基于計算高度修正方法的圓柱螺旋彈簧橫向剛度研究

高云鋒, 岳柯町, 岳渠德,3

(1.中科泰岳(青島)軌道交通科技有限公司,山東 青島 266106;2.蘇交科集團股份有限公司,江蘇 南京 210018;3.青島理工大學土木工程學院,山東 青島 266520)

螺旋彈簧作為通用減(隔)振元件已廣泛應用于機械制造、工業設備、船舶、建筑、橋梁、鐵路、航空航天等領域。螺旋彈簧天然具有優良的三維隔振性能,隨著近年來螺旋彈簧隔振器的廣泛應用,其水平方向的隔振性能(與橫向剛度有關)也越來越得到人們的關注。螺旋彈簧的橫向剛度不僅與幾何尺寸(如彈簧有效圈數、彈簧高度、彈簧中徑、簧絲直徑等)有關,還與垂向載荷、橫向載荷及彈簧端部的固定方式等有關,所以要精確確定螺旋彈簧的橫向剛度是很困難的。目前計算螺旋彈簧橫向剛度的方法有很多[1-4],但基本方法均是基于等截面彈性直桿理論推導的彈簧橫向剛度計算公式,用這些方法計算的螺旋彈簧的橫向剛度與實測值相差較大,尚不能滿足工程應用的需要。因此,本文在標準BSEN13906-1推薦的橫向剛度計算公式[3]基礎上,通過引入計算高度及其修正條件,提出圓柱螺旋彈簧橫向剛度計算的一種比較精確的方法。

1 螺旋彈簧橫向剛度理論

螺旋彈簧橫向剛度解析公式是基于等截面彈性直桿理論進行推導的,即將彈簧等效為當量等截面懸臂梁,計算模型[1-2]如圖1(a)所示。基本假定:①彈簧的上下端面在受力過程中始終保持平行(圖1(b)和圖1(c)),則彈簧的中間截面處彎矩為零,因此可取1/2彈簧作為研究對象(圖1(d)),將所得橫向變形乘以2倍即為所求結果。②彈簧底端固定約束,不發生轉動。由此建立彈簧變形的微分方程:

圖1 螺旋彈簧橫向剛度計算模型

(1)

(2)

(3)

(4)

H=H0-S

(5)

(6)

式中:F為垂向載荷;FQ為橫向載荷;B為彈簧等效彎曲剛度;J為彈簧等效剪切剛度;R為彈簧垂向剛度;H0為彈簧自由高;S為彈簧垂向變形;SQ為彈簧橫向變形;D為彈簧中徑;E為彈簧材料彈性模量;G為彈簧材料剪切模量;d為彈簧絲徑;n為彈簧有效圈數。

計算模型(圖1(d))的邊界條件為:x=0時dy/dx=0,同時y(0)=SQ/2;x=H/2時y=0。對式(1)進行積分并代入邊界條件,可得彈簧橫向變形與載荷之間的關系為:

(7)

進一步地,可得到彈簧的橫向剛度表達式為:

(8)

將式(3)和式(4)代入式(2),可得:

(9)

將式(4)和式(9)代入式(8),可得:

(10)

其中:

(11)

(12)

(13)

從式(13)可以看出:通常螺旋彈簧的材料參數(如G、E)是確定的,則螺旋彈簧的橫向剛度主要與其垂向剛度、長細比和壓縮比有關;而彈簧的長細比和壓縮比均與彈簧的高度相關,因此,當采用此公式計算時,彈簧的高度是影響其橫向剛度的關鍵因素。圖2顯示了螺旋彈簧的橫垂向剛度比與其垂向壓縮比之間的關系,從圖中可以看出:

(1)不同長細比λ的螺旋彈簧,其橫垂向剛度比η是變化的,且當λ>2.0時,η隨著彈簧垂向壓縮比ξ的增大而減小;當λ<2.0時,則相反。特別注意,當λ=2.0時,彈簧的橫垂向剛度比變化不大,接近于一個常數(ξ≈0.635),這使得這一附近的彈簧可以被用來設計成橫向剛度相對穩定的狀態。

(2)從整體上看,橫垂向剛度比隨著長細比的增大而降低,且當λ≤2.0時,橫垂向剛度比隨長細比的增加變化較大。長細比越大,表明彈簧越柔,其橫向剛度則越小。

進一步地,本文將長細比λ<2.0的彈簧類型稱之為ST型(Short-and-Thick type);相反,則稱之為LT型(Long-and-Thin type)。

圖2 彈簧橫垂向剛度比與垂向壓縮比關系曲線

2 計算高度的確定及其修正方法

(14)

