基于雙環(huán)設(shè)計(jì)的PD 垂直起降飛行器軌跡跟蹤控制?

劉栩粼 胡德清

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子與物聯(lián)網(wǎng)學(xué)院 廣元 628000）

1 引言

垂直起降飛行器［1］（vertical taking-off and landing aircraft，VTOL aircraft）不僅具備較高的巡航速度，還具備不受跑道限制就能自由起飛降落的特點(diǎn)，除軍事用途外，在媒體及娛樂(lè)、檢查監(jiān)控、公共安全、農(nóng)業(yè)優(yōu)化等商業(yè)或非商業(yè)領(lǐng)域，也有著十分廣闊的應(yīng)用前景。但由于VTOL 飛行器是集欠驅(qū)動(dòng)、非最小相位于一身的非線性系統(tǒng)［2］，不難發(fā)現(xiàn)具有良好的軌跡跟蹤控制性能是保障VTOL 飛行器能夠穩(wěn)定運(yùn)行的重要因素之一。因此，研究其軌跡控制方法一直是VTOL 飛行器產(chǎn)業(yè)發(fā)展的重要熱點(diǎn)之一［3］。

伴隨著飛行控制技術(shù)的發(fā)展，新技術(shù)與PD 控制技術(shù)相結(jié)合的控制方法在VTOL 飛行器控制中得到了大量的應(yīng)用［4］，比如，為了保障飛行器穩(wěn)定飛行，文獻(xiàn)［5］開(kāi)發(fā)并優(yōu)化一種基于高階觀測(cè)器的魯棒動(dòng)態(tài)滑膜控制方法，以緩解VTOL 顫振現(xiàn)象所引起的不穩(wěn)定問(wèn)題；又比如，針對(duì)VTOL 無(wú)人機(jī)存在下降速度和下沉率較大的問(wèn)題，文獻(xiàn)［6］再次引入魯棒伺服設(shè)計(jì)了VTOL 無(wú)人機(jī)著陸控制方法，減緩了無(wú)人機(jī)著陸的瞬時(shí)速度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)其安全穩(wěn)定地著陸［6］；宋志強(qiáng)等［7］基于線性PD 控制方法，通過(guò)調(diào)整內(nèi)外環(huán)增益系數(shù)，設(shè)計(jì)并解決了無(wú)人機(jī)著陸控制。張妍等為了解決VTOL 的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程，提出了一種基于雙閉環(huán)PD 控制的軌跡跟蹤控制方法，滿足了飛行器能夠快速準(zhǔn)確跟蹤到給定軌跡的需求［8］。

本文主要以垂直起降飛行器為研究對(duì)象，建立其線性數(shù)學(xué)模型［9～11］，再基于前饋補(bǔ)償對(duì)垂直起降飛行器控制器進(jìn)行PD控制方法設(shè)計(jì)，其次，將軌跡跟蹤系統(tǒng)分為內(nèi)外兩個(gè)控制環(huán)路，最后進(jìn)行Matlab/Simulink 的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。研究結(jié)果表明，基于雙環(huán)設(shè)計(jì)的PD控制方法使得垂直起降飛行器性能指標(biāo)較好，能補(bǔ)償控制系統(tǒng)所受到的內(nèi)外干擾，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2 垂直起降飛行器模型

通常，垂直起降飛行器的數(shù)學(xué)模型是由6 個(gè)物理參數(shù)來(lái)描述［12～14］，即橫滾角?、橫向位移X、垂直位移Y以及這3 個(gè)物理量取導(dǎo)所得的橫滾角速度、橫向速度和垂直速度。在不考慮外界干擾的情況下，根據(jù)牛頓第二定律，可得到垂直起降飛行器的動(dòng)力學(xué)模型如下所示。

上式中，T表示的是飛行器底部推力力矩，TL表示的是橫滾力矩，這兩個(gè)物理量是為了用來(lái)直觀地描述VTOL 飛行器的控制輸入。ζ0則是T和TL之間的耦合系數(shù)；J為繞縱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。令：

其中，u1為飛行器底部推力力矩、u2為飛行器橫滾滾動(dòng)力矩；結(jié)合式（1）、式（2），可得到垂直起降飛行器的動(dòng)力學(xué)模型為

又令：

其中，τi(t)為外界干擾項(xiàng)；x1、x2、y1、y2和ω分別代表飛行器的橫向位移、橫向速度、垂直位移、垂直速度、橫滾角速度。忽略耦合和擾動(dòng)帶給VTOL飛行器的影響，結(jié)合式（4），可將動(dòng)力學(xué)模型式（3）化簡(jiǎn)如下：

3 垂直起降飛行器控制器設(shè)計(jì)

從模型式（5）中不難發(fā)現(xiàn)，VTOL飛行器是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)［15］，難以對(duì)3 個(gè)物理輸出量同時(shí)進(jìn)行跟蹤。因此，本文提出一個(gè)合理的控制方案：跟蹤橫向位移xd和垂直位移yd，同時(shí)保證橫滾角?d的角度及其角速度［13］。其VTOL 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。

圖1 基于雙環(huán)設(shè)計(jì)的PD控制

在接下來(lái)的整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程中，選取工程方法對(duì)雙閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，即保證外環(huán)控制增益遠(yuǎn)小于內(nèi)環(huán)增益的控制方法。

3.1 位置控制律的設(shè)計(jì)

通過(guò)設(shè)計(jì)位置通道控制力u1，實(shí)現(xiàn)VTOL 飛行器橫向和垂直軌跡跟蹤［15～18］。根據(jù)工程穩(wěn)定性分析方法、式（2）、式（5）可得到飛行器二維位置狀態(tài)的模型為

