基于Nelder-Mead算法的PVD加熱器結(jié)構(gòu)優(yōu)化

周皓天 ，張勤芳 ，盧 倩 ，龍汝磊

1.鹽城工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051； 2.光馳科技(上海)有限公司，上海 200444

真空蒸發(fā)鍍膜技術(shù)是指在真空環(huán)境中，通過(guò)物理氣相沉積（physical vapor deposition，PVD）、化學(xué)氣相沉積等手段，將金屬等固體材料氣化附著在產(chǎn)品物件表面并產(chǎn)生一層均勻的薄膜，以達(dá)到增強(qiáng)產(chǎn)品的抗腐蝕性、美觀性以及改善產(chǎn)品的光學(xué)性能等目的［1］。薄膜沉積時(shí)鍍膜機(jī)基板溫度及均勻性是影響成膜質(zhì)量的關(guān)鍵［2-6］。因此鍍膜機(jī)基板表面溫度均勻性優(yōu)化及加熱器結(jié)構(gòu)改良已成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。

馬玉春［7］以空間隔離原子層沉積系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)基底加熱器進(jìn)行溫度補(bǔ)償以及對(duì)噴頭加熱，提高了基底溫度分布的均勻性。陳靖等［8］借助ANSYS 有限元分析軟件研究了兩種不同結(jié)構(gòu)的加熱器對(duì)藍(lán)寶石基底溫度分布的影響。趙麗麗［9］以原子層沉積系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)有限元分析的方法研究了隔熱板參數(shù)、基座高度以及基座參數(shù)對(duì)基板溫度分布的影響。孫彥慶等［10］借助ANSYS建立了原子層沉積反應(yīng)室模型，通過(guò)控制變量法分析了氣體入口流量、電阻片與基座的加熱距離以及加熱溫度對(duì)襯底表面溫度分布的影響。Leigh 等［11］在研究微波等離子體增強(qiáng)化學(xué)氣相法沉積納米金剛石的過(guò)程中，借助溫度映射技術(shù)探究了襯底臺(tái)設(shè)計(jì)、微波功率和腔室壓力對(duì)襯底溫度均勻性的影響規(guī)律。May等［12］在一個(gè)基板面板上放置4 個(gè)不同溫度的基板，使用分子束外延技術(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，研究了不同基板溫度對(duì)樣本生長(zhǎng)速度的影響。Deng 等［13］將計(jì)算流體力學(xué)模擬與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合，通過(guò)對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)基底溫度均勻性進(jìn)行優(yōu)化。以上成果研究了不同沉積方法下基板溫度均勻性的優(yōu)化方法以及溫度對(duì)成膜質(zhì)量的影響，但在真空蒸發(fā)鍍膜技術(shù)中對(duì)基板溫度均勻性的優(yōu)化尚缺乏深入研究，導(dǎo)致基板溫度均勻性影響機(jī)理不清晰，存在溫度均勻性優(yōu)化效率低的問(wèn)題。

為解決上述問(wèn)題，本研究借助COMSOL Multiphysics 5.6 有限元分析軟件對(duì)真空蒸發(fā)鍍膜機(jī)內(nèi)基板表面溫度分布規(guī)律進(jìn)行探究，并使用單純形法對(duì)加熱系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到提升基板表面溫度均勻性的目的。

1 仿真模型

1.1 幾何結(jié)構(gòu)與模型簡(jiǎn)化

本研究仿真模型參照OTFC-1550 電子槍蒸發(fā)鍍膜機(jī)建立，整體結(jié)構(gòu)如圖1 所示。鍍膜機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，考慮到其中部分因素在加熱過(guò)程中對(duì)基板溫度影響較小，并會(huì)增加不必要的計(jì)算量，因此在不影響加熱系統(tǒng)實(shí)際效果的前提下，對(duì)仿真模型作出如下假設(shè)：

圖1 電子槍蒸發(fā)鍍膜機(jī)模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Model structure of electron gun evaporation coating machine

（1）所有材料都是均勻且各向同性的；

（2）真空中主要換熱方式為熱輻射與熱傳導(dǎo)，不考慮對(duì)流換熱；

（3）由于真空室與基板加熱系統(tǒng)均為軸對(duì)稱實(shí)體，因此將模型簡(jiǎn)化成二維軸對(duì)稱模型，這對(duì)分析系統(tǒng)實(shí)際模型并無(wú)太大影響；