考慮到螺旋彈簧的曲屈變形長度,給出工程上常見的垂向壓縮比及其高度修正系數一般取值,如表1所示。

表1 高度修正系數取值

3 計算方法驗證及算例分析

3.1 計算方法驗證

3.1.1 驗證方法

現選取ST型和LT型這兩類在工程上具有代表性的螺旋彈簧,分別采用有限元方法(FEM)和試驗方法進行對比分析,相關計算參數如表2所示。

采用通用有限元軟件對這兩個彈簧建模如圖3所示,彈簧上、下兩端的限位座簡化為剛體,彈簧采用C3D10單元;彈簧自身及彈簧與限位座之間采用“硬接觸”,摩擦系數為0.3;加載時,先對彈簧上端的限位座施加垂向位移載荷,再施加水平位移載荷,其中:ST01彈簧垂向加載7 mm,水平向加載3.5 mm;LT01彈簧垂向加載15 mm,水平向加載15 mm。

表2 螺旋彈簧計算參數

圖3 彈簧有限元計算模型

采用的試驗加載裝置如圖4所示,在彈簧頂端施加垂向位移載荷,并在試驗過程中保持彈簧的垂向位移不變;彈簧底端通過水平作動器施加帶有滑軌的支承底座水平位移載荷,加載工況與有限元計算加載工況相同。注意,在測試LT01彈簧時,為安全起見,采用4個LT01彈簧并聯的方式進行測試,并將測試結果除以4,得到最終試驗結果。

3.1.2 結果分析

對ST01彈簧和LT01彈簧分別采用解析公式方法和有限元方法進行計算,計算結果如表3 所示。

圖4 彈簧橫向剛度試驗

從表3可以看出:

(1)FEM方法計算準確度優于解析公式法,同時,計算高度修正方法優于未經修正的解析公式方法。從工程應用角度出發,采用經高度修正后的解析公式方法,其計算精度已可滿足工程需要,且其計算速度要優于FEM方法。

相比LT01螺旋彈簧,利用公式(13)方法計算的ST01彈簧的橫向剛度大很多,偏差高達66.9%。這是由于對ST型螺旋彈簧而言,更像是一個“短柱”而非“懸臂梁”,抗剪和抗彎剛度均較大,與公式(13)的基本原理假定存在較大的偏差導致的。

3.2 算例分析

文獻[5]提供了4組螺旋彈簧,其幾何參數、橫向剛度試驗結果如表4所示,根據長細比分類,可知該4組彈簧均屬LT型。分別采用文獻[5]提供的計算方法、公式(13)方法、修正后的公式(13)方法計算各彈簧的橫向剛度值及其偏差如表5所示。

從表5可以看出,螺旋彈簧在較小垂向壓縮比(3#:ξ=14.1%,4#:ξ=10.2%)時,采用公式(13)方法計算較為精確,而在較大垂向壓縮比(1#:ξ=21.4%,2#:ξ=21.7%)時,計算精度較差;文獻[5]推薦方法的計算精度則相反。采用本文推薦的修正公式(13)方法時,可以在較寬垂向壓縮比范圍內具有較高的精度,最大偏差不超過15%,可滿足工程理論分析的要求。

表3 彈簧橫向剛度計算及測試結果

表4 彈簧幾何參數及試驗結果

表5 橫向剛度計算結果及偏差

4 橫向剛度的垂向壓縮比相關性

由前分析可知,針對某一具體的螺旋彈簧(垂向剛度為常量),其橫向剛度RQ尚與垂向壓縮比ξ有關,并非是一個常量。以LT01彈簧為例,對其分別在垂向位移10 mm (ξ=3.4%)、15 mm (ξ=5.1%)、20 mm (ξ=6.8%)、25 mm (ξ=8.5%)、30 mm (ξ=10.2%)和35 mm (ξ=11.9%)下,測試其橫向剛度,并與采用修正公式(13)方法的理論計算值進行比較,如圖5所示。

圖5 橫向剛度RQ的垂向壓縮比ξ的相關性曲線

從圖5可知,隨著垂向壓縮比的增大,該型彈簧的橫向剛度有微幅下降的趨勢,理論預測與試驗基本相同,且計算值與試驗值較為接近,最大偏差為15.6% (ξ=8.5%時),可以滿足工程應用的需要。因此,采用修正后的公式(13)方法可有效預測螺旋彈簧橫向剛度的垂向壓縮比相關性。

5 結論

(1)螺旋彈簧在長細比λ>2.0時,其橫垂向剛度比隨著垂向壓縮比的增大而減小;反之,則得到相反的結論。當λ=2.0時,其橫垂向剛度比可以得到一個相對比較穩定的數值,此時,若針對某具體彈簧,其橫向剛度值則接近于一個常量,即使得橫垂向剛度比ξ≈0.635。

(2)對于ST型螺旋彈簧,其受力特點與橫向剛度理論的基本假定(等效等截面懸臂梁)差異較大,這導致其理論計算值與試驗值差別較大,在具體工程應用時應當引起足夠的重視。

(3)彈簧的計算高度對其橫向剛度的計算值影響較大,通過引入計算高度并給出其在不同壓縮比下的修正系數,采用有限元仿真計算和試驗驗證,表明該修正方法的理論計算具有較高的計算精度,最大偏差不超過15%,可滿足實際工程的需要。