寬帶噪聲激勵下含分數階時滯系統的隨機分岔*

盛正大,王媛,王慧男,王芳

(蘭州交通大學數理學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

Van der pol系統是一種常見于數學與物理研究領域且具有清晰的動力學特征的經典電路系統,學者們對該系統的隨機分岔行為進行了諸多研究. 例如,F.Moss等通過攝動分析研究了Van der pol 系統的線性穩定問題[1],結果表明分岔點相對于確定性的強度與噪聲強度成正比;Mathieu等利用多尺度展開方法對于隨機激勵下的Van der pol系統的分岔閾值進行了解析確定[2];Shinji Doi等利用算子的密度演化方法分析了Van der pol系統的隨機分岔[3];R. Mbakob Yonkeu等研究了指數相關噪聲激勵下的Van der pol系統的隨機分岔問題[4]. 在廣泛的應用和研究中,學者們發現時滯會對Van der pol系統產生明顯的影響,如時間延遲引起的震蕩、混沌和周期運動可能會導致工程的失敗[5-6],但恰當選取時滯參數可以提高對于系統的控制,因此在Van der pol非線性系統中補充時滯反饋具有重大意義. 王明芬研究了時滯Van der pol方程hopf分支的等價性[7];岳錫亭等考慮到電子震蕩的滯后性,在原有的研究成果上加入了時滯,并提出了含時滯項的Van der pol方程,研究了周期擾動下的含有時滯項Van der pol系統在特定的參數條件下產生的臨界分支,且證明了時滯項對振幅存在影響,但岳錫亭的研究僅僅局限在狹義Van der pol系統中[8-9]. 付守才等在文章中討論了時滯Van der pol系統的hopf分岔,提出了分支解穩定的參數條件[10]. M.M.Klosek利用多尺度方法對于帶有時滯的Van der pol系統進行了隨機分岔分析[11]. M. Gaudreault分析了在時滯參數較小時的隨機分岔閾值[12]. 可見學術界對于Van der pol系統的研究相對完善,但這些研究大多限于整數階非線性系統.相較于整數階,分數階的優勢在于擁有良好的記憶性,并且利用分數階微積分所建立的模型更加適用于真實世界,更符合現實存在的粘彈性阻尼、生物神經元等的物理特性[13-16]. 有關含分數階時滯反饋的Van der pol系統產生隨機分岔現象的研究還較欠缺. 因此本文研究了在寬帶噪聲的激勵下含分數階時滯耦合反饋的Van der pol系統的隨機P-分岔現象.

1 模型處理

研究寬帶噪聲激勵下含有分數階時滯負反饋的Van der pol系統:

(1)

(2)

ξ(t)為寬帶噪聲,功率譜密度如下:

(3)

設φ(t)=ωt+θ,令式(1)的解為

(4)

對式(4)進行計算,可得

(5)

(6)

(7)

將式(4) 和式(7)代入式(1)中,可得:

(8)

又從式(6)知

(9)

將式(9)代入式(8)中,可得

(10)

通過上述代換,式(1)可以用下面的微分方程表示:

(11)

2 平穩概率密度函數

將式(11)寫為如下形式:

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

故將Caputo形式的分數階微分Dαx(t)寫成雙積分形式

(17)

(18)

則式(18)滿足

(19)

將式(4)代入式(19)中

(20)

從式(20)解得:

(21)

其中c是根據初始條件ψ(y,0)=0來決定的,進一步將式(21)代入式(19)中得:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

根據式(24),式(25)和式(26)得如下It隨機微分方程:

(27)

W(t)是標準的維納過程,且da不依賴于θ,因此可得系統幅值的FPK方程:

(28)

其中:

(29)

(30)

其中C是歸一化常數.

3 仿真分析

3.1 時滯參數對隨機P-分岔的影響

設所添噪聲各系數值ζ=1,ω=0.9,ω1=0.3和噪聲強度D=0.1,固定所研究系統的參數值α1=1.51,α2=1.25,α3=1.25,α4=0.5,分數階α=0.3,選取時滯參數=0.01,繪制出相應的聯合概率密度函數圖(圖1(a)),及其俯視圖(圖1(b)),截面圖(圖1(c)),平穩概率密度函數圖(圖1(d)).

(a)聯合概率密度分布圖 (b)聯合概率密度俯視圖

(c)聯合概率密度截面圖 (d)平穩概率密度函數圖

(a)聯合概率密度分布圖 (b)聯合概率密度俯視圖

通過圖2可以得出,固定噪聲和系統的其他參數,僅改變時滯參數.當選取的=0.01,可在聯合概率密度函數圖中看到一個明顯的雙峰曲線.當時滯參數值增加為=0.2,可以從平穩概率密度函數中看到一個先遞增再遞減的單峰曲線.與此同時,聯合概率密度函數圖的峰形也發生了變化,由雙峰變為單峰.說明當固定其他參數不變,時滯值從0.01增加為0.2時,平穩概率密度峰值發生變化,出現單峰和雙峰之間的躍遷.

3.2 分數階α對隨機P-分岔的影響

(a)聯合概率密度分布圖 (b)聯合概率密度俯視圖

(c)聯合概率密度截面圖 (d)平穩概率密度函數圖

4 結論

研究表明在寬帶噪聲的激勵下,固定其他參數不變,僅改變時滯參數的大小,平穩PDF曲線會出現從雙峰到單峰的變化,系統產生了隨機P-分岔;而僅改變分數階階數,平穩PDF曲線同樣出現從雙峰到單峰的峰值變化,系統會隨著分數階的變化出現P-分岔現象.