高斯白噪聲激勵下含分數階PD控制器廣義DVP系統的隨機P-分岔

王慧男,盛正大,王 媛,王 芳

(蘭州交通大學 數理學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

分數階控制器是整數階控制器的推廣.整數階控制器由于擁有控制結構簡單、易于操作調整和具有較高的魯棒性等優點而被廣泛應用在系統的控制過程中.1981年Oustaloup[1]提出了分數階魯棒控制器,證明了分數階控制器比傳統整數階控制器能達到更好的控制效果.Li等[2]提出了分數階PD控制器和分數階PI控制器,并通過仿真實驗驗證了其具有良好的動態性能和魯棒性.近些年來,分數階控制器逐漸被運用到非線性系統中,成為一個新的研究方向,如Hamamci和Koksal[3]在動力系統中加入分數階PD控制器并研究了控制器中分數階階數對系統穩定性的影響,證明了分數階PD控制器比整數階PD控制器更容易控制系統穩定域的范圍;李偉等[4]研究了含分數階控制器的隨機動力系統在高斯白噪聲激勵下的可靠性,結果表明通過改變分數階控制器的階數可以得到理想的可靠性結果;Hua等[5]研究了分數階PD控制器對時滯系統穩定性的影響,發現適當調節控制器參數可滿足系統魯棒性要求的穩定區域;陳林聰等[6]提出了一種研究具有延遲反饋分數階PD控制器系統的隨機平均技術,結果表明此方法可以提高系統的控制精度;?elik[7]提出的新型分數階級聯控制器在減輕電子電力系統中由于電源密集導致負載過重的問題上起到良好的控制作用.需要注意的是,目前對分數階控制器的研究主要集中在系統的穩定性和可靠性以及對控制器的參數設計方面,對加入分數階控制器后系統產生隨機分岔問題的研究較少.鑒于此,本文運用隨機平均法研究了含分數階PD控制器廣義DVP系統,分析了分數階PD控制器的分數階階數及系數對系統發生隨機P-分岔的影響.

1 等價系統的推導

考慮高斯白噪聲激勵下含分數階PD控制器的廣義DVP系統,其模型如下:

(1)

其中:β1是線性阻尼系數;β2,β3是非線性阻尼系數;ω0是系統固有頻率;ξ(t)表示具有相關函數2Dδ(τ)的高斯白噪聲;D和τ分別代表噪聲強度和關聯時間.

(2)

ε為分數階PD控制器的系數且滿足0<ε<1,其他參數均為常數.

Dαx(t)采用Caputo型分數階導數的定義形式[8]:

(3)

其中Γ(·)是伽瑪函數.

分數階導數項Dαx(t)可以等效為阻尼力和回復力的線性組合[9-10],

(4)

C(α),K(α)分別為等效阻尼力和回復力的系數.

系統(1)可化為

(5)

則等效系統為

(6)

式(6)和式(5)的誤差:

(7)

由均方誤差最小的必要條件[11]:

(8)

可得

(9)

設系統的解為

(10)

將式(10)代入式(9)中,得

(11)

為進一步簡化,引入以下積分公式:

(12)

將式(12)代入式(11)中,并關于φ進行積分平均,得

即得C(α),K(α)表達式如下:

(13)

系統(6)可化為

進一步化為

(14)

其中

(15)

2 系統幅值的穩態概率密度

為求解系統(14)響應幅值的穩態概率密度函數,引入如下變換[12]

(16)

其中:a(t)為系統的幅值,θ(t)為初始相位,均為隨機過程.

