二維不可壓縮磁-微極流初邊值問題的全局解

吳辰龍,劉瑞寬

(西南石油大學(xué) 理學(xué)院,成都 610500)

0 引 言

考慮如下二維不可壓縮磁-微極流體動(dòng)力學(xué)方程組:

(1)

其中:Ω?2為邊界光滑的有界開區(qū)域;u(t,x)∈2,w(t,x)∈2,b(t,x)∈2和p(t,x)∈分別表示流速、微旋轉(zhuǎn)速度、磁場強(qiáng)度和靜水壓力;f(t,x),g(t,x)∈2為已知的外力函數(shù).本文考慮如下的齊次邊界條件和初始條件:

(2)

u(0,x)=u0(x),w(0,x)=w0(x),b(0,x)=b0(x),x∈Ω,

(3)

磁-微極流方程常被用于描述具有微旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的導(dǎo)電流體(如等離子體、液態(tài)金屬)在磁場作用下的流動(dòng)現(xiàn)象,對太陽或地球磁場的起源、超新星爆發(fā)、受控?zé)岷朔磻?yīng)等研究具有重要意義,目前已得到廣泛關(guān)注[1-8].例如,Rojas-Medar等[2-3]利用Galerkin方法討論了方程組(1)在無滑移型邊界條件下的全局弱解與局部強(qiáng)解,并解決了二維情形下弱解的唯一性問題;Ortega-Torres等[4]在小初值的前提下得到了全局強(qiáng)解的存在性;Yuan[5]獲得了方程組(1)光滑解的一個(gè)爆破準(zhǔn)則;Xu[6]通過Fourier局部化方法改進(jìn)了三維磁-微極流問題一些已知的弱解正則性結(jié)果;Zhang等[7]在Tribel空間中建立了僅用速度場梯度控制的弱解的正則性準(zhǔn)則.馬天[9]建立了T-弱連續(xù)算子方法,該方法可有效解決一些非線性偏微分方程全局解的適定性問題;基于T-弱連續(xù)算子方法,馬天等[10]討論了一類二階非線性拋物方程初邊值問題全局強(qiáng)解的存在性與正則性;Zhang等[11]得到了一類描述多元體相分離現(xiàn)象的四階擬線性演化方程的整體弱解的存在性結(jié)果;Wang等[12]獲得了二維不可壓縮Marangoni問題整體弱解的存在性與唯一性定理;Wu[13]證明了一類完全非線性發(fā)展方程強(qiáng)解的整體存在性.受上述研究啟發(fā),本文利用T-弱連續(xù)算子方法研究二維不可壓縮磁-微極流初邊值問題(1)-(3)全局解的存在性與唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

其中1≤p≤∞.

類似文獻(xiàn)[14],定義如下函數(shù)空間:

并始終假設(shè):

Y=U1×V1×W1,H=U2×V2×W2,Z=U3×V3×W3.

注意到L2(Ω,2)可進(jìn)行形如L2(Ω,2)=U1⊕的Leray分解,這里

下面用P表示從L2(Ω,2)到U1的正交投影算子,即P是Leray投影算子.本文始終假設(shè)U=(u,w,b),F=(f,g,0),并定義算子G:H×(0,∞)→Y*為

(4)

這里Y*是Y的對偶空間.于是,初邊值問題(1)-(3)可等價(jià)為如下形式:

(5)

成立,則U稱為問題(5)的一個(gè)全局弱解.

定義2[9]若對任意的xn∈W1,xn?x0,且有子列{xnk}∈W1滿足

則在L2((0,T)×Ω)上對任意的|α|≤m-1,有Dαun→Dαu0.

2 主要引理與估計(jì)

下面總假設(shè)?i=?/?xi,并約定出現(xiàn)指標(biāo)i,j時(shí),表示從1到2求和;出現(xiàn)指標(biāo)k時(shí),表示對1～3求和.為方便,記u=(u1,u2),w=(w1,w2),b=(b1,b2),u1,j=uj,u2,j=wj,u3,j=bj,j=1,2.

引理2若G為式(4)中定義的算子,則有如下不等式成立:

這里常數(shù)C>0.

證明: 對式(4)乘以U,并在Ω上積分可得

利用分部積分公式并結(jié)合divu=0,有

再注意到

則有

這里常數(shù)C>0.

引理3對任意的0

其中常數(shù)C>0.

證明: 定義算子

(6)

則對?S∈Y,由分部積分公式有

注意到U∈L2((0,T),H)∩L∞((0,T),Y),S∈E,則

進(jìn)一步,有

綜合上述不等式,即有

引理4若G為式(4)中定義的算子,則G是T-弱連續(xù)的.

證明: 取L2((0,T),Z)中有界序列{Un}且Un?U0,則由引理1知,{Un}在L2((0,T),Y)中強(qiáng)收斂,即

Un→U0(L2((0,T),Y)),

(7)

其中0

對?S∈E,顯然有

其中B為式(6)中定義的算子.

由分部積分公式,并結(jié)合式(7),(8)可得

同時(shí)有

從而

(13)

于是由式(9)～(13)可得

引理5若U=(u,w,b),S=(s1,s2,s3),則對任意的U∈H,S∈E,

成立,對任意的U,S∈E,

證明: 令U=(u,w,b),S=(s1,s2,s3),B為式(6)定義的算子,結(jié)合H?lder,ε-Young和Poincaré不等式及分部積分公式,可得

顯然,泛函g:H→[0,∞)是有界的.

又對任意的U,S∈E,有

利用H?lder和ε-Young不等式,有

取X0=Y,X1/2=Z,則有如下插值不等式[15]:

(15)

(16)

這里X1/4=W1/2,2(Ω,2)×W1/2,2(Ω,2)×W1/2,2(Ω,2).利用分?jǐn)?shù)階Sobolev嵌入定理[15],有

(17)

(18)

從而結(jié)合式(14)～(18),有

3 主要結(jié)果及其證明

定理1令U0=U(0)=(u0,w0,b0),F=(f,g,0),且F(0,x)=0,則如下結(jié)論成立:

1) 對任意的U0∈Y,F∈L2((0,T),Y)和0

2) 對任意的U0∈H,F∈W1,2((0,T),Y)和0

記Yn=span{e1,…,en}.對方程(5)利用標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin技術(shù),并考慮如下常微分方程組:

(19)

(20)

在式(20)中令S=Un,則有

(21)

結(jié)合引理2與式(21),可得

利用Gronwall不等式,對任意的0

(23)

由式(22)顯然可得

再結(jié)合式(23),可推出

(24)

從而由式(23)與式(24)可知

{Un}?L∞((0,T),Y)∩L2((0,T),Z),

(25)

由引理3和式(19)可知

(26)

(27)

由引理4知,算子G是T-弱連續(xù)的,因此對任意的S∈Yn,有

(28)

2) 由算子G的Fréchet可微性,并結(jié)合式(19),易見Un滿足

(29)

由引理5可知

(30)

對任意的S∈Yn,有

(31)

(32)

結(jié)合式(30)與式(32),有

(33)

由于E?H,U0∈H,因此在H中有Un(0)→U0.又由式(28)知α(τ)∈L1(0,T),則對式(33)應(yīng)用Gronwall不等式,可得

利用中值公式,有

(34)