（4）建模中簡(jiǎn)化夾具以下部分；

（5）真空室外層裝有循環(huán)水冷系統(tǒng)，在建模過(guò)程中將水冷系統(tǒng)簡(jiǎn)化成恒定溫度壁面邊界。

簡(jiǎn)化后的基板加熱系統(tǒng)模型如圖2所示。由圖2可知，模型由真空室腔體、加熱絲、輻射板、反射板、基板、基板夾具以及水冷系統(tǒng)組成。模型中真空腔體、輻射板、反射板以及基板夾具材質(zhì)均為SUS304 奧氏體不銹鋼，電熱絲材質(zhì)為Cr20Ni80 鎳鎘合金，基板材質(zhì)為石英。基板尺寸φ30 mm×3 mm；虛線處為有效加熱區(qū)，有效加熱區(qū)弧長(zhǎng)498 mm；頂部加熱絲間距D1=14 mm，側(cè)壁加熱絲間距D2=30 mm，輻射板到反射板距離D3=2 mm，基板夾具底部到上輻射板加熱距離L=400 mm，真空室腔體半徑755 mm。

圖2 簡(jiǎn)化后基板加熱系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)Fig. 2 Simplified rear substrate heating system model structure

1.2 控制模型

加熱過(guò)程中鍍膜腔體內(nèi)部處于真空狀態(tài)，氣體極為稀薄，因此在傳熱過(guò)程中可以忽略對(duì)流傳熱的影響，只考慮熱傳導(dǎo)與熱輻射。在COMSOL Multiphysics 中選用固體傳熱模塊與表面對(duì)表面輻射模塊進(jìn)行耦合。其控制方程［14］為

式中：ρ為基板密度，kg/m3；Cp為基板的比熱容，J/（kg·K）；k為基板導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·K）；T為基板溫度，K；t為傳熱時(shí)間，s；Q為熱源，W/m3。

固體表面的換熱邊界條件為輻射換熱，輻射控制方程如下：

式中：ε為基板表面發(fā)射率；G為投入基板表面的總輻射，J/kg；J為投入基板表面的有效輻射，J/kg；eb為輻射力，W/m2；ρd為基板表面漫反射率；Gm（J）為凈向內(nèi)輻射通量，W；Gamb為環(huán)境投入輻射，J/kg；Gext為外部投入輻射，J/kg；σ為斯蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，σ=5.67×10-8W/（m2·K4）；Famb為環(huán)境角系數(shù)；Tamb為環(huán)境溫度，K；n為透明介質(zhì)的折射率，本研究中n取1。

本模型在研究中選用半立方體法求解輻射傳熱方程。

1.3 邊界條件

設(shè)定整個(gè)計(jì)算域的初始溫度為35 ℃；為了提高計(jì)算效率，將水冷系統(tǒng)簡(jiǎn)化成恒溫壁面，恒定溫度設(shè)定為25 ℃；設(shè)定體積熱源Q0，W/m3。

根據(jù)鍍膜工藝要求，鍍制不同種類膜層需要的基板成膜溫度不同，因此不同結(jié)構(gòu)參數(shù)加熱器的輸出功率也不同，在優(yōu)化加熱器參數(shù)時(shí)需要頻繁更改輸出功率，這種方法優(yōu)化效率不高。針對(duì)該問(wèn)題，本研究引入PID控制算法與熱源Q0耦合。PID控制算法表達(dá)式［15］為

式中：t為控制時(shí)間，s；Kp為比例系數(shù)；Ki為積分系數(shù)；Kd為微分系數(shù)；Tset為設(shè)定溫度，K；Tcal為實(shí)時(shí)檢測(cè)溫度，K。

設(shè)定Tset為305 ℃，比例系數(shù)Kp=5.08×103，積分系數(shù)Ki=35，微分系數(shù)Kd=20。溫度監(jiān)測(cè)點(diǎn)設(shè)置在距離有效加熱區(qū)內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)弧長(zhǎng)R=200 mm處。

選用瞬態(tài)求解器，設(shè)定求解時(shí)間為3 000 s。

1.4 仿真結(jié)果

仿真結(jié)果如圖3～5所示。由圖3～5 可知，加熱系統(tǒng)在2 000 s 時(shí)到達(dá)穩(wěn)態(tài)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)穩(wěn)態(tài)溫度為306.6 ℃，穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)內(nèi)部高溫區(qū)域主要集中在加熱器、基板及夾具部分。有效加熱區(qū)內(nèi)溫度沿徑向方向由內(nèi)到外呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢(shì)，距離有效加熱區(qū)內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)弧長(zhǎng)R=188 mm 處到達(dá)最高溫度，有效加熱區(qū)外側(cè)頂點(diǎn)為溫度最低點(diǎn)，系統(tǒng)有效加熱區(qū)內(nèi)最大溫差為16.5 ℃。

