光纖聲傳感反正切解調的采樣率與信號幅度關系*

安秉文 吳先梅 張金英

(1 中國科學院聲學研究所 聲場聲信息國家重點實驗室 北京 100190)

(2 中國科學院大學 北京 100049)

(3 北京理工大學光電學院 北京 100081)

0 引言

聲波在醫療成像、無損檢測及地球物理勘探等領域中有著重要應用[1]。在聲傳感領域中，光纖光柵因其尺寸小、靈敏度高、抗電磁干擾、傳輸損耗小及易復用等優點[2-4]，得到了廣泛應用[5-7]。在光纖光柵聲傳感系統的幾種不同解調方法中，基于3× 3 耦合器的干涉解調方法[8]從實現難易度、成本及解調精度上都表現優異，其常結合微分-交叉相乘(Differential cross-multiplying,DCM)算法[9-10]和反正切解調算法[11-13]進行解調。

當前聲傳感領域關于反正切解調算法的研究多在于改進算法[14-18]來改善3×3 耦合器的對稱性和光電探測器的一致性問題，而關于幅度的研究較少。陳家熠等[19]研究了反正切解調所需的幅度下限，表明聲信號引起的相位變化幅值需大于π。在實際應用反正切算法解調光纖光柵傳感的聲波信號時，若聲場幅度較大，為得到不明顯失真的解調結果，需要設置遠超奈奎斯特采樣定理對聲波采樣要求的采樣率，且采樣率隨聲場幅度增加也要相應增加，這表明聲場幅度與采樣率之間存在著某種約束關系。雖然也存在使用雙波長激光源合成波長從而降低采樣率的解決方法[20]，但大幅提升了裝置數量及解調復雜度，在實際中難以應用。張楠[21]研究了一種反正切解調算法在外差系統下的幅度動態范圍，但由于外差法帶來了額外的調制頻率，不適用于醫學超聲等高頻情況，且缺乏對不同相位展開方式的分析。

本文首先介紹了光纖光柵反正切解調原理及相位展開的數學模型，接著用正弦信號和高斯脈沖信號揭示了3 種不同相位展開方式的反正切算法所需采樣率與信號幅度的線性關系及內在原因，并通過計算和實驗進行了分析和驗證。

1 光纖光柵反正切解調數學模型

以基于3×3 耦合器的光纖光柵聲傳感系統為例，介紹反正切算法的數學模型。

圖1 為光纖光柵聲傳感系統結構圖，光纖光柵傳感器在聲信號作用下中心波長發生偏移，借助基于3×3耦合器的馬赫-曾德干涉儀(Mach–Zehnder interferometer,MZI)轉化為相位變化，進一步經過三路光電探測器后被采集，輸出的三路信號為

圖1 光纖光柵聲傳感系統Fig.1 Fiber Bragg grating acoustical sensing system

式(1)中，Vi(i=1,2,3)為輸出的第i路信號，B、C分別為三路輸出電信號的直流分量和交流信號的幅度；s0為初始相位；s=Δλ為包含聲傳感信息的相位，其中λ為光柵的中心波長，d為馬赫-曾德干涉儀的臂長差，Δλ為聲信號引起的波長偏移，與聲信號呈線性關系[22]：

其中，P11、P12為光纖的光彈系數，n為有效折射率，E為楊氏模量，ν為泊松比，P為聲壓；βi=2π(i-1)/3為3×3耦合器帶來的相位差。

由于聲信號幅度P、光柵中心波長偏移Δλ和相位s之間是線性關系，s的變化代表了聲信號的變化，因此解調出s即可得到光纖光柵傳感的聲信號。

對式(1)進行三角函數和差化積運算，即可得到反正切解調出的信號上標表示是計算結果：

實際中采集到的信號是光電探測器的三路輸出信號，為探究解調結果與原信號的差別，假定s已知。先給定信號s作為輸入信號，再通過公式(1)計算出三路輸出信號Vi，最后使用公式(3) 計算直接進行反正切解調的結果?s。圖2以正弦信號s=20 sin(2πt)為例展示了上述過程，并以此說明在反正切算法中相位展開的必要性。

圖2 相位展開前正弦信號的反正切解調Fig.2 Arctangent demodulation before phase unwrapping

圖2(c)～(e)展示的三路輸出信號與圖2(a)的輸入信號之間除波形的周期性、對稱性外較難直觀找到聯系，這也是使用反正切或DCM 算法進一步解調的原因。圖2(b)為直接使用公式(2)的反正切解調結果，其幅度被限定在反正切函數的值域(-π/2,π/2)，因此出現相位纏繞現象，輸入s=α+nπ (n為整數)時會解調出?s=α，α ∈(-π/2,π/2)。需進行相位展開還原真實的輸入信號。