取v1=-u1sin?，v2=u1cos?，可得

采用PD控制方法設(shè)計(jì)第一個(gè)橫向位移x子系統(tǒng)的控制律為

同理，采用基于前饋和重力補(bǔ)償?shù)腜D 控制方法對(duì)第二個(gè)垂直位移y子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制律：

因此，基于補(bǔ)償?shù)腜D 位置控制各參數(shù)如表1所示。

表1 PD位置控制參數(shù)表

3.2 虛姿態(tài)角度控制律的設(shè)計(jì)

接下來(lái)，設(shè)計(jì)橫滾角通道控制力u2，以實(shí)現(xiàn)VTOL 飛行器姿態(tài)角度軌跡跟蹤［19］。由式（5）可得描述橫滾角及其角速度狀態(tài)的模型為

取跟蹤誤差為e=?-?d，?d為橫滾角目標(biāo)值。設(shè)計(jì)基于前饋補(bǔ)償?shù)腜D控制律為

對(duì)式（11）中的?d求導(dǎo)，本文采用以下三階積分鏈?zhǔn)轿⒎制鱽?lái)實(shí)現(xiàn)一次導(dǎo)、二次導(dǎo)：

其中，x1、x2分別為橫滾角速度目標(biāo)值、橫滾角加速度目標(biāo)值。需要注意的是，為了抑制微分器出現(xiàn)的峰值現(xiàn)象，在初始時(shí)間段0 ≤t≤1，取：

因此，基于補(bǔ)償?shù)腜D 姿態(tài)控制參數(shù)如表2 所示，控制方案如表2所示。

4 閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

上節(jié)所設(shè)計(jì)的橫向位移PD 控制律、垂直位移PD 控制律和橫滾角PD 控制律，能使VTOL 飛行器具有良好的軌跡跟蹤狀態(tài)，其全局控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。

取u1方向?yàn)檎较?，由式?）、式（8）和式（9）可得控制律：

上述閉環(huán)系統(tǒng)是由內(nèi)環(huán)姿態(tài)子系統(tǒng)、外環(huán)位置子系統(tǒng)構(gòu)成的控制系統(tǒng)，采用了雙環(huán)控制方法來(lái)設(shè)計(jì)PD 控制律。外環(huán)產(chǎn)生一個(gè)中間指令信號(hào)?d傳遞給內(nèi)環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)控制不僅能對(duì)?d信號(hào)進(jìn)行跟蹤，并且能將外環(huán)產(chǎn)生的誤差e進(jìn)行消除［20］。

5 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證基于雙環(huán)設(shè)計(jì)的PD 控制器對(duì)VTOL飛行器的軌跡跟蹤性能，在Matlab/Simulink 環(huán)境下進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。

結(jié)合VTOL 的數(shù)學(xué)模型式（5）、PD 控制律式（11）和式（14）。取g=9.8m/s2、微分控制器參數(shù)ζ=0.01、k1=9.0、k2=k3=27.0、初始狀態(tài)均為0、目標(biāo)軌跡取直徑為2m 的圓，即xd=sint、yd=cost。并且，在PD 控制律的作用下，取外環(huán)控制器增益遠(yuǎn)小于內(nèi)環(huán)控制器增益的方法，來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，仿真結(jié)果如圖3～6所示。

圖3 兩種位置及速度的跟蹤過(guò)程

從上圖分析可知，VTOL 飛行器在控制律式（8）、式（9）的控制下，其橫向位移及橫向速度均在1.5s 內(nèi)就可迅速跟蹤到位；而VTOL 的垂直位移和垂直速度也均在0.2s 內(nèi)就能快速準(zhǔn)確地跟蹤給定位置軌跡。

從圖4 可知，在控制律式（11）的控制下，VTOL飛行器的橫滾角及其角速度均在0.5s 內(nèi)就能快速準(zhǔn)確地跟蹤給定姿態(tài)軌跡。不難發(fā)現(xiàn)，所設(shè)計(jì)的控制算法確實(shí)能實(shí)時(shí)調(diào)整內(nèi)環(huán)增益系數(shù)，以確保閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 橫滾角及其角速度的跟蹤過(guò)程

圖5 兩個(gè)通道控制力的跟蹤過(guò)程

從上述兩個(gè)通道跟蹤結(jié)果可以得出：在0～1.5s內(nèi)，橫滾通道的控制量輸入變化陡度大，但兩種通道的控制力均能在1.5s內(nèi)收斂到位。

從圖6 可知，本文提出的控制方法能夠使得垂直起降飛行器的實(shí)際飛行軌跡快速且準(zhǔn)確地跟蹤上目標(biāo)軌跡，滿足欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的軌跡跟蹤要求。

圖6 軌跡跟蹤

6 結(jié)語(yǔ)

在存在外部未知擾動(dòng)的情況下，基于雙環(huán)設(shè)計(jì)的PD 控制器通過(guò)控制VTOL 飛行器增益系數(shù)，即設(shè)計(jì)橫滾角的PD 控制律時(shí)，選擇較大PD 增益，以確保外環(huán)收斂速度遠(yuǎn)小于內(nèi)環(huán)收斂速度，且橫滾角及其角速度均有界。從仿真結(jié)果中可知，VTOL 飛行器不僅在橫滾角和位置的調(diào)節(jié)時(shí)間上用時(shí)較短，并且能使得VTOL 按照期望的軌跡飛行，較好地補(bǔ)償了控制系統(tǒng)所受到的干擾，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。