基于維納過程的機械密封壽命預測★

朱軍華，時鐘，姚珂，孫立軍

（工業和信息化部電子第五研究所，廣東 廣州 511370）

0 引言

機械密封以其體積小、泄漏量低和可靠性高等優點而被廣泛地應用于石油化工、核電和航空航天等領域的流體機械設備，是重要的工業基礎產品。在石油化工領域，機械密封需阻止具有腐蝕性、可燃性、易爆性和毒性的流體泄漏，因為一旦密封失效、介質泄漏，不僅會污染環境、影響人體健康，還會導致火災、爆炸和人身傷亡等重大事故[1]，在軍工和航空航天領域，機械密封長期工作在高轉速、變載荷和強振動等惡劣環境下，武器裝備中的機械密封失效輕則影響裝備的正常運行和武器戰斗力的發揮，重則引發裝備系統或航天器的重大安全事故。因此，準確評估機械密封壽命至關重要。

機械密封壽命預測方法的研究可分為3 類，分別是基于失效物理模型的壽命預測、基于失效數據的壽命預測和基于性能退化的壽命預測。在失效物理模型方面，Brunetiere 等[2]通過建立機械密封的熱彈流體動力學模型，計算機械密封的摩擦扭矩、泄漏率和端面溫度等以評估其壽命，影響機械密封可靠性的端面薄膜厚度受端面摩擦引起的熱變形和介質應力引起的彈性變形影響較大，惡劣工況下的熱傳導很難精確量化。除此之外，機械密封的結構型式、材料特性、工作條件、介質狀況、磨擦狀態、安裝人員水平和安裝工藝等都對機械密封的壽命及可靠性影響顯著[3]，基于失效物理模型的壽命預測仍面臨不小的困難。

在失效數據的壽命預測方面，顧永泉[4]針對齊魯石化公司煉油廠工藝泵機械密封的失效統計，進行可靠性數據處理，得出不同介質、不同用途的泵和不同的摩擦副的機械密封的統計平均壽命；朱軍華等[3]收集了國內石化領域壓縮機、泵、釜和攪拌器四種應用平臺用的彈簧接觸式密封、干氣密封、液膜密封和機械密封與干氣組合密封等415 例故障數據，研究了各應用平臺上的4 種機械密封的平均壽命水平。由于機械密封失效原因復雜，故障數據收集困難，利用機械密封運行過程中的性能退化數據進行壽命預測日益受到關注。基于機械密封的聲發射數據，張思聰等[5]利用小波去噪和SVR訓練生成退化模型研究了機械密封的壽命預測，胡龍飛等[6]利用QPSO-SVR 對機械密封壽命進行預測；Chen 等[7]采用維納過程、伽馬過程和逆高斯過程描述機械密封泄漏率和摩擦扭矩的退化信息，利用Copula 函數考慮兩種退化指標之間的相關性，通過貝葉斯模型平均法（BMA）實現隨機過程模型的優選，研究了基于兩種性能退化指標的機械密封壽命預測。目前，利用性能退化數據進行壽命預測的方法較多，但結合機械密封的性能退化特點，對各種方法在機械密封壽命預測的適用性研究仍相對較少。

本文建立了廣義維納退化模型M0、線性維納退化模型M1、時間變換維納退化模型M2和非線性維納退化模型M34 種退化模型，結合典型機械密封泄漏率和摩擦扭矩退化試驗數據，研究了4 種退化模型在機械密封壽命預測領域的適用性，并與冪函數、指數函數和多項式退化軌跡模型進行了對比分析，表明了維納退化模型的優越性。

1 基本理論

1.1 維納退化模型

假設機械密封在t 時刻的性能退化量X（t），定義為：

式（1）中：λ（t；θ）和τ（t；γ）是區間[0，∞）上的連續非遞減函數，B（τ（t；γ））用來描述性能退化過程中的不確定性，當τ（t；γ）≠t 時，B（τ（t；γ））為一個非標準的布朗運動。假設X（0）=0，X（t）表示時間t 的累積性能退化量，Λ（t；θ）=，可以得到廣義維納退化模型M0[8]：

當Λ（t；θ）=t 和τ（t；γ）=t，則M0變為線性維納退化過程模型M1，即：

當Λ（t；θ）=τ（t；γ），則M0變為時間變換維納退化模型M2：

當τ（t；γ）=t，M0變為非線性退化模型M3：

通過變換Λ（t；θ）和τ（t；γ）的表達式，上述模型可以衍化出更多的模型。

1.2 失效時間分布及平均壽命計算模型

假設s=τ（t；γ）和τ-1（s；γ）表示τ（t；γ）的逆。式（2）變換為：

式（6）中，η（s；θ）=Λ（τ-1（s；γ）；θ），X（s）首次穿越閾值D 的時間，即X（s）的失效時間S 為：

失效時間S 的條件概率密度函數（PDF）可近似為[8]：

式（11）即為M0模型的PDF。當θ=1 和γ=1時，M0模型轉化為M1模型，其失效時間條件PDF為逆高斯分布：

當b=γ 時，M0模型轉化為M2模型（τ（t；γ）=tγ），其失效時間的條件PDF 為：

當γ=1 時，M0模型轉化為M3模型（τ（t；γ）=t），其失效時間的條件PDF 可由式（14）代入式（9）得到：

考慮材料和工作環境的隨機性的影響，每個產品的性能退化率都不盡相同，為了描述產品間的差異性，假設參數α 是服從均值為μ0和方差為的正態分布，即α～N（μ0，），則X（t）的失效時間PDF 可表示為：

