非軸對稱五模超材料低頻聲波調控分析*

杜 闊 徐峰祥 潘宇雄

(1 武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室 武漢 430070)(2 武漢理工大學 汽車零部件技術湖北省協同創新中心 武漢 430070)

0 引言

隨著聲波探測技術不斷向低頻段拓展，輕質高效的低頻材料設計已成為亟待解決的難題。五模超材料是一種同時具備固體形態和流體屬性的人造微結構材料[1]。在五模超材料的等效彈性矩陣中，只有體積壓縮模態的特征值不為零，而另外5 個剪切模態的特征值均為零，這表明五模晶格周期結構具有顯著的類流體力學特性[2]。在彈性波調控方面，五模超材料的能帶結構表明，在波長大于晶格常數的頻段內，存在與流體相似的線性縱波頻散曲線。由這種周期性排列的類水五模胞元組成的聲學超材料結構，在相當帶寬內可以實現與水的完全匹配。五模超材料憑借薄層、寬帶、可控模量各向異性等特性，使其在力學性能調控和聲波調控方面均有非常大的應用潛力[3-4]。

2008年，Norris 等[5-7]基于變換聲學理論驗證了利用五模超材料制造聲隱身斗篷的可行性，并論證了聲隱身斗篷所需超材料的基本特性。2012年，Layman 等[8]將胞元結構設計與功能設計相結合，設計出一種可定制各向異性的二維斜蜂窩晶格五模材料結構，具有廣闊的應用前景。2014 年，Aravantinos-Zafiris 等[9]提出一類非雙錐型層狀立柱結構五模式超材料，系統分析并優化了單胞的力學與聲學性能。同年，國內武漢七一九研究所的學者制備了一種等效密度與水相近的二維環形鋁基五模材料，并實驗驗證了該二維五模材料優異的聲學隱身特性[10-12]。

在對超材料的研究中，通常認為帶隙形成源于Bragg 散射機理和局域共振機理[13-14]。基于Bragg 機理的胞元，能帶結構中的禁帶往往在波長與晶格常數相當的較高頻段處產生，這也意味著具有Bragg散射特性的胞元結構會因尺寸過大而失去應用價值[15-16]。Liu等[17]采用軟橡膠包裹硬質基體構成局域共振單元，發現基于局域共振特性構建的胞元結構，其聲子禁帶可在波長遠大于晶格常數的頻段處產生。在水聲調控方面，傳統水聲調控材料以引入氣泡、空腔結構等方式增加入射波的能量耗散[18]。這樣的材料對水聲調控存在一定局限性，隔聲工作頻段越低，材料就越需要拓寬空腔尺寸、減小胞元彈性模量。考慮到材料在水下的工作環境和材料厚度的限制，Zhao 等[19]設計了一種類水的局域共振力學超材料，該材料在靠近低頻聲子禁帶中心頻率處具有超常的隔聲特性。基于超材料在低頻段的優異發揮，蔡成欣等[20]在三維雙錐五模材料單胞的錐元兩端處引入軟質材料填充，使第一帶隙相對帶寬擴大了25倍，這為小尺寸五模超材料調控低頻聲波提供了可能。

隨著聲吶技術對低頻聲波感知范圍的穩步擴大，為了規避低頻聲波探測，設計出具有低頻寬帶隙功能的輕質聲學材料顯得至關重要。傳統五模超材料結構在低頻段耦合作用弱、隔聲頻段窄的問題，現有五模超材料構型均集中在對對稱單胞的分析，胞元構形差異不大，簡單變換材料與相關結構參數對低頻段單模區域和帶隙提升很小，且均未探討單胞對稱性對能帶的影響。為克服傳統對稱低頻五模材料低頻調控能力差的缺陷，本文在已有雙錐單胞構型的基礎上，設計了具有局域共振特性且含摻雜材料、飛鏢型結構非軸對稱單胞，探究了各單胞相關結構參數與材料參數對其頻散曲線的影響。通過仿真分析，發現這些單胞在低頻段不僅具有橫波抑制而縱波傳播的單模傳輸區域，而且具有阻止所有聲波傳播的聲子禁帶。相比于傳統軸對稱雙錐單胞，設計的非軸對稱單胞擁有頻率更低、帶寬更大的能帶結構，改善了低頻段薄弱的調控能力。這為用于低頻聲波調控的五模材料構型設計提供了思路。

