基于風浪平衡域理論的淺水情形拖曳系數研究?

李墨馨, 趙棟梁

(中國海洋大學海洋與大氣學院, 山東 青島 266100)

海面風應力即為海-氣界面的動量通量,反映了在海洋與大氣的界面處兩層流體間的摩擦拖曳作用,是海洋動力模式與海-氣耦合模式的關鍵和基礎,對研究全球氣候變化和防范極端災害天氣有著重要的科學意義和應用價值。

海面風應力理論上由大氣的湍流運動所導致,在大氣常通量層以內、波邊界層以上[1],可直接由超聲風速儀觀測的湍流脈動值經渦動相關法計算求得。然而在實際應用中,風速的觀測值通常為某一固定高度處大氣運動的平均流速,故人們引入拖曳系數CD這一概念,將海面風應力τ寫為:

(1)

式中:ρ是空氣密度;u*是空氣摩擦速度;U10是海面以上10 m處的風速。當大氣層結接近于中性穩定狀態時,常通量層內的風速廓線關系式可以寫為:

(2)

式中:κ = 0.4是von Kármán常數;z是距離海面的高度;Uz是對應高度的風速;z0是海面粗糙度。

過去幾十年中,人們進行了許多針對拖曳系數的研究,最開始拖曳系數被取為常數,而后拖曳系數被描述為隨風速增大的函數,近些年人們發現,拖曳系數并不是隨著風速的增大而持續增大的,當風速大于某一特定值時,拖曳系數開始下降或趨于平緩,此時的風速被稱為臨界風速U10c(Critical wind speed)。圖 1展示了前人給出的臨界風速,它們被分為了三類,分別屬于實驗室風-浪水槽[2-7]、近岸海域[8-12]和開闊大洋[13-23]。一些研究認為拖曳系數隨風速變化的同時也與水深相關聯[24-28],其中Makin 和 Kudryavtsev[26]與Zhao等[11]指出淺海的拖曳系數大于深海的拖曳系數;同時Zhao等[11]指出,淺海的拖曳系數臨界風速比深海更小。圖 1顯示,相比淺水情形下的風-浪水槽和近岸海域,深水情形下的開闊大洋中可以觀測到更大的臨界風速;然而,不論在何種情形下,人們觀測到的臨界風速都是在一定風速范圍內變化的。由此可見,拖曳系數是否對水深存在依賴性,并且,水深是否是影響拖曳系數臨界風速變化的直接因素,這些問題都有待解答。

圖1 不同研究者給出的拖曳系數趨于飽和的臨界風速

本文圍繞淺水情形下水深對拖曳系數的影響展開探究,使用大陸架之上水深在10～320 m之間變化的美國東海岸國家數據浮標中心(National Data Buoy Center,NDBC)業務化浮標觀測數據,基于風浪譜的平衡域理論反推得到摩擦速度,針對水深對拖曳系數的影響尚存的問題進行討論并給出合理解釋。

1 數據介紹

NDBC業務化浮標可以提供長時間、大范圍的風速、海浪、氣溫和水溫的同步觀測數據。本文使用的NDBC浮標數據下載于NOAA的FTP服務器,其地址為ftp://ftp-oceans.ncei.noaa.gov/pub/data.nodc/ndbc/,時間跨度為2011年1月—2020年12月,空間分布范圍如圖 2所示。本文所用浮標的風速計和氣溫傳感器均位于海面以上約5 m高度處。

(藍色圓圈代表浮標。Blue circles represent the buoys.)

(3)

選擇了Ri的絕對值小于0.003的大氣穩定度接近于中性穩定的數據,避免了大氣穩定性對海面風應力與海浪發展的影響,使公式(2)得以成立。公式(3)中:zt是氣溫的測量高度;z是風速U的測量高度;Ta和Tw分別是海面氣溫和水溫,單位是攝氏度,這里的zt與z均為5 m。

