一個求解二維非線性時間分數階波動方程的向后歐拉差分格式*

張光輝

(宿州學院數學與統計學院,安徽 宿州 234000)

0 引言

由于能有效地描述物理、化學和控制工程等領域的許多現象,近幾十年來分數階常微分和偏微分方程在以上領域引起了廣泛的關注[1]。分數階偏微分方程是古典偏微分方程的推廣,研究者發現含有分數階的微分方程可以更加準確地來描述諸多領域中的自然現象[2-4],如時間和空間分數階擴散方程能夠解釋反常擴散和復雜系統的傳送動力學。對于分數階模型中的分數階擴散-波動方程解析解的求解非常困難,主要研究集中于數值解法的討論[5-8],但由于數值算法的研究起步相對較晚,求解多維非線性時間分數階微分方程的算法設計和理論都是一個難點.本文主要研究求解時間分數階非線性二維波動方程的數值方法.

u(x,y,t) = 0,(x,y,t)∈?Ω×(0,T),

(1)

Δ為二維Laplace算子,Ω=(0,L1)×(0,L2),?Ω為其邊界.g(u)為滿足Lipschtiz條件的非線性光滑函數,且g(0)=0.在式(1)中,如果u(x,y,0)=φ(x,y)≠0,ut(x,y,0)=ψ(x,y)≠0,則可由變換u(x,y,t)-φ(x,y)-tψ(x,y)將非齊次條件齊次化．

1 預備知識

引理1[9]式(1)和下面的式(2)等價．

u(x,y,t) = 0,(x,y,t)∈?Ω×(0,T),

(2)

在時間方向上,設:

Tτ={tn|tn=nτ,n=0,1,2,…,M}.

定義網格函數空間:

引入以下差分算子:

(3)

(4)

引理2[10]如果φ(t)是關于t的實值連續可微函數,φt(t)∈C1([0,T]),則式(3)的積分誤差有如下估計式:

(5)

其中tn∈[0,T],常數C不依賴于τ.

(6)

(7)

為敘述方便,記:

(8)

(9)

(10)

對任意的1≤i≤K1,1≤j≤K2,1≤n≤M成立,其中常數C不依賴于h1,h2,τ.

2 向后歐拉差分格式的建立

在(xi,yj,tn)(1≤i≤K1-1,1≤j≤K2-1,0≤n≤M-1)處考慮式(2),有:

(11)

由引理4可知

(12)

(13)

另外,記

(14)

(15)

將式(12)～(15)代入式(11),得對任意的1≤i≤K1-1,1≤j≤K2-1,0≤n≤M-1,

(16)

其中:

由引理2和引理4得,對任意的1≤i≤K1-1,1≤j≤K2-1,0≤n≤M-1,

(17)

(18)

(19)

3 數值算例

例1 考慮如下的時間分數階非線性波動方程

(20)

設式(20)具有式(1)所要求的齊次初邊值條件,其中右端源像

其中g(u)=u3.易知式(20)具有解析解u(x,y,t)=t2+αsin(πx)sin(πy).

先將式(20)轉化為等價的分數階積分-微分方程式

(21)

對于式(21),取T=1,h=h1=h2=0.001,分別取不同α,τ,用式(18)～(19)計算當t=tM=1時所得數值解的誤差和時間方向的收斂階．計算結果見表1．

表1 固定h=0.001時,式(18)～(19)在時間方向的誤差和收斂階

取T=1,τ=0.001,分別取不同α,h,用式(18)～(19)計算當t=TM=1時所得數值解的誤差和空間方向的收斂階．計算結果見表2．

表2 固定τ=0.001時,式(18)～(19)在空間方向的誤差和收斂階

4 結束語