上述M0模型的失效時間PDF 近似為[8]：

分別對θ 和γ 取不同的值可得到M1、M2、M3模型的失效時間PDF。基于4 種模型的PDF，可計算機械密封的平均壽命（MTTF）為：

1.3 模型參數估計方法

假設機械密封的性能退化信息為xi（tij），i=1，2，…，m 和j=1，2，…，ni，其中xi（tij）表示第i 個產品tij時刻的性能退化值。

則xi的PDF 為：

未知參數Θ=（θ，γ，μ0，σ0，σ）的對數似然函數為：

將式（19）分別對μ0和σ0求偏導并令其為0，得μ0的極大似然估計值為

將式（20）代入式（19），得到關于θ，γ，σ0，σ 多個未知數的似然函數，可通過求解似然函數的極大值獲得前述參數的極大似然估計值，最后再代入式（20）得到μ0的極大似然估計值。進一步對式（20）進行簡化，假設每個產品的退化測量時 刻相同，即ni=n，t1=ti1，t2=ti2，…，tn=tini，i=1，2，…，m，對于特定的θ、γ、σ，μ0和σ0的似然估計可以表示為[8]：

式（21）～（22）中，Λ=Λi，Ω=Ωi，Z=ΛTΩ-1Λ，。將和代入式（19），則簡化為關于θ，γ，σ 的似然函數。通過最大化求解l（θ，γ，σ|x，，），可以得到θ，γ，σ 的極大似然估計。然后可以從式（21）～（22）中可以獲得μ0和σ0的極大似然估計。

2 應用案例

某型機械密封開展退化試驗[7]，獲得3 個樣本在450～1 000 h 內的泄漏率和摩擦扭矩性能退化試驗數據，如圖1 所示。利用前述維納退化模型對其進行壽命預測，以驗證模型準確性，并與基于退化軌跡的冪函數模型、指數函數模型和多項式模型進行對比分析。

圖1 機械密封性能退化曲線

2.1 維納退化模型預測結果分析

首先將機械密封性能退化數據進行預處理，使其滿足維納過程的初始條件，即X（0）=0；然后，利用預處理后的數據計算M0、M1、M2和M34 種退化模型參數的極大似然估計值，結果如表1～2所示。

表1 基于泄漏率的模型參數估計結果

表2 基于摩擦扭矩的模型參數估計結果

采用4 種維納退化模型預測泄漏率和摩擦扭矩退化量，分別獲得5 000 組退化樣本及失效時間樣本，圖2～3 分別為M0模型預測泄漏率和摩擦扭矩退化失效時間統計頻度與M0模型的理論PDF 對比，可以看出二者吻合度較好，表明式（16）理論模型正確。進一步計算5 000 組泄漏率和摩擦扭矩退化樣本的平均值，獲得4 種模型預測的退化量平均值曲線，并與實測值進行對比，如圖4～5 所示，可以看出，M0與M3模型預測泄漏率的退化結果與實測值變化趨勢較接近，M1和M2預測結果明顯偏離，M1為線性維納退化模型，其預測的退化曲線呈現線性變化趨勢，不適合預測類似于泄漏率的非線性退化過程；4 種模型預測摩擦扭矩的退化結果與實測值變化趨勢均一致。

圖2 基于泄漏率的M0 模型失效時間PDF

圖3 基于摩擦扭矩的M0 模型失效時間PDF

圖4 不同維納退化模型的泄漏率退化預測

圖5 不同維納退化模型的摩擦扭矩退化預測

利用4 種模型的理論PDF 由式（17）計算平均壽命，結果如表3 所示，可以看出，M0與M3模型對于兩種性能退化數據均能獲得高精度的預測結果，表明其適應性較好，M1和M2模型僅適用于利用摩擦扭矩退化過程進行壽命預測。

表3 維納退化模型的平均壽命結果對比

2.2 與退化軌跡模型的對比分析

為了進一步研究維納退化模型的壽命預測效果，將M0 模型與冪函數、指數函數和多項式模型等退化軌跡模型進行對比，幾種模型的性能退化預測結果如圖6～7 所示，預測泄漏率退化時，選取4階多項式模型，預測摩擦扭矩退化時，選取1 階多項式模型（線性模型），從圖中可以看出，M0模型和多項式模型的預測結果與實測值吻合度較高，冪函數和指數函數模型對泄漏率和摩擦扭矩的預測結果在性能退化的后半段均與實測值發生較大偏離，壽命預測結果如表4 所示，可以看出，冪函數和指數函數模型對摩擦扭矩和泄漏量的退化預測誤差均較大，多項式模型預測結果較好，但不同階數的多項式預測結果差異較大甚至出現無解的情況，在1～20 階范圍內，當多項式階數為3、4、7 和11時，基于泄漏量退化數據的壽命預測誤差較小，階數為4 時精度最高，其他階數預測誤差較大或者無解。當多項式階數為1、2 和6 時，基于摩擦扭矩退化數據的壽命預測誤差較小，階數為1 時精度最高，因此多項式模型中階數的選取非常關鍵。與多項式模型相比，M0模型具有精度高、適應性強的優點。

表4 退化軌跡模型的壽命預測結果

圖6 不同退化模型的泄漏率退化預測

圖7 不同退化模型的摩擦扭矩退化預測

3 結束語

本文研究了4 種維納退化模型在機械密封壽命預測的適用性，獲得以下幾點結論：

a）在4 種維納退化模型中，M0和M3模型可以準確地預測機械密封的泄漏率非線性退化過程和摩擦扭矩線性退化過程，M1和M2模型僅能預測機械密封摩擦扭矩線性退化過程；

b）在冪函數、指數函數和多項式等退化軌跡模型中，僅多項式退化軌跡模型對機械密封的壽命預測結果較好，但多項式階數對結果影響較大；與退化軌跡模型相比，維納退化模型計算過程簡單、適應性強、預測精度高，適用于機械密封的壽命預測。