圖3 穩(wěn)態(tài)溫度分布云圖Fig. 3 The nephogram of steady temperature distribution

圖4 監(jiān)測(cè)點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化曲線Fig. 4 Temperature variation curve of monitoring points with time

圖5 穩(wěn)態(tài)時(shí)有效加熱區(qū)內(nèi)溫度分布曲線Fig. 5 Temperature distribution curve in the effective heating zone during steady state

2 溫度影響因素分析

本研究以加熱絲排布間距、加熱器上側(cè)至基板加熱距離以及反射板到輻射板距離為影響因素，通過(guò)單一變量法分析各因素對(duì)加熱系統(tǒng)內(nèi)基板表面溫度均勻性的影響規(guī)律。

加熱絲按空間位置分為頂部加熱絲與側(cè)壁加熱絲兩部分，加熱絲等間隔均勻排布。設(shè)定頂部加熱絲間隔D1=14 mm，側(cè)壁加熱絲間隔D2按D2/D1=k=1.0、1.2、1.3、1.4、1.6 排布，對(duì)上述排布方式進(jìn)行仿真和數(shù)據(jù)處理，結(jié)果如圖6 所示。由圖6可知，改變頂、側(cè)加熱絲的比例對(duì)有效加熱區(qū)內(nèi)弧長(zhǎng)范圍125～500 mm 區(qū)域影響較大，弧長(zhǎng)范圍0～125 mm 范圍內(nèi)影響較小。隨著k由1 增加至1.6，有效加熱區(qū)外側(cè)溫度大幅降低，有效加熱區(qū)內(nèi)側(cè)溫度小幅提升。

圖6 不同加熱絲間隔比例溫度分布情況Fig. 6 Temperature distribution of different heating wire spacing ratios

在此研究基礎(chǔ)上，本文進(jìn)行了加熱絲總體間隔對(duì)溫度均勻性的影響研究。取k=1.3，頂加熱絲間隔D1分別取12、14、16、18、20 mm 進(jìn)行仿真和數(shù)據(jù)處理，結(jié)果如圖7 所示。由圖7 可知，隨著加熱間隔增加，基板變面平均溫度降低，但基板溫度受加熱絲總體間隔影響較小。

圖7 不同總體加熱絲間隔溫度分布情況Fig. 7 Temperature distribution of different overall heating wire intervals

為了保證鍍膜時(shí)蒸發(fā)源至基板有足夠的蒸發(fā)距離，加熱距離L通常為360～440 mm。L依次取360、380、400、420、440 mm進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖8 所示。由圖8 可知，增加加熱距離L，有效加熱區(qū)內(nèi)總體溫度降低，弧長(zhǎng)范圍0～400 mm 內(nèi)受影響較大，當(dāng)加熱距離L增加至420 mm 后，溫度均勻性改善較小。

圖8 不同加熱距離溫度分布情況Fig. 8 Temperature distribution of different heating distances

反射板的作用在于隔離輻射板與真空室腔體的熱量交換以提升加熱系統(tǒng)的加熱效率。本研究依次取輻射板與反射板距離D3為2、4、6、8、10 mm 進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，改變輻射板與反射板的距離，基板整體溫度小幅度降低，弧長(zhǎng)范圍在100～400 mm 內(nèi)基板溫度所受影響較為明顯，剩余區(qū)域受影響較小，基板整體溫度均勻性得到小幅度改善。

圖9 不同反射距離溫度分布情況Fig. 9 Temperature distribution of different reflection distances

3 基于Nelder-Mead 單純形法的加熱系統(tǒng)優(yōu)化

Nelder-Mead 單純形法是一種不需要求目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的多參數(shù)局部?jī)?yōu)化算法，單純形法被廣泛用于求解非線性最小值優(yōu)化問(wèn)題。其基本思想是指在N維空間中構(gòu)建一個(gè)由N+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體，通過(guò)計(jì)算得到各個(gè)頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值并進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)值排序，選取最大值點(diǎn)為最差點(diǎn)，根據(jù)最差點(diǎn)確定優(yōu)化的下降方向，并根據(jù)反射、壓縮、收縮、擴(kuò)張等操作尋找新的頂點(diǎn)來(lái)代替最差頂點(diǎn)，最終通過(guò)反復(fù)迭代使各頂點(diǎn)函數(shù)值逐步降低并向目標(biāo)函數(shù)最小值逼近，達(dá)到迭代尋優(yōu)的目的。