下面介紹3 種典型的相位展開方式。方式1為反正切算法最初被提出時使用的相位展開方式[11]，即根據反正切值是否位于[-π/4,π/4]，及前一反正切值的正負判斷是否需在反正切值上加減π/2。方式2[12]不再根據反正切值本身是否屬于不同區間，而是根據前后反正切值的差值是否屬于[-π/2,π/2]而加減π。方式3[13]則是借助復平面的概念拓展至4 個象限，再根據兩次返回值的差值絕對值是否屬于[-π,π]而加減2π。本文將以上3 種相位解調方式稱為3種反正切解調算法。

在信號幅度較小的情況下，這3 種解調算法均能夠得到正確的解調結果。但是當信號幅度較大時，3種算法都可能出現解調結果失真。隨著采樣率增加，有的解調算法能夠得到正確的解調結果，而有的算法仍然需要繼續增加采樣率才能得到正確的解調結果，這表明信號幅度和采樣率之間的關系與相位展開方式有關，因此下文將進行不同相位展開方式下的采樣率與信號幅度關系分析。

2 采樣率與信號幅度關系分析

在聲傳感信號中，窄帶的正弦信號和寬帶的脈沖信號具有一定代表性，本節將對這兩種信號的反正切解調算法進行分析，對比3 種不同相位展開方式下的解調結果，并與DCM 算法[10]進行比較，最后用脈沖信號實驗進行驗證。

2.1 正弦信號

給定正弦信號s=Asin(ωt)，其中A為輸入信號的幅度，ω=2πf為輸入信號的角頻率，f為信號頻率。

由于公式(1)中的直流分量B可通過減去均值消除，交流信號的幅度C可進行幅度歸一化，因此都取1，不再單獨研究二者的影響；引入采樣率fs與信號頻率f的比值Kj=fs/f表示一周期內采樣的點數，并記為相對采樣率，下標j=1,2,3 表示第j種反正切解調方式。在接下來的分析中不失一般性地取f=1。輸入信號仍用圖2(a)所示的信號。

為誤差判據，用于分析解調結果的失真度。計算了在采樣率剛剛滿足誤差判據時3 種反正切解調方式及DCM 算法的解調結果與輸入信號間的誤差，如圖3 所示，其中圖3(a)、圖3(c)、圖3(e)和圖3(g)依次為方式1～方式3 和DCM 算法解調出的信號，圖3(b)、圖3(d)、圖3(f)和圖3(h)依次為解調結果與原信號的誤差|s-?s|。圖3 中3 種反正切解調方式的相對采樣率為K1=147、K2=80、K3=40，DCM 算法使用的相對采樣率KDCM=160 與K1接近。計算時發現3 種反正切解調方式的誤差均在3.55×10-15，而即使KDCM=2000時，其最大誤差為0.003＞0.01%×A=0.002。這是因為DCM 算法的求導、積分等步驟建立在微元假設上，因此誤差較大，而反正切算法則不是。在計算時間上3種反正切解調方式均在10-4s量級，DCM算法為0.11 s，表明DCM在實時性上的不足。

圖3 正弦信號的解調結果及誤差Fig.3 Demodulation results and error of sine signal

為進一步探究采樣率與信號幅度之間的關系，計算了信號幅度A ∈[1,1000]時3 種反正切解調方式在滿足判據時所需的最小相對采樣率，DCM 算法由于無法滿足誤差判據，不進行計算。得到相對采樣率與輸入信號幅度的關系如圖4(a)所示，此時的最大誤差如圖4(b)所示，圖中點線、劃線和實線分別對應方式1、方式2和方式3。

圖4 正弦信號不同反正切解調算法所需相對采樣率及誤差Fig.4 Relative sample rates and error of sine signal under different arctangent algorithms

由圖4(a)看出3種方式的相對采樣率與輸入信號幅度存在著明顯的線性關系，線性擬合后得到方式1～方式3 所需的相對采樣率分別約為K1=8A、K2=4A、K3=2A。圖4(c)表明在滿足誤差判據時，3 種方式解調出的信號與原信號之間的誤差遠小于誤差判據，這體現了反正切解調算法具有較高的精度。

采樣率與信號幅度相關的原因在于相位展開方式的判據是固定的數值，而輸入信號是變化的。具體來說，3 種相位展開方式是根據相鄰兩次返回值的差值或是所屬區間的關系來移動坐標基準、展開相位的，因此輸入信號斜率最大處前后的導數(方式1、方式2 和方式3)或函數值(方式1)決定了相對采樣率的要求。

