基于有限時間算法的風機最大功率跟蹤控制

張正夫，郝萬君，吳 宇，曹 選

（1.蘇州科技大學 物理科學與技術學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學 電子與信息工程學院，江蘇 蘇州 215009）

近些年來，我國對經濟的高質量發展提出了更高的要求，結合“碳達峰、碳中和”的能源大背景，風電機組的裝機容量隨之不斷地增加。風電作為一種重要的清潔能源，在中國乃至世界的能源市場中的占比越來越高[1-2]。因此，國內外的科研人員開始廣泛關注風電機組運維的關鍵技術。由于當風速變化時，風力機的輸出功率也會隨之而變化，同時存在一個最優轉速能夠使風力機在該風速下輸出最大功率。因此，當風電機組運行在低風速區時，針對其最大功率點跟蹤（maximum power point tracking，MPPT）控制策略的研究具有重要意義[3]。但是隨著大型風力發電機組系統的復雜度不斷增加，各種擾動導致的不確定問題也在不斷增加。這使得傳統的控制方法應用在最大功率跟蹤控制問題上難以得到有效的結果，所以也就無法實現最大限度的風能捕獲，無法高效的利用風能[4-5]。為了解決實際應用中的問題，國內外研究人員進行了很多相關研究，設計了不同的非線性控制方法，來解決風機系統耦合性強、非線性化強的復雜問題。

文獻[6]將蟻群算法應用于風力機組電機速度控制中比例積分控制器的參數優化。該算法具有無需知道感應電機參數即可達到并找到最優參數的優點。但是該算法收斂速度較慢，而且容易陷入局部最優解。文獻[7]提出了一種改進的最大功率點跟蹤算法，即采用一種基于非線性狀態觀測器的復合低成本控制器來改善直流電壓跟蹤。該文獻提出的非線性魯棒控制器考慮了整個系統的動態特性和非線性行為，但未考慮環境的不確定性對系統的影響。文獻[8]提出了兩種基于最優分數高階快速終端滑模控制的變速風力機風能轉化最大化和機械負荷最小化的非線性控制方法。通過在最大化能量提取和最小化控制輸入之間建立折衷，實現了使用所提出方法的系統的最優條件。但是為了實現這一折衷，應該對風力渦輪機系統的行為進行精確建模。文獻[9]將模糊邏輯控制的自適應特性與PI 控制器結構的簡單性相結合，設計了自適應PI 控制系統，PI 控制器的參數由基于模糊控制器的監控系統，根據風電機組的運行狀態進行實時調整。有效地優化了DFIG 風電機組的性能，以達到最大功率點跟蹤。然而，由于系統的強非線性使得該控制策略很難保證系統有較強的魯棒性，無法很好地解決外界干擾和參數擾動的問題。文獻[10]考慮到非線性系統結構和參數的復雜性，采用自適應算法有效地抑制了參數不確定性和外部攝動，而不需要事先知道系統的上界信息。該控制器能夠實現有功功率和無功功率的平滑調節。文獻[11]提出了一種新的陰陽灰狼優化算法，該算法采用了陰陽對優化啟發下的合作與競爭平衡的思想，構造了一個同時具有狀態約束和控制約束的動態優化問題，建立了基于智能算法的非線性模型預測控制的完整框架，實現了高效收斂和全局最優。但是算法本質中的種群多樣性有待提高。

針對上述不同方法的缺陷，為了使得轉速跟蹤誤差進一步減小，轉速跟蹤精度進一步提高，風能捕獲效率進一步提升，文中提出了一種基于有限時間控制策略達到預設性能的控制方案。引入的新的時變約束函數，將原來的有限時間跟蹤控制問題轉化為具有跟蹤誤差延遲約束的問題[12]。增強了系統對未知參數和外界擾動的魯棒性。實驗設計了階躍突變風速的仿真實驗和基于真實數據的連續漸變風速的仿真實驗，通過對仿真結果的分析可以看出，設計的控制策略能夠有效消除系統的抖振現象，外界干擾與風速隨機變化時，能夠很好的追蹤最大功率點。

1 風力發電機組模型

1.1 空氣動力系統模型

風力渦輪機捕獲的氣動功率（轉子功率）Pr可表示為

其中R 是風電機組的風扇半徑；V 是有效風速；Cp（β，λ）是風機功率轉換效率，代表著風機從風能中獲取能量的能力；β 是槳距角；λ 是葉尖速比。葉尖速比的表達式如下

風力渦輪機的轉子的機械轉矩Ta為

其中，ωr為風輪轉子轉速；ρ 是空氣密度；Cp（β，λ）是風能利用系數，可用式（4）與式（5）計算[13]