本文借助COMSOL 仿真軟件中的優(yōu)化模塊對(duì)基板加熱系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，選用Nelder-Mead 優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化，其步驟如下：

第一步，在基板有效加熱區(qū)內(nèi)選取探針目標(biāo)，分別為最高溫度Tmax、最低溫度Tmin，設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f（X），設(shè)三維變量X（A，B，C），其中A、B、C分別表示頂側(cè)加熱絲間距比例k、加熱距離L和反射距離D3的值，即優(yōu)化函數(shù)為f（X）=Tmax-Tmin，根據(jù)基板表面溫度影響性分析確定k、L、D3取值與約束范圍，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 優(yōu)化變量初始值及約束范圍Table 1 Optimization variable initial value and constraint range

第二步，設(shè)定初始點(diǎn)X0（A0，B0，C0），A0、B0、C0的值分別取對(duì)應(yīng)變量的初始值，在三維空間內(nèi)以初始點(diǎn)X0為頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)具有4 個(gè)頂點(diǎn)的單純形，4個(gè)頂點(diǎn)為X0、X1、X2、X3。

第三步，計(jì)算對(duì)應(yīng)函數(shù)值并對(duì)其進(jìn)行降序排列，其中函數(shù)值最大的頂點(diǎn)記為最壞點(diǎn)XH，函數(shù)值次大點(diǎn)為XN，函數(shù)值最小點(diǎn)記為最好點(diǎn)XL，將去除點(diǎn)XH以外的頂點(diǎn)所構(gòu)成單純形的形心記為XZ。

計(jì)算反射點(diǎn)XR，其計(jì)算公式為

式中：r為反射系數(shù)，一般取值為1［16］。

如果f（XL）＜f（XR） ＜f（XN），則令XR為新的XH，輸出當(dāng)前最優(yōu)函數(shù)值及所對(duì)應(yīng)的k、L、D3的值并進(jìn)行下一次迭代。否則進(jìn)行擴(kuò)張或者壓縮。

第四步，若f（XL）＞f（XR），即反射點(diǎn)函數(shù)值小于當(dāng)前最小點(diǎn)，則對(duì)反射點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)張，擴(kuò)張后的點(diǎn)為擴(kuò)張點(diǎn)XE，其計(jì)算公式為

式中：e為擴(kuò)張系數(shù)，一般取值為2［16］。

如果f（XE） ＜f（XR），則令XE為新的XH；否則令XR為新的XH；返回第三步進(jìn)行下一次迭代。

第五步，如果f（XR）≥f（XN）并且f（XR）＜f（XH），則令XR為新的XH并進(jìn)行壓縮，否則直接對(duì)XH進(jìn)行壓縮，壓縮點(diǎn)為XS，其計(jì)算公式為

式中：s為壓縮系數(shù)，一般取值為0.5［16］。

如果f（XS） ＜f（XH），則令XS為新的XH并返回第三步進(jìn)行下一次迭代。

第六步，如果f（XS）＞f（XH），則認(rèn)為沿目前方向反射失敗，將除最好點(diǎn)XL以外的所有點(diǎn)向XL進(jìn)行整體收縮，即

式中：X′i為收縮后的第i個(gè)頂點(diǎn)；Xi為第i個(gè)頂點(diǎn)；g為整體收縮系數(shù)，一般取0.5［16］。

計(jì)算新收縮點(diǎn)函數(shù)值，并返回第三步進(jìn)行迭代。

第七步，如果||Xi-XL||＜10-3并且|f（Xi） -f（XL）|＜10-3，則停止迭代，并輸出最優(yōu)函數(shù)值以及最優(yōu)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的k、L、D3的值。否則返回第三步繼續(xù)進(jìn)行迭代。

單純形優(yōu)化算法優(yōu)化變量與函數(shù)值結(jié)果如圖10～12所示。

圖10 優(yōu)化變量k迭代曲線Fig. 10 Optimization variable k iteration curve

圖11 優(yōu)化變量L、D3迭代曲線Fig. 11 Optimization variable L，D3 iteration curve

圖12 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線Fig. 12 Objective function iteration curve

