具有Allee效應的不確定Logistic種群模型

高采文,張志強,劉寶亮

(山西大同大學 數學與統計學院,山西 大同 037009)

Allee[1]對生物種群的研究表明,群體生存有利于生物種群的存活、繁殖、抵御外敵,但過于密集或過于稀疏都會對繁殖產生負面影響,阻礙種群的發展,這就是Allee效應.具有Allee效應的種群有自身的最佳密度,當密度低于一定閾值時,種群將會滅絕.Allee效應的強弱影響生物種群的生殖狀態、進化方向以及生存狀態.描述Allee效應的數學模型目前已有很多,其中以確定性模型和隨機模型為主.確定性模型對種群數量增長的描述較籠統,忽略了其他內外因素隨時間波動對系統行為的影響,很難精準預測種群的變化趨勢.隨機模型盡管在實踐中應用廣泛,但應用隨機模型的前提是事件的概率分布函數充分接近實際頻率,即滿足大數定律.但由于各種原因,實踐中有時無法獲得樣本數據,只能依靠領域專家估計事件發生的可能性并給出其信度.此外,由于Wiener過程的性質,隨機微分方程在描述許多時變系統時存在不一致的現象[2].因此,為更好地描述生物種群動態過程中的各種噪聲需考慮新方法.

Liu[3]提出了不確定性理論,用于解決隨機模型中的悖論.為描述隨時間變化的不確定現象,Liu[4]引入了不確定過程的概念,Liu過程即為一種不確定過程,它是平穩獨立的增量過程,具有連續的Lipschitz樣本路徑.與Wiener過程驅動的隨機微分方程不同,不確定微分方程由不確定過程驅動.目前,不確定微分方程已成為處理動態不確定系統的主要工具.不確定理論廣泛應用于不確定規劃、不確定可靠性分析和不確定金融等領域.

考慮到種群系統不可避免地受自然界中各種不確定噪聲的影響,本文在具有Allee效應的確定性種群模型基礎上進一步考慮不確定噪聲的影響,提出用不確定微分方程描述具有Allee效應的不確定Logistic種群模型.該模型將噪聲項視為一個不確定變量,其期望值為0、方差為1.本文提出的模型為研究具有Allee效應的種群動態行為提供了一種新方法.

1 預備知識

定義1[3]設Γ是一個非空集合,L是Γ上的σ代數.不確定測度M是從L到[0,1]的函數,滿足下列條件:

1)(規范性公理) 對全集Γ,有M{Γ}=1;

2)(對偶性公理) 對任意事件Λ,有M{Λ}+M{Λc}=1;

4)(乘積測度公理) 令(Γk,Lk,Mk)(k=1,2,…)是不確定空間,乘積不確定測度M滿足

其中Λk是Lk中的任意事件,k=1,2,….

定義2[5]如果不確定過程Ct滿足下列條件,則Ct稱為一個Liu過程:

1)C0=0,幾乎所有的樣本軌道Lipschitz連續;

2)Ct具有平穩獨立增量;

3) 每個增量Cs+t-Cs是一個期望值為0、方差為t2的正態不確定變量.

Liu等[8]證明了ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)的期望值為

2 模型的建立

種群的數量通常以指數方式增長,連續的Malthus種群模型為

(1)

其中Nt表示t時刻種群的數量,r為種群的內稟增長率.

種內競爭是生物界普遍存在的現象,例如,雄蝗蟲為爭搶雌蝗蟲的角逐及雌蝗蟲為爭搶產卵場所而進行的斗爭,都會影響它們的生物潛能,并最終導致種群數量下降.考慮到密度限制和擁擠效應,在模型(1)上增加一個密度制約因子(1-Nt/K),即可得Logistic種群模型:

(2)

其中K為環境容納量.當NtK時,種群數量遞減.

為生存、繁衍并抵御外敵入侵,生物個體之間也需要相互合作.例如: 螞蟻作為一個團隊,可以把質量是自己數十倍的物體搬回巢穴;食草動物的聚集可減少外敵入侵.這種生物個體間的合作會增加種群的繁殖成功率或存活率,從而增加種群的規模或密度,這些均可視為Allee效應.對具有Allee效應的種群,在模型(2)上增加因子(1-K0/Nt),即可得具有Allee效應的Logistic種群模型:

(3)

其中K0K0時,種群的數量將隨時間延長而增加.

不確定擾動在自然界普遍存在.模型(3)是確定性模型,忽略了噪聲項,引入不確定擾動項則更符合實際.一種引入的方法是假設不確定噪聲項主要擾動內稟增長率,即

(4)

其中:Ct為Liu過程;σ為定義在[0,+∞)上的實數,表示噪聲的強度.因此可得具有Allee效應的不確定Logistic種群模型:

(5)

其中噪聲項dCt/dt為正態不確定變量,期望為0、方差為1.模型(5)不僅考慮了Allee效應帶來的動態影響,而且考慮了實際應用中不能忽略的不確定擾動,因此,模型更合理.下面討論具有Allee效應的不確定Logistic種群模型的解及解的α軌道.