其中λ 可由以下式子確定

1.2 傳動系統模型

如圖1 所示，風機的傳動系統是一種雙質量結構，它是由齒輪箱將高速軸與低速軸連接起來。根據圖1 可知，在轉子側，機械轉矩Ta以ωr的速度驅動風機的轉子旋轉。轉子上的制動功能由低速扭矩Tls提供。在發電機側，發電機轉矩由高速轉矩Ths驅動，而電磁轉矩Tg的作用是制動發電機。此外，連接高速軸與低速軸的齒輪箱能夠通過改變傳動比Ng來改變轉子轉速，進而改變發電機的轉速ωg。為了簡化系統的數學模型方便計算與仿真，可以將剛性軸的阻尼系數和扭轉系數忽略，此時系統簡化為一個單質量塊模型，其數學表達式[14]為

其中，J=Jr+Ng2Jg，Ng為齒輪箱的傳動比；Tg為發電機轉矩；Jr和Jg分別為低速軸和高速軸的轉動慣量。

針對式（6）進行控制分析。最后，發電機的輸出功率可以給出如下公式

1.3 風力發電機模型

該研究采用的是雙饋異步發電機，為了簡便計算，文中采用一階線性模型來表示其電磁部分[14]

其中，τg為轉矩系數；Tg，ref為發電機轉矩給定值。

2 風力機MPPT 有限時間預設性能軌跡跟蹤方法設計

2.1 風電系統的控制目標

當風速低于額定風速時，風電機組工作在低風速區，此時的主要控制目標是盡可能的捕獲風能。由于風輪的機械特性不同，這種控制方法可以根據風速的變化和葉尖速比的最優值確定。由式（4）可知，當Cp（β，λ）處于最大值時，風電系統捕獲的風能效率最高。而Cp（β，λ）是以λ 和β 為變量的函數，在槳距角β=0°，并且保持不變的情況下，風輪轉速ωr可以通過發電機轉矩Tg的調節而間接的改變，從而使其跟蹤最佳葉尖速比λopt的效果更好，進而得到最大風能利用系數Cp，max。根據研究可知，當β=0°，λ=λopt=8.13 時，Cp可以取得最大值[15]。

風力發電機根據風速的不同可以有三種基本的運行模式[16-17]，如圖2 所示，其中Vmin為接入風速，Vrated為額定風速，Vmax為最大風速。Prated是發電機的額定功率。當風速低于Vmin時，無法從風力中提取有效功率。在區域2 時，采取MPPT 控制，驅動渦輪機盡可能地從風力中提取能量，即當風速在Vmin和Vrated之間變化時，Pa應保持在其最優值Pamax。而在區域3時，控制器的主要任務是通過改變槳距角β 來保持發電機工作在功率額定值處，以避免風輪轉子超速，并確保整個風力發電系統的安全。

圖2 風力發電機組的工作區

文中考慮風機工作在區域2 時的控制任務。由式（1）定義風力機的最大功率提取值Pamax為

其中Cpmax為Cp的最優值，根據文獻[18]可知，槳距角β 始終設為0，系統需要保持在最優運行點λopt，以獲取風力的最大功率Pamax。回顧式（5）可知，ωr應隨風速的變化而變化，以求得最佳葉尖速比λopt，因此，最佳轉子轉速ωropt可表示為

由模型（6）可知，發電機等效電磁轉矩Tg可以改變轉子轉速的動態特性。因此，該研究的控制目標是通過設計合適的控制律Tg，使轉子轉速ωr跟蹤其最優估計值ωropt。

所以，需要定義跟蹤誤差為

因此，控制目標轉化為消除跟蹤誤差e。由于風速隨機變化，系統未知輸入擾動非零且不匹配，所以模型（6）提出了一個具有未知參考輸入和嚴重外部干擾的非線性不確定控制問題。

2.2 一階滑模控制器與比例積分微分控制器

一階滑模控制方法作為傳統的控制方法具有很多優勢，主要表現在魯棒性強，以及對外部擾動不敏感等方面[19]。同時，其特有的抖動問題也是滑模控制必須要面對與解決的問題之一。PID 控制作為最經典的控制方法之一，控制設計相對簡單，所以這里與一階滑模控制方法一起，直接給出其控制器的數學表達式，為后文的對比分析實驗做準備[20-21]。