1 非軸對稱二維五模材料單胞構型及低頻聲波調控

1.1 非軸對稱單胞模型

具有局域共振特性的傳統軸對稱雙錐五模材料單胞(下文簡稱母胞)構型，由3 個對稱雙錐構成平面晶格，每3 個雙錐結構由3 個扇形節點組成的節點圓連接。母胞晶格常數為a，節點圓半徑為R，雙錐寬為D，雙錐軸向長為L。其中錐形填充區域由TC4鈦合金作為硬質材料填充，扇形節點區域取硫化橡膠作為軟質材料填充。

本文以母胞為設計模板，采用硬質材料區域不對稱再設計和軟質材料區域摻雜兩種手段降低結構的對稱性。通過引入飛鏢型結構、摻雜材料的方式構建非軸對稱單胞，各單胞結構如圖1 所示，按引入飛鏢型結構個數將單胞依次命名為A1、A2、A3，紅色區域為摻雜材料填充部分。飛鏢結構節點圓半徑為r，錐角為α，為了更直觀地分析降低對稱性對能帶結構造成的影響，僅控制圖1 中目標硬質基體飛鏢節點圓半徑r、單錐錐角α與摻雜材料模量來改變各單胞的不對稱程度，觀察能帶隨參數的變化規律。

圖1 非軸對稱五模超材料單胞結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the unit cell structure of non-axisymmetric pentamode metamaterials

1.2 低頻聲波調控

軟質材料摻雜與硬質結構不對稱布局會直接影響胞元在空間中的剛度和質量分布，從而改變結構的固有頻率與單胞各階共振模態。因此，不對稱的引入會影響五模超材料的單模傳輸區域、聲子禁帶以及五模特性。為了探究非軸對稱性對五模單胞能帶結構和五模流體特性的影響，本文采用有限元方法，改變單胞局部的材料參數與結構參數，在Bloch 邊界條件下掃描圖2(a)中的灰色不可約布里淵區邊界得到能帶結構。母胞以圖2(b)中六邊形排列方式組成五模超材料結構，母胞結構參數如表1所示。

表1 軸對稱母胞構型相關結構參數Table 1 Structural parameters related to axisymmetric mother cell configuration

圖2 單胞簡約Brillouin 區及其結構排列方式Fig.2 Unit cell parsimonious Brillouin region and its structural arrangement

其中硬質雙錐填充TC4 鈦合金，圓形節點區域部分填充硫化橡膠，選用與原軟質填充材料楊氏模量差異較大的環氧樹脂作為摻雜材料，各材料參數如表2所示。

表2 單胞結構填充材料的材料參數Table 2 Material parameters of cell structure filling materials

運用仿真軟件依次沿路徑XΓ、ΓM、MX對不可約布里淵區邊界進行掃描，計算得到圖3(a)～(d)所示的頻散曲線。圖中包含6 條能帶，橫坐標表示掃描的倒格子空間中布里淵區的波矢方向，縱軸表示所處的頻率。圖中標識的黑色矩形區域為第一帶隙，位于此頻段范圍的聲波將無法傳播；灰色矩形部分為只允許縱波傳輸的單模傳輸區域。在對五模單胞的頻散分析中可以發現，圖3(a)所對應的傳統軸對稱單胞[21-22]單模區域頻率范圍約為250 Hz，禁帶頻段處于約700 Hz 的較高頻率處，存在低頻調控性能差的問題。對傳統單胞進行非軸對稱設計后，圖3(b)中引入摻雜的胞元結構單模區域寬度提升了兩倍；圖3(c)中含單葉飛鏢結構的胞元禁帶中心頻率從700 Hz 下沉至450 Hz 附近；與單葉飛鏢結構單胞禁帶相比，圖3(d)含三葉飛鏢結構的胞元禁帶頻段拓寬了約3.6 倍。非對稱處理后的單胞能帶結構的變化表明，降低單胞對稱性可能獲得超越傳統對稱單胞的優質單模寬帶和聲子禁帶。

圖3 五模單胞頻散曲線圖及摻雜母胞中A、B、C、D 點的振型圖Fig.3 Pentamode unit cell dispersion curves and mode shapes of points A, B, C,and D in doped mother cells

為了觀察到五模超材料單模區域頻段內的機能，在其頻散曲線原點附近處，選取了能帶上的A、B、C、D四個參考點，參考點對應的單胞振型如圖3(e)～(h)所示。在圖3(b)的頻散曲線中處于ΓX段的波矢方向為垂直方向，圖3(e)中質點的振動方向與波矢平行，圖3(f)中質點的振動方向與波矢垂直，同樣的可以得到C、D處波矢方向與質點振動方向的關系，即A、C點對應縱波模式，B、D點對應橫波模式。這意味著在灰色區域只允許縱波傳播而橫波被抑制，表征了五模超材料在這一頻段區域的流體特性。

