壓電梯度板殼結構熱電彈耦合建模與仿真

王雄, 陳倩, 黃鐘童, 薛婷, 張順琦

(1.榆林學院 能源工程學院, 陜西 榆林 719000; 2.上海大學 機電工程與自動化學院, 上海 200444;3.西北工業大學 機電學院, 陜西 西安 710072)

復合材料薄壁結構廣泛應用于航空航天產品。為了能夠實現壁板結構的形狀與振動控制,通常將壓電材料集成在復合材料結構中形成智能結構。無論是復合材料還是壓電材料,都是通過不同參數的材料粘結固化而成,界面容易出現應力集中,存在分層風險。壓電梯度結構(FGPM)具有梯度化的彈性參量和壓電參量,可有效避免分層損傷風險。壓電梯度結構在熱電彈耦合作用下的建模與仿真是目前的一大挑戰。

在壓電梯度板的電彈耦合靜力學建模研究方面,針對具有任意梯度材料特性的FGPM梁,Zhong和Yu[1]推導了其在電載荷作用下的遞推控制方程,以研究FGPM梁在懸臂、簡支和剛性夾緊等不同邊界條件下的機電性能。基于混合變分原理,Wu和Ding[2]考慮了4種機電載荷條件,對簡支FGPM梁進行了相應的電彈性耦合分析。Zenkour和Alghanmi[3]利用準三維剪切和法向變形理論,探討了結構尺寸、材料參數對簡支FGPM板彎曲特性的影響。更有一些學者,針對FGPM結構,研究了新的建模與計算方法。Meng等[4]為提高含孔FGPM板的計算精度,提出力電耦合的無網格伽遼金法,求解其力學問題。Nourmohammadi和Behjat[5]采用徑向點插值法研究了壓電層合FGPM板在機械載荷和電載荷作用下的幾何非線性靜態響應。Zhong和Shang[6]針對上下表面承載機械和電載荷作用的FGPM板結構,利用狀態空間方法,得到了四邊簡支FGPM矩形板的精確三維解。

在熱載荷條件下,Lee[15]基于線性熱電彈耦合原理,將分層有限元法應用到FGPM梁中,并研究了厚度變化對位移和應力響應的影響。基于歐拉-伯努利梁理論和非線性應變-位移關系,Kiani等[16]針對表面粘有壓電層的功能梯度材料梁,在恒壓和熱載荷作用下,開展屈曲特性研究,同時考慮邊界條件和冪律指數等對FGPM梁屈曲溫度的影響。Yang和Xiang[17]基于Timoshenko梁理論研究了FGPM制動器在熱機電聯合載荷作用下的靜動態響應,利用微分求積法求解控制微分方程,明確了結構熱機電特性的重要指標。Saadatfar 和Aghaie-Khafri[18]研究了固定于彈性地基上的FGPM圓柱殼在熱機電載荷下的力學響應。Babaei和Eslami[19]研究了表面集成壓電層的功能梯度拱,探究了FGPM拱在均勻溫度、線性溫度和熱傳導3種不同類型熱載荷下的非線性熱致大撓度問題。Kumar和Harsha[20]研究了FGPM板在熱機電載荷下的靜態和自由振動響應。

綜上所述,近些年來國內外學者對FGPM結構的研究主要集中在材料參數、模型優化和加載方式等方面,大部分熱場下的研究僅針對結構在均勻或者線性溫度場下的響應結果,很少有研究能夠計算非線性溫度分布對結構的影響,尤其是溫度沿厚度 方向呈二次分布連續變化的結果。研究非線性溫度梯度載荷對結構的影響,能夠模擬結構在多變環境溫度下產生的形變,使仿真環境更接近實際情況。本文針對非線性熱場下壓電梯度結構,開展了熱-電-彈多物理場耦合的建模與仿真研究。

1 梯度壓電的材料分布

梯度薄壁結構指的是材料參數沿著厚度方向按一定規律變化,一般可分為線性分布、指數分布、冪律分布。

1.1 線性分布

線性分布的梯度結構一般由兩相材料組成,材料參數可表達為

(1)

式中:h為薄板結構的厚度,M為結構任意厚度位置的材料參數;M1,M2分別為2種不同相的材料參數。

1.2 指數分布

指數分布規律是以自然數e為底的一個函數,兩相材料隨厚度方向的變化規律為

(2)

1.3 冪律分布

冪律分布的材料參數可以表示為

(3)