將式(16)代入方程(14),通過確定性平均法計算可得等效系統(6)的Stratonovich隨機微分方程為

(17)

其中

(18)

(19)

其中B(t)是標準的維納過程,且

(20)

由隨機平均法[13],對Φ進行積分平均,即得平均It隨機微分方程:

(21)

其中

(22)

方程(20)及(22)表明式(21)與θ(t)相互獨立,a(t)是一維擴散過程,則描述概率密度函數變化的FPK方程為

(23)

邊界條件為

(24)

基于式(24),得系統(14)幅值的穩態概率密度函數的近似表達式為

(25)

其中C為歸一化常數,且

(26)

將式(22)代入式(25)并進行積分運算,則可得幅值a的穩態概率密度函數為

(27)

其中

(28)

3 系統的隨機P-分岔

隨機P-分岔是指系統的穩態概率密度函數曲線峰值數目的變化.

為方便起見,p(a)可表示為如下形式

p(a)=CR(a,D,ε,k0,k1,β1,β2,β3)·
exp[Q(a,D,ε,k0,k1,β1,β2,β3)],

(29)

其中

(30)

以下固定參數值β1=0.1,β2=1.51,β3=2.85,k0=k1=-0.5,ω0=1[14],主要討論分數階階數和分數階控制器的系數對系統產生隨機P-分岔的影響.

3.1 分數階PD控制器中參數α對隨機P-分岔的影響

取定參數值ε=0.3,D=0.0025,給出了分數階PD控制器中α=0.1和α=0.2時系統幅值的穩態概率密度曲線圖以及聯合概率密度曲線圖如圖1、圖2所示.

由圖1和圖2可知,作為分數階控制器中的階數α,可以引起系統隨機P-分岔的發生.在圖1中,當分數階階數增大時,對應的穩態概率密度曲線的峰值數目由兩個峰減少為一個峰,即由雙峰分布形式躍遷為單峰分布形式.再結合圖2的聯合概率密度曲線同樣可以發現,分數階階數α的增大,聯合PDF曲線的雙峰形狀變成單峰形狀,說明此時系統發生了隨機P-分岔.

圖1和圖2相互呼應,共同說明了在系統中,分數階PD控制器的分數階階數α的變化可以引起系統發生隨機P-分岔.

圖1 α=0.1和α=0.2時系統幅值的穩態概率密度曲線

圖2 α=0.1和α=0.2時系統幅值的聯合概率密度曲線

3.2 分數階PD控制器中參數ε對隨機P-分岔的影響

取定參數值α=0.1,D=0.0025,分別給出了分數階PD控制器系數ε=0.2和ε=0.6時系統幅值的穩態概率密度曲線以及聯合概率密度曲線如圖3和圖4所示.

由圖3和圖4可知,分數階PD控制器系數可以誘導系統隨機P-分岔的發生.在圖3中,隨著分數階PD控制器系數ε從0.2增大到0.6,穩態概率密度曲線的峰值逐漸減少,且由雙峰變為單峰,說明系統發生了隨機P-分岔行為.結合圖4的聯合概率密度曲線可以發現,分數階PD控制器系數ε的增大,聯合概率密度曲線峰值數減少,說明此時系統在控制器系數變化的影響下出現了隨機P-分岔現象.圖3和圖4相互呼應,共同說明了分數階PD控制器系數ε可以誘導系統發生隨機P-分岔現象.

圖3 ε=0.2和ε=0.6時系統幅值的穩態概率密度曲線

圖4 ε=0.2和ε=0.6時系統幅值的聯合概率密度曲線

4 結語

本文對高斯白噪聲激勵下含分數階PD控制器的廣義DVP系統的隨機P-分岔現象進行了研究.根據均方誤差最小原則將含分數階PD控制器的系統線性等效為等價的整數階系統,運用隨機平均法求解得到漂移和擴散系數,并將系統轉化為伊藤隨機微分方程,進而求得系統幅值的穩態概率密度函數.利用奇異性分析分數階PD控制器的階數和系數對系統發生隨機P-分岔的影響,結合Matlab繪圖證明分數階PD控制器階數和系數均會引起系統發生隨機P-分岔行為,即當階數和系數增大時,穩態概率密度函數曲線由雙峰分布躍遷為單峰分布,系統發生隨機P-分岔.