以方式1 為例說明。正弦函數的導數是余弦函數，其在t=0 時導數最大，此時st=0=0。下一時刻：

當K1=8A時，若A較大，則：

正好處于方式1 的[-π/4,π/4]邊緣，對應著相對采樣率需要為輸入信號幅度的8 倍。方式2 和方式3的判據分別為±π/2和±π，因此所需的相對采樣率分別為信號幅度的4倍和2倍。

需要注意的是，如圖4(a)局部放大后的圖4(b)，在輸入信號幅度較小時，應設置一個采樣率的下限以滿足奈奎斯特定理。奈奎斯特定理要求采樣率至少為信號頻率的2 倍，即KN=2，實際中要采用更大的采樣率，因此這里設置了相對采樣率的下限KL=24。也出于這一考慮，在進行單個信號的分析時選擇的信號幅度為A=20，此時3 種反正切方式需要的最低采樣率高于設置的采樣率下限，即K3=2A ＞KL。

圖5 計算了圖2(a)作為輸入信號時兩種不同采樣率下各種算法的解調結果。圖5(a)、圖5(c)、圖5(e)和圖5(g)為K=2A時的解調結果，圖5(b)、圖5(d)、圖5(f)和圖5(h)為采樣率增加一倍后即K=4A時的解調結果。從圖5 可見，圖5(a)～(c)的解調結果嚴重失真，波形各異，比較圖5(b)與圖5(a)可知，采樣率更高的解調結果并未更接近輸入信號，這表明存在一個采樣率的閾值，使得低于該值時解調結果不可信。但比較圖5(g)、圖5(h)和圖3(g)，可發現DCM 算法的解調結果則隨著相對采樣率的增加逐漸接近輸入信號，這是因為其越來越滿足微元假設，DCM 在采樣率較低時的解調結果可信度更好。由圖5 中兩種采樣率的解調結果可知，3 種反正切解調方式中，方式1 對采樣率的要求最高，方式2次之，方式3最低。

圖5 不同采樣率時的正弦信號解調結果Fig.5 Demodulation results of sine signal under different sample rates

2.2 高斯脈沖信號

為模擬在超聲檢測中常用的脈沖信號，進行了高斯脈沖信號的計算分析，其中心頻率與實驗用換能器中心頻率一致，為f=2.5 MHz。為與前文統一引入相對采樣率Kj=fs/f，其中f為高斯脈沖的中心頻率。計算分析了不同帶寬下的高斯脈沖信號解調結果，均與正弦信號基本一致，即相對采樣率和輸入信號幅度之間存在明顯線性關系，且3 種反正切算法在計算時間和解調精度上都較DCM 算法表現更佳，這里出于篇幅不再贅述。

與正弦窄帶信號不同的是，帶寬對解調結果有一定影響。圖6 展示了不同帶寬下的輸入高斯脈沖信號波形，圖6(a)～(e)分別表示帶寬為中心頻率20%、40%、60%、80%和100%的情況。

圖6 不同帶寬的高斯脈沖信號Fig.6 Gaussian pulse signal of different bandwidths

圖7 給出了不同帶寬高斯脈沖信號所需的相對采樣率與信號幅度的倍數與帶寬之間的關系，圖7 中菱形實線、圓圈劃線和三角點線分別表示反正切解調方式1、方式2 和方式3，標注了每種方式在不同帶寬下的相對采樣率與幅度之間的擬合系數。

圖7 高斯脈沖信號不同帶寬下的相對采樣率與幅度關系Fig.7 Relationship between relative sample rate and signal amplitude of Gaussian pulse signal under different bandwidths

由圖7 中曲線變化趨勢可以看到，隨著帶寬的增加，3 種解調方式所需的相對采樣率均降低，且在高斯脈沖信號的帶寬較窄時所需的相對采樣率與正弦信號要求一致。

計算了不同帶寬下高斯脈沖信號的導數，將導數最大值s′(t0)和函數值s(t0) 繪制在圖8，t0為對應的時刻，時間步長為Δt=8.33×10-9s。三角劃線和左側縱坐標軸用來描述導數最大值，圓圈實線和右側縱坐標軸描述最大導數對應時刻的函數值。

圖8 高斯脈沖信號不同帶寬下的導數最大值及其函數值Fig.8 Maximum derivatives of Gaussian pulse signal and their function values under different bandwidths

由圖8 可解釋高斯脈沖的相對采樣率要求。不同帶寬的導數最大值s′(t0)均在約3× 108，s(t0+Δt)-s(t0)=s′(t0)Δt ≈2.4，無論函數值s(t0)為多少，前后兩次反正切值不同時屬于[-π/4,π/4]，方式1 需對當前及之后數據進行修正，加減。而=6與2π相近，約是3 種方式的判據π/4、π/2 和π 的8 倍、4 倍和2倍。此外，圖8 中導數最大值隨帶寬的增加而減小的規律解釋了所需相對采樣率隨帶寬增加而減小的現象。