從(3)式可以看出,當n=0時,表示結構完全由增強材料構成;當n=1時,表示材料參數沿厚度方向線性變化;當n=∞時,表示結構僅由基體材料組成。

2 梯度壓電結構熱電彈耦合模型

2.1 熱電彈耦合本構模型

在小應變、弱電場假設下,熱電彈耦合的FGPM材料本構方程描述如下:

εij=sijklσkl+dijmEm+αijT

(4)

Dm=dmklσkl+emnEn+βmT

(5)

式中:下標i,j,k,l,m和n取值為1,2或3;同時,ij和kl的組合用來表示11,22,33,12或21,13或31,以及23或32的數字組合;σ,ε和s分別表示應力、應變和彈性柔度系數;D,E,d和e分別表示電位移量、電場強度、壓電常數和介電常數;α為熱膨脹系數;β為熱電常數;T表示梯度變化的溫度,結構任意點都對應一個溫度變化量。

2.2 熱電場分布模型

假設電場沿厚度方向線性變化,電場強度定義為電勢的負梯度,表達為

E=-φ=Bφφ

(6)

式中:φ表示電勢;Bφ是電場矩陣。

將溫度梯度的函數寫成矩陣形式如下

(7)

式中,BT是溫度分布矩陣,描述熱場沿厚度方向的分布規律。

對于熱場沿厚度方向的分布,考慮3種情形,1種線性分布和2種非線性分布,如圖1所示。

圖1 沿厚度方向溫度分布曲線

線性分布(TLIN)表達為

(8)

第二種分布為下拋物線分布(TNL1),表達式為

(9)

第三種分布為上拋物線分布(TNL2),表達式為

(10)

2.3 梯度壓電結構有限元模型

基于一階剪切變形假設

(11)

(12)

(13)

(14)

對于薄板結構,式中應變分量表達式為

對于薄壁圓柱殼結構,應變分量表達式為

采用八節點二次型板殼單元,任意點位移用二次形函數插值獲得

(32)

式中,Ni為第i個節點的形函數。因此,應變寫作

ε=LNq=Buq

(33)

式中:L是微分算子;Bu稱為應變矩陣;q是自由度向量。

通過哈密爾頓變分原理

(34)

獲得FGPM板殼結構的動力學模型

式中

(37)

式中:Muu表示質量矩陣;Kuu,Kuφ和KuT分別表示剛度矩陣,壓電耦合剛度矩陣和熱-機耦合剛度矩陣;Kφu,Kφφ和KφT分別表示壓電耦合電容矩陣,壓電電容矩陣和熱電耦合電容矩陣;Fue是外力向量;Gφe是外電向量。

3 數值模擬

3.1 模型驗證

為保證模型的準確性,計算文獻[15]中線性溫度梯度下結構的響應結果。模型幾何結構如圖2所示,壓電功能梯度懸臂梁長l1、寬l2、高h1分別為80,10和0.22 mm。

圖2 壓電功能梯度懸臂梁

結構中頂層和底層的材料屬性相反,其余各層材料屬性沿厚度方向呈梯度分布。為了更全面地研究梯度分布的材料參數對結構的影響,采用4種分布情況并命名為Case1～Case4。材料參數如表1～2所示,其中Y為彈性模量,G為剪切模量,α為熱膨脹系數,P為熱釋電常數。

表1 Case1～Case2 FGPM梁各層材料參數[15]

表2 Case3～Case4 FGPM梁各層材料參數[15]

對結構施加5℃線性溫度梯度的熱載荷,末端位移比較如表3所示,計算獲得的結果與文獻[14]中的結果十分接近,每組數據的偏差都在1%以內,說明本文構建的有限元模型具有較高的可靠性。

表3 壓電功能梯度梁末端位移

以Case4的材料參數為例,開展本文有限元模型的高效性和收斂性驗證。對結構沿厚度方向施加5℃非線性溫度TNL2模型對應的等效應力,同時采用商業軟的ABAQUS的板殼單元S8R和三維單元C3D8R,與本文八節點二次型板殼單元進行比較,計算結果如表4所示。從結果可以看出,本文計算結果更接近三維單元C3D8R,并且收斂速度比S8R板殼單元更快。

表4 壓電功能梯度梁計算效率與收斂性驗證

3.2 壓電層合功能梯度板結構計算

材料參數對結構有很大的影響,功能梯度材料(FGM)往往使用增強材料對基體材料進行摻雜,而其混合的比例會對制成的結構產生很大影響。采用材料參數呈一定規律分布的壓電層合FGM懸臂梁如圖3所示,長邊l′和短邊w′分別為800和400 mm,壓電驅動層厚度為0.1 mm,FGM層為5 mm。