3 模型的解

定理1具有Allee效應的不確定Logistic種群模型有解

(6)

(7)

對式(7)兩邊從0到t求積分,得

即

從而

(8)

求解式(8)可得式(6).因此,具有Allee效應的不確定Logistic種群模型的解完全由參數r,σ,K,K0和初值N0確定.

定理2若具有Allee效應的不確定Logistic種群模型給定初值N0>0,則有α軌道

(9)

證明: 由定義3可知,具有Allee效應的不確定Logistic種群模型解的α軌道滿足相應常微分方程

(10)

對式(10)兩邊求積分可得式(9),因此結論得證.

定理3對具有Allee效應的不確定Logistic種群模型,當K0

當K0

證明: 考慮函數

分析表明: 當K0

定理4對于具有Allee效應的不確定Logistic模型,當t→∞時,有

(11)

證明: 由式(8),有

整理得

從而

由于

因此可得結論.表明環境容納量K是一個平衡狀態,在式(11)的意義下穩定.

4 模型的參數估計

目前,關于不確定微分方程的參數估計問題已得到廣泛關注.Yao等[10]提出了一種基于不確定微分方程差分形式的矩估計法.對于矩估計法無解的情形,研究者們又提出了廣義矩估計法,將問題轉化為求目標函數最小化的最優解.此外,Sheng等[11]用最小二乘估計法估計未知參數;Lio等[12]討論了用不確定極大似然估計法估計不確定回歸模型中的未知參數;Liu等[13]研究了基于不確定極大似然估計的不確定微分方程參數估計方法.本文利用廣義矩估計法對具有Allee效應的不確定Logistic種群模型中的參數r和σ進行估計.

具有Allee效應的不確定Logistic種群模型的Euler差分形式為

整理得

(12)

由式(12),有

(13)

模型的解Nt在時刻t1

(14)

k階總體矩為

由于標準正態不確定分布的期望為0、方差為1,所以目標函數最小值為

(15)

根據廣義矩估計法知,式(15)的最優解是未知參數r和σ的廣義矩估計值.所以,未知參數r和σ的廣義矩估計值等價于求下列方程組:

(16)

求解方程組(16),可得r和σ的估計值分別為

(17)

5 實例分析

下面對具有Allee效應的不確定Logistic人口模型做參數估計,并研究模型解的性質.表1列出了美國1790年到1990年的人口統計數據.根據文獻[14],模型中參數K=265×106,N0=3.9×106,同時假設K0=10.

表1 1790年到1990年美國人口統計數據

5.1 具有Allee效應的不確定Logistic人口模型的參數估計

根據1790年到1990年美國人口的統計數據,由式(14)可得標準正態分布的21個樣本:

目標函數最小值為

(18)

根據式(17)可知式(18)的最優解,即未知參數r和σ的廣義矩估計分別為

(19)

(20)

將樣本觀測值Nti+1(i=1,2,…,21)代入式(19)和式(20),解得

(21)

從而得到具有Allee效應的不確定性Logistic人口模型:

(22)

將式(21)代入式(18),計算可得目標函數的最小值為0.151 1×10-6,接近于0.

下面驗證估計值的合理性.對任意給定的α,β∈(0,1)且α>β,在時刻t0,因為

所以

5.2 具有Allee效應的不確定Logistic人口模型解的極值和積分

在實際應用中,為維持社會穩定或生態平衡,當人口數量接近極值時,政府需要制定相應政策限制人口數量的自然增長或減少,從而防止極端現象.下面討論具有Allee效應的不確定Logistic人口模型解的極值及解的積分不確定分布.

假設具有Allee效應的不確定性Logistic人口模型(22)中,N0=3.9×106,則模型的解為

解的α軌道為

圖1 Nt的觀測值和α軌道Fig.1 Observations and α-paths of Nt

圖2 Nt的α軌道Fig.2 α-paths of Nt

如圖4所示.

圖3 Nt極值的逆不確定分布Fig.3 Inverse uncertainty distributions of extreme values of Nt

圖4 Nt積分的逆不確定分布Fig.4 Inverse uncertainty distributions of integral of Nt

綜上所述,考慮到不確定噪聲的影響,本文提出了用不確定微分方程描述的具有Allee效應的不確定Logistic種群模型.該模型的特點是將Allee效應與不確定擾動相結合.首先,給出了具有Allee效應的不確定Logistic種群模型的解及解的α軌道,并利用不確定分析方法討論了解的期望值和平衡態的穩定性;其次,討論了模型的參數估計;最后,通過數值實例對模型的參數估計及解的極值與積分的逆不確定分布進行了說明.