幾何直觀在小學數學教學中的運用

韓娟

【摘要】在小學數與代數學中進行幾何直觀教學，能夠幫助學生理解和掌握抽象的數學概念、算理、運算定律，學會分析復雜的數量關系，培養數學課程核心素養.基于此，文章先介紹了幾何直觀的含義、教學價值，再詳細介紹了幾何直觀在小學數學教學中的應用，希望以此培養學生的抽象意識，促進學生深度學習.

【關鍵詞】小學數學，幾何直觀，數與代數，課堂教學

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的核心概念之一，強調知識之間有機地融合，當前依賴幾何直觀的“直觀型”課程已成為數學課程設計的主流之一.筆者結合教學實踐談談對幾何直觀的認識及實現幾何直觀教學的幾點做法.

一、幾何直觀的含義及教學價值

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中的“幾何直觀”是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路.同時指出：幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑.

孔凡哲、史寧中兩位教授在《直觀模型在數學學習中的價值分析》中將幾何直觀的概念界定為：借助見到、想象到的幾何圖形的形象關系，對研究對象進行直接感知、整體把握的能力.雖然空間觀念的定義也包括通過想象解決問題，但兩者之間還是存在一定差異.幾何直觀是借助于可看見的實物或模型為學生搭建起數學學習的“腳手架”，而空間觀念即便有時也需要借助于幾何，但更加側重于在無任何背景的情況下的想象，而且包含了位置關系、圖形變化、畫出圖形等方面.

幾何直觀具有特殊的教學價值，一方面為學生自主探究解決問題開辟新的途徑，另一方面也能夠讓學生站在直觀的角度理解概念、公式、算理等.因此，筆者認為幾何直觀不但可以幫助學生將一些抽象的概念、算理等變成可以“看得見、摸得著”的直觀圖形，幫助學生理解知識，化繁為簡；還可以培養學生的幾何直觀能力，促進學生從多角度分析、思考問題能力的發展，從而拓展學生思維.

二、在小學“數與代數”中實現幾何直觀教學

在小學數學中，“數與代數”的內容比較多、所占比重也較大，還是其他領域學習的基石.而小學生的思維又是以“具體、直觀、形象”為主.因此，在“數與代數”領域探索幾何直觀的運用，有著舉足輕重的意義.教師可以利用幾何直觀，引導學生理解和掌握抽象的數學概念、明白算理、掌握規律，學會分析復雜的數量關系，培養數學課程核心素養.

（一）幾何直觀在數學概念教學中的運用

德國哲學家康德認為：缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的.在教學實踐中，小學生難以理解復雜、抽象的數學概念，即使把概念背得很熟，但在使用中還是會出現很多錯誤，究其原因還是其沒有真正地理解概念.小學生思維的特點是以具象思維為主，對知識的理解總是建立在豐富典型的直觀表象之上.這啟示教師在教學概念、定理時要與幾何直觀圖相結合，把抽象的變具體、復雜的變簡單，才能幫助學生獲得具體、形象的感性材料支撐.

例如，“分數的初步認識”這節課的重點是分數的意義，也是分數學習的核心概念，對于三年級學生而言，是一個較為抽象的概念.在課堂教學中，怎樣才能使學生對分數的概念形成清晰的理解和認識呢？筆者借助幾何直觀，在課堂中出示以下圖形：

然后，讓同學們說一說陰影部分占整個圖形的幾分之幾，這樣一來，在直觀圖形的引領下，學生對分數這樣的抽象概念有了深刻的理解和認識，從而加深了學生對分數概念的理解.

除了上述概念，還有小數的意義，分數與除法等概念教學，教師都可以嘗試應用幾何直觀，突破概念教學的難點，提高概念教學的效果.

（二）幾何直觀在計算算理教學中的運用

計算教學是“數與代數”領域的核心內容.計算教學不僅要讓學生熟記算法，更要讓學生理解其中的算理，但是在教學中，很多時候教師為了追趕教學進度，常常忽視算理的教學，從而導致學生不明白算理，難以真正掌握計算方法.基于此，教師可針對不同的教學內容，設計合適的直觀圖形，幫助學生理解算理.