圖3 壓電層合FGM梁

FGM層由鋁合金中摻入鈦合金的材料構成,隨厚度方向變化的材料參數由指數分布公式(2)和冪律分布公式(3)所得,材料參數[21]如表5所示。

表5 材料參數

其中,d31、d32為壓電參數,c為介電系數,ρ為密度。有限元建模使用10×10網格,八節點單元,為保證結果準確性將結構離散成30層。

為探究不同材料參數分布下壓電層合FGM板結構的特性,對其施加10℃線性溫度梯度和100 V的電壓,并改變冪律指數n以研究組成材料體積分數對FGM結構特性的影響。

對比指數分布規律和冪律分布規律下懸臂梁的末端位移如表6所示,中心線位移如圖4所示。隨著冪律指數的增大,懸臂梁位移也在不斷增大。對比后發現指數分布情況下的壓電層合FGM懸臂梁末端位移比所有冪律指數下的冪律分布情況的數值都大。可知材料參數的分布情況對同種載荷下結構有較大影響。

表6 不同材料參數下懸臂梁的末端位移

圖4 不同冪律分布指數的FGM懸臂梁中心線位移

3.3 FGPM殼結構計算

為了進一步得到非線性熱場對結構產生的影響,使用四邊簡支壓電功能梯度圓柱殼如圖5所示。

圖5 FGPM圓柱殼幾何模型

殼體直邊長度l為200 mm,曲邊半徑R為2 000 mm,圓心角θ=0.1 rad,厚度0.22 mm。各層材料參數如表7所示,泊松比ν為常值0.25。根據(8)～(10)式給出的溫度分布情況,依次沿FGPM圓柱殼厚度方向加載10℃線性與2種非線性溫度梯度,分別記作TLIN,TN1和TN2,其中心點位移結果如表8所示。

表7 FGPM殼各層材料參數

表8 FGPM殼中心點位移 mm

由于沿厚度方向各層材料參數的不同,溫度梯度驅動下的殼體位移情況也產生很大區別。同一材料參數分布情況下,2種非線性溫度梯度分布與線性溫度梯度導致的位移有著較大的差異,TN2產生的位移較大而TN1較小。

在考慮環境溫度變化或其他熱載荷作用下的FGPM結構時,承受復雜分布的溫度載荷對結構位移產生的作用差別很大,有必要結合材料參數將溫度分布納入考慮范疇。

3.4 FGPM殼結構參數化仿真

圓柱殼的半徑R在模型中決定了Θ3方向的形狀,改變FGPM圓柱殼模型中的半徑,保持其余參數不變。研究材料參數分布情況下,不同溫度載荷對結構變形產生的影響,隨曲率變化的中心點位移如圖6所示。

圖6 隨曲率變化的中心點位移

圖中橫坐標使用曲率1/Rmm-1描述殼的彎曲程度,可以看到隨著曲率的不斷增大,4種材料分布情況的中心點位移都在減小同時其減小的速度不斷變小。曲率從0.1到0.8的過程可以較為完備地說明曲率變大的過程中,結構的剛度不斷增大,中心點位移可能相差約4個數量級,其中曲率0.1與0.25相差2個數量級。隨著曲率增大,4種材料參數結構承受線性和非線性溫度梯度,TN2產生的影響最大,而TN1最小。

4 結 論

本文在小應變、弱電場假設下推導了非線性熱場的熱彈電耦合本構方程,研究了FGPM板殼結構同時受彈性、電和熱載荷的靜力學響應。

1) 考慮了不同材料參數分布下壓電層合FGM板結構的特性,結果表明,材料參數的分布情況對同種載荷下結構有較大影響。 隨著摻雜比例的增大,FGPM結構位移也隨之增大。

2) 在考慮環境溫度變化或其他熱載荷作用下的FGPM結構時,復雜非線性變化的溫度載荷會對結構產生較大影響,有必要結合材料參數將溫度分布納入考慮范疇。

3) 對不同半徑的FGPM殼體結構進行了參數化研究。結果表明:結構剛度隨著曲率變大而變大,中心點位移也隨之不斷減小。熱梯度的分布對FGPM板殼結構的靜力學響應有重要影響。此外,證實了與幾何尺寸相比,材料性能構型對結構的靜態彎曲響應有更顯著的影響。