根據式（11）定義的角速度跟蹤誤差e 為e＝ωr-ωropt，其中，ωropt為最優估計值。

所以PID 控制器的形式設計為

一階滑模控制器的形式設計為

其中，α 為一階滑模控制器參數，α=1；k 為指數趨近率參數。

2.3 有限時間預設性能控制器設計

2.3.1 時變約束函數設計

由于實際風電系統中，函數的初始值不能為無窮，所以將初始值設置為β0。基于預設定的時間T 和給定的精度ε，將時變約束函數β（t）構造為

需要注意的是變約束函數為單調遞減的函數，它的終值為精度ε。對時變約束函數β 求導可得

其中0＜T＜∞和0＜ε＜∞表示用戶指定的系統穩定的時間和系統的穩態跟蹤精度，p 是滿足2p＞n+1 的正整數，以確保β（i）（t）（i=0，1，2，…，n）的連續可微性，這里的n是系統的階數。

根據式（11）定義的跟蹤誤差e=ωr-ωropt。在區間t∈[0，T]上，β（t）從無窮單調遞減到ε，對于在區間t∈[T，∞]上，β（t）保持常數ε 不變。為了可以達到預期的MPPT 跟蹤目標，要滿足以下延遲跟蹤誤差約束

結合式（14）中給出的對標量函數β（t）的定義，可以從式（16）得到

其中t≥T。

即是，如果能確保式（16）是約束的，那么跟蹤誤差e 則可以在穩定時間T 內收斂到區域Ω={e∈R:｜e｜＜ε}中。式（4）中的約束邊界β（t）是與建立時間T 和跟蹤精度ε 有關的，這也將MPPT 的穩定性與跟蹤誤差約束問題聯系在了一起。約束邊界β（t）中的參數T 和ε 都可以由用戶自行設定，所以建立時間和跟蹤精度可以預先指定為系統的期望值。在系統設定的初始時間，約束邊界β（t）被設計為無窮大，這有助于實現設定時間之后的全局跟蹤效果。

2.3.2 跟蹤誤差變換

注意，現有的大多數約束控制方法只能處理約束邊界始終有界的情況（約束從系統運行開始就存在），這里式（4）中的延遲約束邊界在初始時間是無限的（它在初始時間是無約束的），因此需要開發新的約束控制方法。

根據式（11）定義

其中c＞0，β（t）-e 和β（t）+e 分別表示跟蹤誤差到約束邊界β（t）和-β（t）的距離。然后，基于函數r（t）構造一個新的復合函數h（r（t）），將r（t）的值映射到區間（0，1]，如下所示

其中，a＞0 是使用者可以自己設定的安全距離。此外，由于式（19）中的2p＞n+1，所以當k=1，2，…，n時，得到

由于公式（19）是一個分段函數，當r（t）＞a 時，h（r（t））=1，為常數；當0＜r（t）≤a 時，由前文可知，r（t）顯然為光滑函數，所以h（r（t））=1-（r（t）/a-1）2p也為光滑函數。所以函數h（r（t））在分段點a 的取值是否合適，是公式（19）這個分段函數在整個定義域上光滑的充分條件。當t＞T 時，從β（t）=ε 和式（18）中r（t）的定義可以看出r（t）≤cε2。在文中，選擇a=cε2，這個值只是其中一個可能的選項，但不是一個關鍵的選擇，是為了保證在t＞T時r（t）＜a。

為了進行控制設計，引入跟蹤誤差的轉換

可知，當且僅當e=0 時，z（t）=0；當e→β（t）或e→-β（t）時，z（t）→∞；以及當r（t）＞a 時，系統在安全區域內運行。結合式（19）可以看出，當h（r（t））=1，此時z（t）=e。在這種情況下，對跟蹤誤差e 沒有施加特殊的約束變換，從而避免了β（t）在初始時刻無限的現象。

2.3.3 有限時間預設性能控制器設計

在此小節中，針對式（6）所表示的模型與式（11）所定義的跟蹤目標，設計一種跟蹤控制率

其中x，u∈R，并且函數f（t，x）滿足式子｜f（t，x）｜≤δφ（x），其中δ≥0 是一個未知常數，φ（x）≥0 是一個已知的連續函數。

根據式（11）定義的跟蹤誤差e=ωr-ωropt，與式（21）的誤差變換公式，初始模型式（22）可以轉換為

其中

然后可以得到控制器公式為

其中B=-Ng/J。

3 仿真結果及分析

為驗證文中所提控制策略能否在風電機組上有效追蹤最大功率，該研究采用的研究對象模型是5 MW的風電機組，該模型是美國國家可再生能源實驗室（National Renewable Energy Laboratory，NREL）開發的，具體參數見表1。

表1 風電機組參數表

有限時間預設性能控制器參數c=1，a=0.1，p=1，T=1，ε=0.1，β0=1，k1=2。比例積分控制器的參數Kp=150 000、KI=10 000、KD=100 000；一階滑模控制器參數α=1；設計的指數趨近律參數為k=1。