1.低年級豎式計算

低年級計算教學第一次引入豎式計算時，教師要幫助學生掌握豎式的書寫格式、理解豎式與其他方法之間的聯系，這也是教學的重難點.想要讓學生真正理解抽象的豎式計算，教師就要借助直觀的操作幫助學生建構模型，讓學生經歷抽象到直觀的演變過程.為此，筆者鼓勵學生通過擺小棒、撥計數器、數的組成（口算）等多種算法，喚醒學生的已有知識經驗，在多種方法的整合中進一步理解豎式計算算理.與此同時，筆者設計了三次利用幾何直觀與抽象算式的對比，幫助學生理解豎式與其他方法的內在聯系.第一次，擺小棒法與豎式法有什么相同的地方？將直觀的擺小棒和抽象的算式相比較，讓學生感受兩者都是整十數相加減、個位上的數相加減，從而初步感受加法計算的算理.第二次，撥計數器與豎式法有何異同點？結合課件的演示，教師引導學生在計數器上撥出36，其實就是豎式的第一個加數，再撥出第二個加數23，這時候再將其書寫在豎式上第一個加數的下面.這樣直觀的演示不僅能幫助學生掌握豎式計算的書寫格式，還能幫助學生掌握位值思想，感受數位對齊的重要性.第三次，擺小棒、撥計數器、數的組成（口算）、豎式計算四種方法同時比較.學生用發展的眼光將這四種方法聯系在一起，通過比較直觀的方法和抽象的算式找出它們的相同點，豎式計算的本質就有了模型支撐.同時學生能感受到這四種方法的內在聯系，明白雖然形式不同，但算理都是要相同數位上的數相加減.

2.乘法教學

在乘法的教學中，如果教師不注重引導學生對口訣和乘法意義進行深入理解，而主張死記硬背的方式的話，不僅會浪費時間、偏離教學目標，還會對學生以后學習乘法造成很大的負面影響.因此，在進行教學設計時，教師可以結合點子圖組織教學活動，使得學生能迅速地理解口訣與乘法等的內在含義.點子圖作為一個半直觀半抽象的直觀模型，既比操作性強的小棒等抽象，又比抽象的公式、定律等直觀.點子圖是一種抽象但包含著十進制的思想的結構化的直觀模型，可以在學生與數學之間搭起一座溝通的橋梁.從理論上來講，用點子圖來進行教學，不但適應了兒童的思維特點，又考慮了數學的學科特點.

例如，在“乘法的意義”教學中運用點子圖.在“數一數與乘法”這一單元能幫助學生從多角度理解乘法的意義.雖然抽象的乘法算式的意義很重要，但是并不是所有低年級的學生都理解.為了讓學生能夠不僅看得見，更加摸得著，筆者在教學中使用了直觀模型點子圖，通過“橫著數”“豎著數”這兩種方式，很輕易就能讓學生理解乘法的意義———求幾個相同加數的和的簡便運算，更能讓學生可以準確地找出什么是“個數”、什么是“相同加數”.筆者還利用10×10的點子圖，任意編“幾乘幾”的算式，促進學生理解乘法意義.

再如，在“乘法口訣”教學中運用點子圖.在編排乘法口訣這一內容時，筆者充分發揮點子圖這一直觀模型的作用，先是在“2～5的乘法口訣”這一單元用具體的實物（松果、筷子、輪胎等）按逐次加一倍的擺放方式呈現給學生，再將實物轉化成半直觀、半抽象的點子圖進行練習.而在緊接著的“6～9的乘法口訣”這一單元，我給出了點子圖讓學生自主探究乘法口訣的排列規律，教師給出了6×9的點子圖，學生可通過去數三個不同顏色圈的點子數自行編出前三行的算式和口訣，從而幫助學生理解點子數和乘法算式的關系，同時巧記6的乘法口訣.

