例談復習課中分類討論思想的有效滲透
——以“圓”的復習課為例

陶秋霞

? 江蘇省常熟市實驗中學

1 在“點與圓”的位置關系中滲透分類討論思想

例1若圓O所在的平面內有一點P與圓O上的點的最大距離是m,最小距離是n(m>n),那么圓O的半徑是______.

師:在同一平面內,點P與一個圓可能存在哪些位置關系?問題中的點P與圓O可能存在哪些位置關系?為什么?

生:點與圓的位置關系可能有三種——點在圓內,點在圓上,點在圓外.因為題中并沒有指明點P在圓的哪個位置,只是點P與圓O同處一個平面,所以點P與圓O也可能存在點P在圓O內、在圓O上、在圓O外三種位置關系.

師:當點P在圓O內部時,如何才能找到點P與圓O上的點的最大距離與最小距離呢?請畫出相應的圖形.

圖1

師:當點P在圓O上或圓O外部時,如何才能找到點P與圓O上的點的最大距離與最小距離呢?請畫出相應的圖形.

圖2

圖3

2 在三角形與圓的位置關系中滲透分類討論思想

例2已知圓O的內接三角形ABC中,AB=AC,圓心O到BC的距離為3 cm,圓O的半徑為7 cm,求腰長AB.

師:由已知條件“在△ABC中,AB=AC”,可知△ABC是等腰三角形.對于等腰三角形,可以分為哪幾個類型?

生:對于腰與底邊不確定的等腰三角形,以三邊中的任意一邊作底邊,會出現三種情況.對于腰與底邊確定的等腰三角形,因為內角大小不確定,所以也可能存在三種情況,即等腰銳角三角形、等腰直角三角形、等腰鈍角三角形.

師:此題中的等腰三角形ABC可能存在哪些情況呢?為什么?

學生:此題中的等腰三角形ABC可能存在兩種情況,即等腰銳角三角形ABC和等腰鈍角三角形ABC.因為它屬于腰與底邊確定,但內角大小不確定的三角形.當△ABC是等腰直角三角形時,圓心在底邊上,即圓心到底邊BC的距離為0,而題中已知圓心O到BC的距離為3 cm,所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

師:請同學們分別畫出等腰銳角三角形ABC內接于圓O和等腰鈍角三角形ABC內接于圓O的圖形,并分別解答.

圖4

圖5

2 在直線與圓的位置關系中滲透分類討論思想

例2如圖6所示,已知P是正比例函數y=2x圖象上的一個動點,圓P的半徑為3,設點P的坐標為(x,y).(1)當圓P與直線x=2相切時,求點P的坐標;(2)當點O在⊙P上時,求點P的坐標.

圖6

師:認真閱讀題目,找出其中的確定條件與不確定條件,并說明理由.

生:正比例函數y=2x的圖象是確定的,直線x=2是確定的,因為它們的系數都是確定的.圓P的大小是確定的,因為它的半徑為3.圓P的位置是不確定的,因為圓心P是直線y=2x上的一個動點,圓心可以在直線y=2x上自由運動.

師:直線與圓的位置關系有哪幾種?有哪些判定方法?

生:直線與圓的位置關系有三種,分別是直線與圓相離、相切、相交.判斷直線與圓的位置關系有兩種方法.第一種方法,根據直線與圓的公共點個數來判斷,當直線與圓有0個、1個、2個公共點時,直線與圓分別相離、相切或相交.第二種方法,根據d與r的關系判定,當d>r,d=r,d

師:當圓P在直線y=2x上從下向上運動時,圓P與直線x=2依次會出現哪些位置關系?

生:當點P從下向上運動時,圓P與直線x=2依次會出現相離、相切、相交,再相切、再相離的位置關系.

師:也就是說,圓P與直線x=2有兩次相切的機會,設直線y=2x與直線x=2相交于點A,則分別是圓P在點A下方時和圓P在點A上方時.請同學們分別畫出這種相切時的圖形,并解答.

生:如圖7所示,當圓P在點A的下方與直線x=2相切時,因為直線y=2x與直線x=2相交于點A,則點A的坐標為(2,4),在直角三角形AOC中,tan∠AOC=2.因為圓P與直線x=2相切,若PQ⊥AQ于點Q,所以OC∥PQ,可知∠AOC=∠APQ,則有tan∠AOC=tan∠APQ.因此在直角三角形APQ中,tan∠APQ=AQ∶PQ=2∶1.因為圓P的半徑為3,即PQ=3,所以AQ=6,則CQ=2.因為點Q到y軸的距離為2,所以點P的坐標為(-1,-2).

圖7

生:如圖8所示,當圓P在點A的上方與直線x=2相切時,在三角形APQ與三角形AP′Q′中,PQ=P′Q′=3,∠AQP=∠AQ′P′=90°,且∠PAQ=∠P′AQ′,所以△APQ≌△AP′Q′(AAS),可得AP=AP′,也就是說A是線段PP′的中點.因為點P(-1,-2),點A(2,4),設點P′的坐標為(a,b),根據中點坐標公式,可解得a=5,b=10,所以點P′的坐標為(5,10).

圖8

師:當圓P沿著直線y=2x自下向上運動時,原點O與圓P會出現哪些位置關系呢?

生:當圓P沿首直線y=2x自下向上運動時,會依次出現點O在圓P外、在圓P上、在圓P內,再在圓P上、在圓P外幾種情形.

師:也就是說圓P在運動過程中,會出現兩次點O在圓P上的情形,一種點P在點O下方時,另一種是點P在點O的上方時.請同學們分別畫出這兩種情形的圖形,并解答.

生:如圖9所示,當點P在點O下方時,過點P作y軸的垂線,垂足為H,可得tan∠OPH=2,從而可求出cos∠OPH,進而求出PH,OH,即得P點坐標;當點P在點O上方時,點P與點P′關于點O中心對稱,可得點P′的坐標.

圖9

在本課復習中,引導學生復習圓的有關知識是明線,滲透分類討論思想是暗線,設置的問題由易到難,層層深入,引導學生感悟條件不確定時分類的好處,積累運用分類討論思想解決問題的經驗.