3 實驗驗證

使用脈沖信號發生器和2.5 MHz的壓電換能器在水中發射聲波，光纖光柵在距離聲源60 mm 處接收聲波。分別用625 MS/s，1250 MS/S和2500 MS/s的采樣率采樣，則3 種采樣率將依次僅滿足方式3、方式2～方式3，及滿足方式1～方式2和方式3 的采樣率要求。以625 MS/S的采樣結果為例，將三路采集到的輸出信號展示在圖9。

圖9 實驗采集的三路輸出信號Fig.9 Three outputs in experiment

下面依次分析不同采樣率時不同解調方式下的解調結果。圖10 展示了采樣率為625 MS/s時3 種反正切解調方式及DCM 算法的解調結果，圖10(a)～(d)分別對應反正切解調方式1、方式2、方式3 和DCM 算法，圖中標注了解調結果的峰峰值Avv(峰峰值是信號幅度的2倍)。

圖10 625 MS/s 采樣率時的解調結果Fig.10 Demodulation results of four methods under 625 MS/s

圖10(a)～(b)均出現了信號前后直流分量解調結果不一致的“相位跳變”現象，且與圖10(c)的幅度相比可以看出信號未解調完全。DCM 算法雖未出現這一現象，但其幅度低于3種反正切解調方式。

從計算時間上看，3 種反正切解調方式的計算時間均在數十毫秒，而DCM算法則超過20 min，無法滿足高頻大數據量輸入信號的實時解調，這與前文仿真的結論一致。因此在后文1250 MS/s 和2500 MS/s的解調中不再與DCM算法比較。

圖11 計算了采樣率1250 MS/s 和2500 MS/s時3種反正切解調方式的解調結果。

圖11 1250 MS/s 和2500 MS/s 采樣率時的解調結果Fig.11 Demodulation results of three arctangent algorithms under 1250 MS/s and 2500 MS/s

圖11(a)出現了“相位跳變”現象，圖11(b)～(f)解調結果的峰峰值均為146.2，可以相信信號的相位幅度約為73，而相對采樣率與幅度的比值為≈3.4，位于2 倍和4 倍之間，故3 次實驗按采樣率由小到大依次滿足了方式3、方式2～方式3和方式1 方式3 的采樣率要求。方式3 對采樣率的要求最低，因此在實際中應用較多。不同采樣率下解調結果的結論與前文計算分析一致，也驗證了前文計算的正確性。

4 結論

本文基于光纖光柵3×3 干涉解調的反正切算法及相位展開的數學模型，數值計算分析了3 種反正切算法下采樣率與信號幅度之間的關系，并與DCM算法進行了比較，在實驗中進行驗證。得到結論如下：

(1) 揭示了采樣率和信號幅度相關的原因在于相位展開的判據，且頻率固定時3 種反正切解調方法均與信號幅度之間呈線性。以是否跨越[-π/4,π/4]及函數值符號為判據的反正切解調方式1 所需的采樣率為fs=8Af以相鄰兩次返回函數值差值是否屬于[-π/2,π/2]和[-π,π]為判據的方式2 和方式3 所需的采樣率分別為fs=4Af和fs=2Af。采樣率與信號幅度之間線性函數的系數取決于信號斜率最大處的導數(方式1～方式3)及函數值(僅方式1)。

(2) 對于高斯脈沖信號，反正切解調的采樣率要求隨著帶寬增加而略有降低，這是因為導數的最大值隨帶寬增加而下降。從倍數關系的數值來看，實驗時基本上仍需向上取整來按照結論(1)的采樣率要求保證信號不失真。

(3) 與3 種反正切解調方式相比，DCM 算法無論從實時性(采樣率要求、計算時間)還是計算精度的角度都表現都更遜色一些，但在采樣率不足以滿足反正切解調時不失為一個好的選擇。當用硬件實現積分、微分等步驟時或許可以實現實時解調。

(4) 從仿真結果及實驗結果來看，借助了復平面的反正切解調方式3 對采樣率的要求最低，在應用前可預先根據先驗知識或水聽器測試估算傳感器處聲場的大致幅度，再根據所用光纖光柵傳感器的靈敏度綜合計算出所需采樣率。

值得注意的是，借助復平面相位展開的方式3需要輸入實數，否則可能錯誤判斷象限，造成解調結果的偏差甚至錯誤。當出于干涉儀相位的不穩定、輸出信號幅度差異等因素使用橢圓擬合時，由于擬合后的三路信號為復數信號，此時應選擇其他方式解調，如在實驗時采樣率加倍或后處理時插值后再使用方式2解調。