(1-ρ1-…-ρp)r*(r-r*)r-1,

(18)

和

(19)

當k*

(s-r*)r*r-1]Δ(1-ρ1-…-ρp).

(20)

注意到,式(20)關于s在區間[r*,r]單調遞減,可得

-Δ(1-ρ1-…-ρp)r*(r-r*)r-1,

(21)

和

(22)

綜合式(18)、(19)、(21)、(22)可得

和

因此

同理當Δ(1-ρ1-…-ρp)>0時,有

綜上,

r*(r-r*)r-1|Δ(1-ρ1-…-ρp)|.

由于均值變點沒有出現在樣本yt,t=k+1,…,T,檢驗統計量分母的極限分布與沒有變點情形下的結論相一致,則1)得證.類似的,2)同理可證.則定理2證畢．

定理2給出了比值型檢驗統計量在備擇假設下一致性的證明.顯然,檢驗統計量的發散性與厚尾指數,樣本容量和跳躍幅度呈正關聯系.另一方面,若p=1,則發散速度與自回歸系數ρ1呈負關聯系．

因極限分布包含未知的尾指數κ,Mandelbrot[20]提出了矩估計來粗略的估計κ,但該方法的估計精確不高.針對κ的估計問題,本文利用Bootstrap抽樣方法實現避免估計κ進而獲取精確的臨界值.具體步驟如下.

其中,

記F=σ(ηi,i≥1),PF,EF分別表示關于F的條件概率和期望.令

Υ(x)∶=

3 數值模擬

為進一步驗證基于Bootstrap方法的比值型檢驗的可行性,本節通過蒙特卡洛方法進行數值仿真.這里只考慮但變點模型,其中信息過程為一階自回歸過程:yt=μ+Δ·I{t>k*}+εt,εt=ρ1εt-1+ηt.這里厚尾序列{ηt}是獨立同分布的,且Eηt=0.因檢驗統計的臨界值是厚尾指數的函數,先利用Bootstrap抽樣方法確定臨界值與尾指數之間的函數關系.不失一般性,設定顯著性水平α=0.05,厚尾指數κ={1.1,…,2},設定循環次數為B=3000,樣本容量T=2000,參數μ=0,自回歸系數ρ1={-0.5,0,0.5}.模擬結果均通過Matlab軟件實現．

表1 基于Bootstrap的比值型檢驗統計量臨界值,T=2000

f(κ)=-43.38κ4+260.7κ3-

543.8κ2+430.2κ-72.82．

下面討論比值型檢驗統計量分別在原假設和備擇假設下的檢驗功效.設定跳躍幅度Δ={0,2,4},變點時刻r*={0.3,0.5,0.7},樣本容量T={300,500,1000},原假設下的經驗水平和備擇假設下的經驗勢是基于3 000次隨機試驗中拒絕原假設的百分數(拒絕率).下圖所有的橫坐標為厚尾指數κ,縱坐標為拒絕率．

圖1顯示了在原假設條件下原比值型檢驗統計量Q(實線)和修正的比值型檢驗統計量Q*(虛線)的拒絕率.拒絕率在顯著性水平0.05附近波動,且隨著樣本容量的增大波動性逐漸減小;拒絕率因厚尾指數、回歸系數的變化而產生的變動很輕微,幾乎忽略不計.這說明基于Bootstrap抽樣的比值型檢驗統計量很好地控制了經驗水平．

圖1 原假設下比值型檢驗統計量的拒絕率Fig.1 Rejection power of ratio-type test under the null hypothesis

圖2給出了在備擇假設下出現一個均值變點情形,跳躍幅度Δ=2,變點時刻r*={0.3,0.5,0.7}所對應的原比值型檢驗統計量Q和修正的比值型檢驗統計量Q*的拒絕率.隨著樣本容量的增大,拒絕率增大,這與定理2的結論一致,即統計量的發散性與樣本容量呈正相關性.隨著厚尾指數κ的減小,統計量的拒絕率減小.這是因為厚尾指數κ越小,序列包含的異常值越多,臨界值越大,導致拒絕率越小.此外厚尾指數κ越小,備擇假設下統計量的發散性減弱,這就解釋了厚尾指數κ越小,拒絕率越偏低現象的合理性.自回歸系數為負時,拒絕率最大,而當自回歸系數為正,拒絕率則最小.原因是在備擇假設下,統計量的極限分布與自回歸系數呈負相關性:自回歸系數ρ1越小,統計量越發散,拒絕率越高.當r*=0.3時,原比值型檢驗統計量Q比修正的比值型檢驗統計量Q*的拒絕率略高.這說明Q在變點時刻位于樣本前半段時對變點較敏感,容易檢測變點.當r*=0.5和r*=0.7時,Q*的拒絕率高于Q的拒絕率.尤其當變點時刻位于樣本前半段時r*=0.7,拒絕率之間差異愈加顯著.這正是本文所提修正比值型檢驗統計量的優勢.究其原因,相比原比值型檢驗統計量的經驗勢對變點位置的敏感性,修正的統計量的經驗勢不會因變點時刻位置靠近樣本后半段而大幅度減小,從而沒有顯著的降低檢驗功效,這使得其更加穩健．

圖3給出了備擇假設下跳躍幅度Δ=4,變點時刻r*={0.3,0.5,0.7}的原比值型檢驗統計量Q和修正的比值型檢驗統計量Q*的拒絕率.正如所期待的,統計量的檢驗功效與跳躍幅度呈較強的正相關性,拒絕率隨著跳躍幅度的增大而增大.其次,拒絕率也隨樣本容量、厚尾指數的增大而增大,但隨著回歸系數的增大而減小.總之,相對于Q對在樣本后半段變點檢驗不敏感的缺陷,Q*的檢驗顯著性不依賴變點位置,具備良好的穩健性.這表明基于Bootstrap方法的比值型檢驗統計量為檢測厚尾相依序列均值變點提供了一種行之有效的工具．

圖3 備擇假設下比值型檢驗統計量的拒絕率,Δ=4Fig.3 Rejection power of ratio-type test under the alternative hypothesis,Δ=4

4 實證分析

圖4 美國鋁業標準化收盤價,2017-04-31-2021-10-28Fig.4 Alcoa’s standardized closing price, 2017-04-31-2021-10-28

5 總結

基于廣義的中心極限定理,本文研究了厚尾p階自回歸過程均值變點的檢驗問題.針對變點位置對檢驗功效的顯著性影響,提出了修正的比值型檢驗統計量.在原假設下證明了統計量的極限分布是Lévy過程的泛函,并得到了其在備擇假設下的發散性.為了避免厚尾指數的估計,利用Bootstrap抽樣方法來逼近極限分布以獲得精確的臨界值.最后,通過蒙特卡洛數值模擬和實證分析驗證了文中檢驗方法對檢測厚尾序列均值變點的有效性和可行性．