本文將上述篩選出的大氣中性穩定時風浪狀態下的數據按水深由小到大劃分為5個檔次,具體信息如表1所示。本文后續內容皆以表1中的平均水深指示數據結果的水深劃分。

表1 大西洋沿岸浮標水深數據信息

2 方法介紹

公式(1)中的摩擦速度可以由海浪能量密度譜基于風浪譜的平衡域理論反推得到[30-31]。Toba[32]和Phillips[33]指出,風浪譜在平衡域內具有正比于f-4的譜型,且其表達式為:

(4)

式中:αT被稱為Toba常數;f為頻率;S(f)為海浪能量密度。在保證平衡域位置不被移動的同時,為了減小海浪觀測儀器和譜估計方法固有缺陷所帶來的數據波動,本文分別將5組不同水深的風浪譜數據按相同譜峰周期Tp、相同風速區間求平均,并圍繞平均譜進行分析。圖 3展示了部分平均譜,其縱軸為海浪譜譜值S(f)與頻率f四次方的乘積。從圖中可以清晰地看到,在海浪譜的譜峰頻率之后存在著平行于橫軸的平衡域。依據Kuik等[34]和Thomson等[30]給出的方法,Toba常數αT可由NDBC浮標的海浪方向譜數據計算得到,其結果(見圖 4)顯示,Toba常數的值集中于0.106。如此,已知平衡域內的海浪譜和Toba常數αT,摩擦速度u*便可由公式(4)反推得到,同時,聯立公式(1)和公式(2)便可得到拖曳系數CD。

(圖例指示不同的水深。紅色粗直線指示S(f)正比于f-4,藍色粗直線指示S(f)正比于f-5。 The legend indicates different water depths. Red thick line represents S(f) is proportional to f-4 and blue thick line represents S(f) is proportional to f-5.)

(圓點為原始值,菱形為平均值。Dots are raw data and diamonds are average data.)

3 不同水深的拖曳系數

依照上一節所述方法,本文得到了風浪狀態下美國東部沿岸海域不同水深下的摩擦速度和拖曳系數。

圖 5展示了五組不同水深下的摩擦速度u*隨觀測風速U5的變化,圖中以不同的顏色區分不同的譜峰周期Tp。從圖中可以看到,摩擦速度隨著風速的增大而增大,這與人們的普遍認識相同。同時由圖 5還可看到,不論在整體上還是在相同風速的限定下,摩擦速度均隨著譜峰周期的增大而增大。圖 6展示了不同水深的拖曳系數CD隨風速U10的變化,對于平均水深為22、40、59和82 m的這四組數據,其最大風速均略大于20 m/s,拖曳系數整體上均隨風速的增大而增大,此趨勢在圖 7中亦可體現。對于平均水深為231 m的這組數據,其最大風速可以達到近30 m/s,拖曳系數在整體上呈現出先增大后減小的趨勢,其臨界風速約為24 m/s,此趨勢在圖 7中清晰可辨。對水深而言,這5組數據的拖曳系數并未有明顯不同。從圖 8中可以看到,不同水深拖曳系數的平均值幾乎是一致的,且其值約為1.3×10-3,這與Rossby 和 Montgomery[35]將拖曳系數取為常數的結果完全相同。

圖5 不同水深的摩擦速度(u*)隨觀測風速(U5)的變化

上述結果表明,在海浪狀態為風浪時,水深的不同并不會導致拖曳系數發生明顯改變,因此,導致前人的拖曳系數結果在不同水深下顯著不同的直接原因并非水深的不同,應另有其他。值得格外注意的是,圖 6中,在譜峰周期相同的條件下,具有較大風速跨度的拖曳系數會呈現出隨風速增大而先增大后減小的變化趨勢,并且隨著譜峰周期的增大,在相同譜峰周期條件下,拖曳系數隨風速變化的臨界風速也會增大。由此本文推測,導致不同水深條件下拖曳系數隨風速的變化呈現不同結果的直接影響因素或為與譜峰周期相關的海浪參量。

4 分析和討論

本文所用數據與前人的拖曳系數相關研究相較具有時間跨度大、空間范圍廣的特點和同時涵蓋大量不同狀態風浪譜觀測數據的優勢,這為我們以全新的角度探究不同水深情形下拖曳系數與海浪參量的關系提供了重要基礎。正是在這一基礎之上,本文呈現的結果表明,水深不是直接影響拖曳系數的因素,而海浪譜的譜峰周期與拖曳系數的變化規律之間有著緊密的關聯。