為證明文中所提的控制策略的有效性和可行性，根據風速的不同變化形式，采取兩種不同的仿真方案：一種是階躍突變風速仿真；另一種是自然隨機風速仿真。通過對PID 控制、一階滑模控制和有限時間預設性能控制3 種控制策略進行仿真，橫向對比它們的控制性能。

3.1 階躍突變風速仿真

在此次實驗中，階躍突變風速設置為

圖3 為階躍突變風速下，Cp、λ、ωr的相應曲線。

圖3 階躍突變風速下的響應曲線

從圖3 中的“功率利用系數曲線”“葉尖速比相應曲線”可見，3 種控制方法得到的Cp和λ 都能滿足系統的基本要求。從圖3（a）跟蹤期望轉速圖中可以看出，3 種方法都可以快速、有效的控制轉子跟蹤最優轉速。但在風速階躍變化的瞬間，PID 控制產生了明顯的超調量，導致性能曲線抖動不夠平緩，容易對風力機的機械裝置帶來較大的壓力。一階滑模控制的超調量雖然比PID 控制小了很多，但相對于FTC 控制來說仍然比較明顯，尤其是在t=0 s，風速突變到8 m·s-1時，一階滑模控制的快速相應性能不夠，上升時間相對較長，損失了不少的控制質量。而文中使用的有限時間控制對每次風速的突變，可以進行十分迅速與準確的跟蹤。

3.2 連續漸變風速仿真

為了使仿真更加符合風力機運行的實際工作情況，針對自然隨機風速進行仿真，時間長度設置為100 s，風速的大小范圍為6.42～11.31 m·s-1，如圖4 所示。

圖4 自然隨機連續風速曲線

圖5 為隨機風速下Cp、λ 和ωr的相應的仿真實驗曲線。

圖5 自然隨機連續風速下的響應曲線

由圖5 可知，當風速為6.42～11.31 m·s-1時，3 種方法都能獲得較好的功率轉化系數和葉尖速比。其中，從圖5（b）中可計算出有限時間控制、比例積分微分控制和一階滑模控制的平均λ 分別為：8.112 7、8.104 7和7.646 7，所以當風速隨時間隨機變化時，有限時間控制策略能夠將系統的葉尖速比穩定的維持在最佳λ 值（8.13 左右）。為了將3 種控制策略的性能進行更直觀的對比，分別計算其跟蹤誤差絕對值的平均值AVG（｜e｜）、功率利用系數平均值AVG（Cp）以及轉矩曲線波動的標準差SYD（Tg），見表2。

表2 3 種方法的控制性能對比

從表2 中可知，3 種控制策略的AVG（｜e｜）分別為0.021 5、0.103 7 和0.067 3（由圖5（d ）計算得出）。因此，文中所提的控制策略能夠實現很好的誤差跟蹤效果。從表2 還看到，有限時間控制策略下的AVG（｜e｜）與AVG（Cp）的數值表現都比另外2 種控制策略要好。3 種控制策略的功率系數如圖5（a）所示，有限時間控制、PID 控制、一階滑模控制的AVG（Cp）分別為0.479 0、0.460 3 和0.471 7（由圖5（a）計算得出）。由此可知，有限時間控制策略的平均功率系數，相對于使用比例積分微分控制策略提高了4.06%，相對于使用一階滑模控制策略提高了1.55%。圖5（c）為發動機轉矩曲線，結合表2 可知，有限時間控制策略能夠使發電機的SYD（Tg）相對于一階滑模控制減小5.97%，說明文中提出的方法能夠很好地消除常規一階滑模控制策略的抖振現象。

4 結語

為了盡可能的提高大功率風力發電機組的能量轉換效率，抑制和減小發電機工作時的轉矩抖振現象，同時還要考慮外部環境的干擾以及風電機組在工作時系統的不確定性，文中設計了基于有限時間控制的最大功率跟蹤策略。

通過引入一種新的時變約束函數，將原來的有限時間跟蹤控制問題轉化為具有跟蹤誤差延遲約束的問題，優化了有限時間內預設性能的跟蹤控制性能。從仿真結果可以看出，文中提出的控制策略能夠在參數改變以及外部擾動存在的情況下使跟蹤誤差快速收斂，從而能夠更好地追蹤最大功率。研究發現，在降低傳動系統的瞬態負載的情況下，所提方法能夠有效應對風速的隨機變化，并且能夠追蹤最優功率，同時在抑制轉矩抖振和減少風力機載荷等方面優于常規的控制方法。