此外，為了體現五模超材料在禁帶頻域范圍內的隔聲效用，將圖3(b)對應的單胞按20×5 的矩形數組進行陣列，并將陣列結構置于矩形水域中，建立的模型如圖4(a)所示。對模型左端口處施加激勵，在水域中聲波通過五模結構后的傳聲損耗情況如圖4(b)所示，摻雜母胞的傳聲損耗曲線在禁帶的中心頻率處存在兩個較高的傳遞損失峰值，即結構能很好地抑制頻段處于帶隙中心頻率附近的聲波傳播，說明此五模單胞陣列結構可起到較好的隔聲作用。基于頻散曲線中這兩段區域的特性，五模超材料不僅可以在單模傳輸頻段內利用自身的類流體特性實現聲隱身功能，還能夠在帶隙頻段范圍內實現超常的隔聲功能。

圖4 五模材料水下隔聲效用驗證Fig.4 Verification of underwater sound insulation effect of pentamode materials

為直觀比較各單胞聲波調控性能的差異，令頻散曲線中所求區域的頻率上界為fT，下界為fl。絕對帶寬為Abw=fT-fl，絕對帶寬越大表示帶寬性越好；相對帶寬為Rbw=Abw/((fT+fl)/2)，相對帶寬越大表示帶隙低頻性越好。對五模材料在單模傳輸區域的彈性波解耦能力可用五模品質因數(FOM=B/G)來表征，品質因數越大，表示體積模量B相對剪切模量G越大，縱波和橫波之間越難以耦合。當五模品質因數FOM＞1000時，即所設計的五模材料結構具有較好五模特性，與理想五模材料一樣能對聲波進行調控，品質因數可由縱波和橫波對應能帶曲線斜率比值的平方求得[21]。圖3(b)中摻雜母胞的第一帶隙頻率上界fT1=781 Hz，頻率下界fl1=716 Hz，絕對帶寬Abw1=65 Hz，相對帶寬Rbw1=9%；單模傳輸區域頻率上界fT2=629 Hz，頻率下界fl2=21 Hz，絕對帶寬Abw2=608 Hz，相對帶寬Rbw2=187%，品質因數約為3640。引入摻雜材料后的母胞解耦了下端纏結的能帶，使胞元具有更寬的單模傳輸區域和更低頻的第一帶隙，并保持了母胞的五模特性，這說明降低單胞對稱性有助于改善單胞的能帶結構。造成這種現象的原因可能是單胞在材料上的非軸對稱的布置改變了空間中結構剛度和質量的分布，使得相應等效剛度和等效質量的比值向低頻靠攏，進而產生了與傳統對稱單胞不同的頻散曲線。

2 數值仿真結果及討論

為了進一步探究單胞在材料與結構分布上的不對稱程度對調控能力的影響，本節對圖1 所涉及的3 種構型單胞進行能帶結構計算，分析了可改變單胞不對稱程度的參數對單模傳輸區域、第一帶隙以及品質因數的影響規律。

2.1 硬質節點圓半徑對能帶結構影響分析

取0.2～1.6 mm 區間內8 個值作為硬質節點圓半徑r，在其他材料參數和幾何參數不變的情況下，單獨改變虛線框內目標節點圓半徑得到相關的數據進行計算處理，單胞硬質節點圓半徑變化如圖5所示。

圖5 飛鏢型非軸對稱單胞硬質節點圓示意圖Fig.5 Schematic diagram of dart type non axisymmetric single cell hard node circle

2.1.1 單葉飛鏢單胞節點圓半徑對能帶結構影響

當引入一葉飛鏢型結構時，單胞A1 能帶結構隨硬質節點圓半徑r的變化如圖6 所示，半徑r越大，單胞A1 的非軸對稱性越強。當r=1.6 mm 時，單胞A1的軸對稱性程度最弱。隨著半徑的增加，單模傳輸區域上界頻率fT2從279 Hz 降至251 Hz，絕對帶寬Abw2減小了28 Hz。頻散曲線中位于低頻的能帶解耦，第一帶隙的頻段活動范圍從466～509 Hz下沉至380～492 Hz，絕對帶寬Abw1增加了69 Hz，相對帶寬Rbw1從8.8%提升至25.7%。相比母胞，單胞A1 第一帶隙絕對帶寬Abw1提升了56 Hz，相對帶寬Rbw1提升了17%。

圖6 節點圓半徑對單胞A1 能帶結構的影響Fig.6 Influence of node circle radius on band structure of unit cell A1