為了解釋前人的研究中,拖曳系數在不同的水深下呈現出不同狀態的問題,本文引入譜寬度這一概念。譜寬度代表的是海浪能量在頻域上的集中程度,譜寬度的值越大,風浪的能量便會分布在一個越寬的頻域范圍內,即譜寬度越大能量越分散,譜寬度越小能量越集中。Cartwright 和 Longuet-Higgins[36]給出了一個譜寬度的定義:

(5)

此外另一個譜寬度的定義為:

(6)

公式(5)和(6)中的m0、m1、m2和m4為不同的海浪譜階矩,其定義為:

(7)

因為譜寬度ε和譜寬度ν在本質上并無區別,它們代表的物理含義是相同的,故本文只以譜寬度ε為例進行討論。

圖6表明,在不同水深下,拖曳系數隨風速的變化規律與譜峰周期有關,而圖 9顯示,譜峰周期的大小決定著譜寬度的大小,且譜寬度的大小與水深無關。圖 10結果顯示,不同水深下,拖曳系數隨譜寬度的變化均收斂于同一條擬合關系式,即圖中的黑色曲線,該關系式來自于包含湖泊、近岸和大洋的NDBC浮標數據結果,在圖 10中僅作為一個對比不同水深結果的標尺。圖 6中,拖曳系數隨風速的變化因譜峰周期的不同而呈現較大的離散狀態,然而圖 10中,拖曳系數隨譜寬度的變化則呈現較好的收斂狀態,且不論水深如何變化,拖曳系數隨譜寬度的變化規律均相同。

圖7 不同水深下拖曳系數的平均值隨風速的變化

圖8 拖曳系數(CD)隨水深的變化

圖9 譜寬度(ε)與譜峰周期(Tp)的關系

圖10 拖曳系數(CD)隨譜寬度(ε)的變化

基于上述結果,本文認為海面風應力拖曳系數的大小依賴于海-氣界面處海表面的波動狀態,即拖曳系數大小的直接影響因素應為海浪的譜寬度。具體而言,隨著譜峰周期的增大,風浪越成長,風浪的組成波越多,海浪的譜寬度將越大,這意味著有更多的海浪組成波參與海-氣相互作用過程,使得海-氣耦合強度增大,并且表現為拖曳系數隨海浪譜寬度的增大而單調增大。當譜寬度或譜峰周期達到最大值時,拖曳系數也將達到其海浪系統背景下的最大值,此時對應的風速即為臨界風速。前人的研究中,不同水深下的拖曳系數呈現出不同的狀態也是源于其觀測結果所處的海浪系統背景不同,當近岸的水深較淺時,淺水效應引起的波浪破碎通常會限制長波的存在,使譜寬度減小,從而使臨界風速相對于水深較大處有減小的趨勢,但水深較大并不一定意味著大的臨界風速,而是由具體的譜寬度大小來決定。

5 結語

本文使用時間跨度大、空間范圍廣的沿岸浮標數據,基于風浪譜平衡域理論推算得到海面風應力拖曳系數圍繞淺水情形下不同水深的拖曳系數變化規律進行了探討,其結果發現:水深不是引起拖曳系數變化的直接因素,拖曳系數隨風速的變化因譜峰周期的不同而呈離散狀態,在不同水深條件下,拖曳系數與海浪的譜寬度之間均具有一致的緊密關聯,并進一步使用譜寬度的相關理論解釋了前人給出的拖曳系數在不同水深下呈現不同變化規律的原因。

本文的研究成果對于合理地參數化海面風應力拖曳系數具有重要的引導意義。然而,基于平衡域理論的拖曳系數推算方法將本文的結果限制于風浪狀態下,但依據譜寬度的概念,拖曳系數與譜寬度之間的關聯性對于解釋涌浪背景下不同水深的拖曳系數應同樣適用,此觀點仍需進一步的工作來驗證。此外,本文所聚焦的海浪周期為譜峰周期,相較而言,平均周期具有更穩定的特點,未來應將關于平均周期的討論一并納入其中。