在迭代至27次時(shí)目標(biāo)函數(shù)滿足停止條件，停止時(shí)輸出函數(shù)值為f（X）=9.91 ℃，輸出參數(shù)組合為k=1.23、L=440 mm、D3=3.56 mm。通過(guò)與優(yōu)化前結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析可知，有效加熱區(qū)內(nèi)最大溫差由16.5 ℃降低至9.91 ℃，證明單純形法具有較好的優(yōu)化效果。

4 實(shí)驗(yàn)優(yōu)化驗(yàn)證

為驗(yàn)證加熱系統(tǒng)優(yōu)化效果，本研究中以光馳OTFC-1550 蒸發(fā)鍍膜機(jī)為基礎(chǔ)搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖13所示，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)具體組成見(jiàn)表2。測(cè)試基板為φ30 mm 石英片，溫度傳感器通過(guò)高溫膠帶固定在石英片中心，石英測(cè)試片位置如圖14 所示。考慮到加熱器加工精度問(wèn)題，對(duì)單純形法優(yōu)化輸出參數(shù)組合進(jìn)行微調(diào)，實(shí)際加熱器參數(shù)組合見(jiàn)表3。

表2 基板溫度分布測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)組成Table 2 Composition of experimental platform for testing temperature distribution of substrate

表3 加熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Structural parameters of heatermm

圖13 基板溫度分布測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.13 Experimental platform for testing substrate temperature distribution

圖14 石英測(cè)試片放置位置Fig.14 Placement position of quartz test piece

本實(shí)驗(yàn)首先關(guān)閉腔門進(jìn)行抽真空，當(dāng)真空室內(nèi)壓力低于0.1 Pa 開(kāi)始加熱，加熱初始溫度為室溫30 ℃，加熱過(guò)程中使用PID 程序控制基板溫度，設(shè)定加熱時(shí)間為1 h。通過(guò)數(shù)據(jù)采集器對(duì)石英片表面溫度進(jìn)行采樣，采樣周期為60 s。為保證實(shí)驗(yàn)重復(fù)性，本研究進(jìn)行兩組實(shí)驗(yàn)。

加熱系統(tǒng)在35 min 時(shí)到達(dá)穩(wěn)態(tài)，取測(cè)試片中心位置即熱電偶位置為測(cè)試點(diǎn)，為驗(yàn)證仿真結(jié)果可靠性，同時(shí)取仿真模型相同位置溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行整理。仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖15所示。

圖15 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.15 Comparison between simulation results and experimental results

由圖15 可知，實(shí)驗(yàn)1 測(cè)試點(diǎn)平均溫度為300.65 ℃，最高溫度為304.2 ℃，最低溫度為295.4 ℃，測(cè)試點(diǎn)最大溫差8.8 ℃。實(shí)驗(yàn)2 測(cè)試點(diǎn)平均溫度為300.14 ℃，最高溫度303.7 ℃，最低溫度為294.9 ℃，最大溫差為8.8 ℃。仿真模型測(cè)試點(diǎn)平均溫度為300.28 ℃，最高溫度為303.6 ℃，最低溫度為295.3 ℃，最大溫差為8.3 ℃。實(shí)驗(yàn)與仿真誤差為6%，存在誤差的主要原因：（1）測(cè)試片與基板夾具存在接觸熱阻；（2）熱電偶通過(guò)高溫膠帶固定在測(cè)試片上，檢測(cè)溫度受高溫膠帶影響。

誤差在可接受范圍內(nèi)，驗(yàn)證了仿真模型的可靠性與優(yōu)化效果的有效性，對(duì)鍍膜機(jī)基板加熱系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化具有一定參考意義。

5 結(jié)論

（1）建立了真空加熱過(guò)程瞬態(tài)傳熱仿真模型，并通過(guò)PID 算法實(shí)現(xiàn)基板溫度精準(zhǔn)控制，仿真結(jié)果表明有效加熱區(qū)內(nèi)溫度呈中間區(qū)域高兩側(cè)區(qū)域低的分布規(guī)律。

（2）對(duì)基板表面溫度分布的影響規(guī)律進(jìn)行探究，并借助Nelder-Mead 單純形法對(duì)加熱器關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。基板表面最大溫差由16.5 ℃降低至9.91 ℃，溫度均勻性顯著提升。

（3）通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證基板表面溫度分布情況。實(shí)測(cè)結(jié)果與仿真結(jié)果誤差為6%，驗(yàn)證了系統(tǒng)優(yōu)化的有效性，為真空鍍膜機(jī)基板加熱器設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供參考。