又如，在“筆算乘法”教學中運用點子圖.如何列出正確的乘法豎式是小學階段的一大重難點，而讓學生正確理解乘法算式中每一步的含義更是難點之中的難點.為了解決這一棘手的問題，筆者在人教版三年級數學上冊的“兩位數乘一位數”的口算、筆算教學中引入了點子圖，還在人教版三年級數學下冊的“兩位數乘兩位數”的口算、筆算中借助了點子圖.點子圖在幫助學生理解整數乘法意義的各個方面起著非常重要的作用.例如，在教學“兩位數乘兩位數”時，教師利用點子圖這一幾何直觀模型，幫助學生理解兩位數乘兩位數豎式計算原理.上課時，筆者出示情境：少先隊員舉行隊列表演，一共有12行，每行有14人.一共有多少人？

教學步驟一：教師引導學生提出問題，如“參加隊列表演的少先隊員有多少人？然后學生再列出相應的算式，例如14×12或12×14.

教學步驟二：利用點子圖探索計算方法.教師帶領學生回憶學過的整體分塊求積的方法，然后教師引導學生在點子圖上圈一圈（如圖2），算出14×12（或12×14）的得數.學生有的先圈出10個14，再圈出2個14；有的先圈出10個12，再圈出4個12，再去理解計算過程.

教學步驟三：學生交流圈點子圖的過程及對應算式的算法.

點子圖的價值不是簡單的圈一圈、畫一畫，更重要的是能夠培養學生的抽象思維，教師多給學生機會去發現點子圖的妙用，在教學其他內容的時候同樣可以向學生提供可圈畫的點子圖.

總之，設計點子圖時，教師要按照“由淺入深、循序漸進、螺旋上升”的特點進行，展現知識的產生和應用過程，形成“問題情境→建立模型→解釋與運用”的基本模式，突出知識之間的互相聯系.這樣的設計，學生能夠有更多的時間去自主探究算理、算法等，從而提升幾何直觀能力和解決問題的能力.

（三）幾何直觀在理解運算定律中的運用

小學數學有五條運算定律，由于這五條運算定律比較抽象，不少小學生不能真正地理解其原因，學生只是通過死記硬背定律，知其然卻不知其所以然.為了解決這些問題，在教學時筆者充分利用幾何直觀的辦法，用圓紙片或長方形的面積圖幫助學生理解乘法分配律.如圖3：

上課時，筆者布置任務：求出如圖3所示的長方形的面積，然后引導學生用兩種方法計算，方法一是將此圖看成是寬為a、長為（b+c）的長方形.方法二是將此圖看成是長和寬分別為a，c和長和寬分別為a，b的兩個長方形.最后引導學生得出a×（b+c）=a×b+a×c.在上述教學過程中，教師通過幾何直觀圖，讓學生看清了規律的內涵，深化了乘法分配律的理解.

（四）運用幾何直觀分析數量關系

分析數量關系是“數與代數”領域的重點內容.教師利用幾何直觀的辦法分析數量關系，能夠讓學生通過見到的或想到的幾何圖形產生對數量關系的直接認知，這是一種非常有效的辦法.學生把文字中數量關系的理解轉化成幾何圖形展示出來，從而感知到：數學的結果除了“證”出來，還可以“看”出來.

從圖中，很直觀能看出第一根繩子的長度小于第二根繩子的長度，即這兩根繩子中第二根長.

類似線段圖在“數與代數”領域中很常見，它是解決較復雜的應用題的重要學習工具.在培養學生觀察力的同時培養其推理能力，提升了學生的思維品質.因此，通過畫線段圖等幾何直觀的辦法去表達數量關系，是有效提高學生解決問題能力的途徑.

實踐證明，采用幾何直觀教學，不僅能夠讓學生對于所遇到的數學問題有更清晰的認識，而且能夠幫助學生初步形成數形結合的數學思想，為以后的數學思想的學習打下基礎.引導學生運用幾何直觀學習“數與代數”領域的內容，是值得教師繼續探索的.幾何直觀在幫助學生理解數學概念、明晰計算算理、理解數學運算規律、分析數量關系方面發揮著重要作用.

【參考文獻】

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