2.1.2 雙葉飛鏢單胞節點圓半徑對能帶結構影響

當引入兩葉飛鏢型結構時，單胞A2 能帶結構隨硬質節點圓半徑r的變化如圖7 所示。當r=1.6 mm 時，單胞A2 的軸對稱性程度最弱。隨著半徑的增加，單模傳輸區域上界頻率fT2從273 Hz 降至248 Hz，絕對帶寬Abw2減小了25 Hz。第一帶隙的頻段活動范圍從430～563 Hz 下沉至348～561 Hz，絕對帶寬Abw1增加了80 Hz，相對帶寬Rbw1從26.8%提升至46.9%。相比母胞，單胞A2第一帶隙絕對帶寬Abw1提升了157 Hz，相對帶寬Rbw1提升了38%。

圖7 節點圓半徑對單胞A2 能帶結構的影響Fig.7 Influence of node circle radius on band structure of unit cell A2

2.1.3 三葉飛鏢單胞節點圓半徑對能帶結構影響

當引入三葉飛鏢型結構時，單胞A3 能帶結構隨硬質節點圓半徑r的變化如圖8 所示。當r=1.6 mm 時，單胞A3 的軸對稱性程度最弱。隨著半徑的增加，單模傳輸區域上界頻率fT2從302 Hz 降至270 Hz，絕對帶寬Abw2減小了31 Hz。第一帶隙的頻段活動范圍從382～673 Hz 下沉至342～673 Hz，絕對帶寬Abw1增加了40 Hz，相對帶寬Rbw1從55.2%提升至65.2%。相比母胞，單胞A3第一帶隙絕對帶寬Abw1提升了275 Hz，相對帶寬Rbw1提升了57%。

圖8 節點圓半徑對單胞A3 能帶結構的影響Fig.8 Influence of node circle radius on band structure of unit cell A3

2.2 飛鏢錐角對能帶結構影響分析

對于引入飛鏢型結構的單胞，飛鏢結構中單錐角度α的改變也會影響帶隙的分布。錐角α越大，單錐面積越大，單胞A1 的非軸對稱性越強。取16°～44°區間內8 個角度作為硬質基元雙錐錐角α，在其他材料參數和幾何參數不變的情況下單獨改變虛線框內兩錐元的錐角α，觀察能帶結構變化，目標飛鏢錐角變化如圖9 所示。

圖9 飛鏢型非軸對稱單胞飛鏢錐角示意圖Fig.9 Schematic diagram of cone angle of dart type non axisymmetric single cell dart

2.2.1 單葉飛鏢單胞錐角對能帶結構影響

在引入飛鏢型結構的單胞A1 中，能帶結構隨錐角α的變化如圖10所示，帶寬性能與錐角α大體呈線性關系。當α=16°時，能帶中第一帶隙寬度極小，絕對帶寬Abw1僅有5 Hz。隨著錐角α的增加，處于低頻的帶隙逐漸解耦。當α=40°時，單模傳輸區域上界頻率fT2從254 Hz 提升至289 Hz，第一帶隙的頻段上下邊界從660～665 Hz 降至418～538 Hz，絕對帶寬Abw1增加了115 Hz，相對帶寬Rbw1從0.75%提升至25.1%。

圖10 錐角變化對單胞A1 能帶結構的影響Fig.10 The effect of cone angle variation on the band structure of unit cell A1

2.2.2 雙葉飛鏢單胞錐角對能帶結構影響

對于引入飛鏢型結構的單胞A2，能帶結構隨錐角α的變化如圖11 所示。隨著錐角α的增加，低頻解耦的帶隙帶寬逐漸增大。當α=44°時，單模傳輸區域上界頻率fT2從261 Hz 提升至319 Hz，第一帶隙的上下邊界從660～665 Hz 降至389～614 Hz，絕對帶寬Abw1增加了225 Hz，相對帶寬Rbw1從21.1%提升至44.9%。

圖11 錐角變化對單胞A2 能帶結構的影響Fig.11 The effect of cone angle variation on the band structure of unit cell A2

2.2.3 三葉飛鏢單胞錐角對能帶結構影響

單胞A3 能帶結構隨錐角α的變化如圖12 所示，隨著錐角的增加，單模傳輸區域上界頻率fT2從258 Hz上升至309 Hz，絕對帶寬Abw2增加了51 Hz，第一帶隙絕對帶寬Abw1與相對帶寬Rbw1先增大后減小，當錐角α為28°時絕對帶寬和相對帶寬達到最大值，絕對帶寬Abw1增加了78 Hz，相對帶寬Rbw1從52.11%提升至65.22%。

