歷史啟迪教學　再現知識本質　助力學生深度理解

鄭杏桃　岳增成

【摘? ?要】“分數除法”是小學數學中的難點，目前的教學較難幫助學生理解分數除法算法背后的算理。歷史上分數除法的運算主要是用代數推理的方式演繹計算過程。教師可從歷史中獲得教學的啟示，重構教學模式，讓學生經歷從算法多樣化到算法優化的過程，突破分數除法算理理解的難點。

【關鍵詞】分數除法；數學史；運算一致性

“分數除法”是人教版教材六年級上冊的教學內容，它是整數、小數和分數四則運算知識結構中的最后一塊“拼圖”。學生在學習此內容之前已熟練掌握分數加法、減法和乘法以及整數和小數的四則運算，他們已經積累了豐富的分數運算和整數、小數除法運算的經驗。按理說，學生學習分數除法應該得心應手，實則不然。某學校在六年級第一學期的期末檢測中有這樣一道題目：“用你喜歡的方法說明200÷[1／2]一定等于200×2。”測試結果不盡如人意。約65%的學生給出的答案是“因為除以一個數等于乘這個數的倒數”；約10%的學生能仿照教材例題的呈現方式，“結合現實情境以數形結合的方法”闡明理由；約10%的學生能用演繹推理的方法進行解釋；還有約15%的學生表示不清楚。可見，對于分數除法，大部分學生只是依據算法進行運算，而沒有理解算理。

一、分析內容，尋找原因

（一）分析當下，厘清緣由

人教版教材把本內容編排在六年級上冊第3單元，分2課時進行教學。第1課時為“分數除以整數”，教材以折紙活動為載體，利用數形結合的方法幫助學生理解分數除以整數的算理。整個學習過程中，學生根據整數除法的意義、分數乘法等知識，理解“一個分數除以整數，等于乘這個整數的倒數”。第2課時為“一個數除以分數”，包括整數除以分數和分數除以分數兩種情況。教材編排了“誰走得快些”這一實際問題，結合線段圖，依據“路程÷時間=速度”的數量關系，把求速度的問題轉化為先歸一再歸總的問題，幫助學生理解“一個數除以一個分數，等于乘這個分數的倒數”。

按照教材的學習路徑實施教學，結合現實情境能幫助教師解釋算理，最終使學生掌握算法。但也存在兩處弊端：一是過于依賴情境，難以凸顯分數除法算理的本質，更無法讓學生真正理解算理，這也導致部分學生不能準確說明200÷[1／2]一定等于200×2；二是直觀模型多樣化，不利于體現分數除法運算的一致性，更無法體現分數、整數和小數除法運算的一致性。教師一般會按照教材和教學用書的要求，結合不同的現實情境，根據實際的意義解釋不同的分數除法的算理。然而，學生在學習過程中會存在一些疑惑，如：為什么不同的分數除法運用不同的直觀模型解釋算理？是不是每種分數除法的算理都不一樣？

結合具體情境，利用直觀圖式進行“分數除法”的教學是符合小學生形象思維發展的。但弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中提到：一味地依賴具體情境會使除法問題變得更加復雜。由于教材未能很好地展示從直觀的分數到算法的分數再到分數除法規則建立的過程，“分數除法”成了小學數學中的難點。

（二）回顧歷史，啟迪教學

從歷史的角度看，國內外都很少借用現實情境解釋“分數除法”的算理，大多是把計算問題進行數學化處理，用代數推理的方式演繹計算過程。如：

（二）教學反思

本內容教學以學生的已有認知為起點，引導學生從數學史中獲得教學啟示，打破日常教學方式，運用代數推理的方式進行教學，讓學生經歷從算法多樣化到算法優化的過程，突破分數除法算理理解的認知難點。

1.研讀歷史，直白引入，突破難點

“如何計算”并不是分數除法的教學難點，“為什么可以這樣計算”才是理解分數除法算理的教學難點，前測的結果也充分說明了這一點。前面的分析說明了利用具體情境結合直觀圖示教學并不能有效突破難點。歷史是教學的指南，在教學中引入數學史，并不是為了讓學生學習數學史，而是幫助教師在數學知識發展的歷史進程中獲得教育啟示，并進行課堂教學設計。筆者通過查閱史料，發現歷史中分數除法都是通過代數推理的方式闡明算理的。因此，本內容的教學重點應放在幫助學生利用代數推理理解分數除法的算理、破解教學的難點上。基于此，教學時直接以無背景的分數除以分數計算（（2／3）÷（3／4））為切入點，“逼迫”學生運用代數推理的方式解決問題。通過知識的聯結與遷移，學生利用代數推理探究出了多種解決問題的方法。

2.巧設教學，凸顯過程，方法多元

歷史發展的進程表明，代數推理在分數除法的計算中至關重要。如何喚起學生代數推理的思維，探究出分數除法的多種計算方法是教學的關鍵。本內容的教學通過復習整十數除法、小數除法的計算方法與計算原理，喚起學生對商不變規律及計數單位在運算中的本質作用的再認識，為分數除法運算做好了鋪墊；通過小組活動探究分數除法的多種計算方法，從而幫助學生理解分數除法的算理。

3.古今對照，理解算理，優化算法

讓學生穿越時空，與古人隔空進行思想交流與思維碰撞，不僅能激發他們學習數學的興趣，還能促使他們在古今方法的對比中自主優化算法。學生通過自主探究，得出8種不同的分數除法計算方法，與古人的算法大致相同。通過與歷史上算法的橫向比較，學生更好地理解了古今算法，并對探究出的方法進行了歸類，在歸類中深刻地理解了分數除法的算理；通過與歷史上算法的縱向對比，學生發現顛倒相乘法是多種算法中最簡便的一種，這也是人們最終選擇顛倒相乘法計算分數除法的原因。在對比中，學生從多到少、由繁入簡，不僅理解了算理、優化了算法，還在思考中感受到數學探究的樂趣，發現了人類思維的趨同性，增強了學習數學的自信心。

*本文系廣東省教育科學規劃2022年度一般課題“HPM視角下小學高年段數學文化育人的實踐研究”（課題編號：1156031）的研究成果。