圖12 錐角變化對單胞A3 能帶結構的影響Fig.12 The effect of cone angle variation on the band structure of unit cell A3

2.3 摻雜材料參數對能帶結構影響分析

文獻[21–22]已將材料參數對軸對稱雙錐單胞能帶影響做了系統分析，發現軟質填充材料楊氏模量對能帶結構影響較大。對于材料對稱分布的單胞，改變部分軟質基體楊氏模量也會影響單胞的軸對稱性，所以需要探究材料參數變化對能帶的影響。單胞摻雜材料引入部位如圖13所示，單獨改變摻雜材料楊氏模量，觀察能帶的變化規律。

圖13 三葉飛鏢型非軸對稱單胞A3 摻雜填充示意圖Fig.13 Schematic diagram of A3 doping and filling of three leaf dart type non axisymmetric single cell

在引入摻雜材料的單胞A3 中，紅色摻雜區域與其余軟質材料填充區域楊氏模量差異越大，軸對稱性越差。材料密度與其他參數保持不變，摻雜材料楊氏模量對能帶結構的影響如圖14所示。

圖14 摻雜材料參數對單胞A3 能帶結構的影響Fig.14 Influence of doping material parameters on band structure of unit cell A3

隨著楊氏模量的增加，單模傳輸區域上界頻率fT2從322 Hz 上升至620 Hz，絕對帶寬Abw2增加了293 Hz。擴大的單模區域上邊界不斷擠壓禁帶的活動空間，第一帶隙相對帶寬Rbw1逐漸減小。當E=22 MPa 時，位于低頻段的能帶解耦，單模上邊界與第一帶隙下邊界重合，出現了一條絕對帶寬為2 Hz 的禁帶。由于單模區域上邊界上升較快，受擠壓的第一帶隙寬度持續緩慢增長。E=72 MPa時第一帶隙絕對帶寬Abw1=51 Hz，相對帶寬Rbw1=7.9%。相比母胞，在E=72 MPa 時單胞A3的單模相對帶寬Rbw2提升了8%，單模絕對帶寬Abw2提升了355 Hz。在實際單胞填充材料時，可選取適當模量的摻雜材料來提升單模區域寬度。

2.4 非軸對稱對品質因數影響分析

改變對稱程度影響單胞能帶結構的同時，品質因數也會隨之變化。軸對稱對稱程度對五模材料品質因數的影響如圖15 所示。同種單胞隨著硬質節點圓半徑r或錐角α的增大，軸對稱性逐漸降低，品質因數呈遞減的趨勢。在不同單胞間，隨著飛鏢型結構葉數的增多，軸對稱性逐漸降低，品質因數逐級減小。值得注意的是，通過提升摻雜材料楊氏模量的手段可以顯著改善單胞的品質因數，如圖15(b)所示，當摻雜材料楊氏模量E=72 MPa 時，單胞A3與含摻雜材料的母胞的品質因數相當，大小約為2857，與沒有引入摻雜的結構相比，單胞A3 品質因數提升了66.5%。在對二維五模材料進行非軸對稱設計時，可以適當摻雜較高彈性模量的軟質材料，以補足因不對稱處理損失的品質因數。

圖15 單胞品質因數隨相關參數變化關系圖Fig.15 The relationship between unit cell quality factor and related parameters

3 結論

本文以引入摻雜、飛鏢型結構建立了一類非軸對稱單胞，通過改變單胞摻雜材料模量、飛鏢結構個數、飛鏢硬質節點圓半徑與錐角的方式控制非軸對稱程度，并給出了相應的影響因素與單胞能帶結構的變化關系，得出了以下結論：

(1) 相比于傳統軸對稱五模單胞，非對稱單胞具有更優異的低頻能帶結構。胞元結構對稱性越弱，能帶結構中第一帶隙低頻性與帶寬性越好。

(2) 五模單胞軟質材料填充區域中引入較高楊氏模量的摻雜材料，不僅可以增大單模區域的寬度，而且可以提升單胞的品質因數，改善單胞在單模區域內的聲波解耦能力。

(3) 選擇具有更高不對稱性的硬質基元結構可以顯著提升能帶中第一帶隙的低頻性與帶寬性，但硬質結構對稱性降低時，五模材料結構的五模特性會隨之減弱。在低頻聲波調控的五模材料單胞設計上，可以選擇非對稱程度適當的硬質材料結構并摻雜較高模量的軟質材料，以獲得更高品質因數與優異聲波調控能力的五模單胞。