PID 控制器參數(shù)的優(yōu)化整定方法

劉 寧 柴天佑

比例-積分-微分(Proportional-integral-derivative,PID)控制技術(shù)因其結(jié)構(gòu)簡單,使用方便而廣泛應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)過程,目前約95%的控制回路采用PID 控制技術(shù)[1-3].PID 控制器的性能取決于比例、積分和微分三個(gè)參數(shù).文獻(xiàn)[4]指出: “··· 沒有一種整定方法可以說是通用的或最優(yōu)的,迄今為止,我們?nèi)匀狈ψ銐虻闹R(shí)來確定一個(gè)通用且最優(yōu)的PID 控制器參數(shù)的整定方法.”因此PID 控制器參數(shù)整定方法一直是控制領(lǐng)域研究的重要方向.

目前工業(yè)領(lǐng)域廣泛采用的PID 控制器參數(shù)整定技術(shù)是Ziegler-Nichols (Z-N)法[5].Z-N 法采用可以反映被控對(duì)象動(dòng)態(tài)特性的臨界點(diǎn),即其Nyquist曲線穿越負(fù)實(shí)軸的 -180°相位點(diǎn)的增益K180和頻率ω180來設(shè)計(jì)PID 控制器參數(shù).Z-N 法使閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)階躍負(fù)載擾動(dòng)的響應(yīng)以1/4 的震蕩比衰減,得到基于臨界點(diǎn)增益和頻率的簡單的PID 參數(shù)整定規(guī)則.Z-N 法將PID 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在ω180點(diǎn)的頻率響應(yīng)調(diào)節(jié)為 -0.6-0.28j,在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下,獲得好的抗擾性.Z-N 法僅適用于時(shí)間常數(shù)較大的慢動(dòng)態(tài)工業(yè)過程[6-7].文獻(xiàn)[8-9]以給定的PID 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在ω180點(diǎn)的頻率響應(yīng)的幅值和相角為目標(biāo),從而提出了基于臨界點(diǎn)增益和頻率的PID 控制器參數(shù)整定規(guī)則.文獻(xiàn)[10-11] 采用被控對(duì)象在臨界點(diǎn)的頻率和增益建立積分滯后模型,文獻(xiàn)[12] 采用被控對(duì)象的穩(wěn)態(tài)增益與 -180°相位點(diǎn)的增益和頻率建立一階慣性滯后或二階欠阻尼滯后模型,文獻(xiàn)[13]采用被控對(duì)象的穩(wěn)態(tài)增益、-180°相位點(diǎn)的增益和頻率及該點(diǎn)Nyquist曲線的切角建立二階滯后模型,以期望的控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)為目標(biāo),提出了基于臨界點(diǎn)增益和頻率的PID 控制器參數(shù)整定方法.為提高PID 控制系統(tǒng)的性能和魯棒穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[14] 針對(duì)基于臨界點(diǎn)頻率和增益的被控對(duì)象模型,以PID 控制器的積分增益最大為優(yōu)化指標(biāo),以敏感度為約束,提出了基于臨界點(diǎn)頻率和增益的PID 控制器參數(shù)整定規(guī)則.但積分增益最大的優(yōu)化指標(biāo)只適用于平穩(wěn)的被控對(duì)象,當(dāng)負(fù)載擾動(dòng)頻繁波動(dòng)時(shí),不能減小跟蹤誤差[9].

上述PID 參數(shù)整定方法要求被控對(duì)象必須存在臨界點(diǎn).然而低階或相對(duì)階次較小、延時(shí)很小的被控對(duì)象不存在臨界點(diǎn).文獻(xiàn)[15-16]采用反映其動(dòng)態(tài)特性的 -120°相位點(diǎn)的增益K120和頻率ω120,以給定的PID 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在ω120點(diǎn)的頻率響應(yīng)的幅值和相角為目標(biāo),提出了PID 參數(shù)整定規(guī)則.針對(duì)離散被控對(duì)象,文獻(xiàn)[17-18]提出離散的Z-N 法.文獻(xiàn)[19]以給定的PID 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在ω180點(diǎn)的頻率響應(yīng)的幅值與相角為目標(biāo),提出基于臨界點(diǎn)的頻率和增益的離散PID 控制器參數(shù)整定方法.

上述PID 控制器參數(shù)整定方法的 -180°或-120°相位點(diǎn)的增益和頻率參數(shù)采用實(shí)驗(yàn)方法近似求取.當(dāng)被控對(duì)象模型已知時(shí),文獻(xiàn)[18,20] 提出臨界點(diǎn)增益和頻率的數(shù)學(xué)計(jì)算方法.文獻(xiàn)[18] 引入比例控制與被控對(duì)象組成閉環(huán)回路,通過臨界穩(wěn)定條件下閉環(huán)特征方程的根計(jì)算使閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的比例增益和對(duì)應(yīng)的頻率,得到臨界點(diǎn)的增益K180和頻率ω180.該方法只適合低階的被控對(duì)象.文獻(xiàn)[20]建立被控對(duì)象的相位等于 -180°的方程,采用Newton-Raphson 算法迭代求解該方程,計(jì)算臨界點(diǎn)的增益K180和頻率ω180.迭代算法時(shí)間長且存在計(jì)算誤差,相位點(diǎn)增益和頻率的求取誤差影響PID 控制系統(tǒng)的性能.

本文通過引入Tchebyshev 多項(xiàng)式和分?jǐn)?shù)階積分器,提出被控對(duì)象 -180°和 -120°相位點(diǎn)的頻率和增益的求取方法.為了獲得基于相位點(diǎn)頻率與增益的PID 參數(shù)優(yōu)化整定規(guī)則,本文基于被控對(duì)象指定相位點(diǎn)頻率和增益的積分滯后模型,以負(fù)載擾動(dòng)下跟蹤誤差的平方和(sum of squares of tracking errors,SSE)最小為優(yōu)化目標(biāo),以最大靈敏度和最大補(bǔ)靈敏度為約束,提出實(shí)現(xiàn)上述優(yōu)化性能指標(biāo)的基于被控對(duì)象相位點(diǎn)頻率和增益的PID 控制器參數(shù)整定規(guī)則.采用存在臨界點(diǎn)和不存在臨界點(diǎn)的被控對(duì)象的仿真和物理實(shí)驗(yàn),表明所提方法的優(yōu)越性.

1 被控對(duì)象模型

本文的被控對(duì)象為[18,20]:

其中,u(k)為被控對(duì)象的輸入,y(k)為被控對(duì)象的輸出,d為系統(tǒng)延時(shí),k=t/T0=0,1,2,··· 為離散的采樣時(shí)間,T0為采樣周期,A(z-1)和B(z-1)為關(guān)于z-1的多項(xiàng)式,即為:

其中,n表示系統(tǒng)階次.以上被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為:

本文考慮的被控對(duì)象包括兩類: 一類是頻率響應(yīng)經(jīng)過 -180°相位線(負(fù)實(shí)軸)的被控對(duì)象,稱為A 類被控對(duì)象,這類被控對(duì)象存在臨界點(diǎn),包括大多數(shù)存在延時(shí)的工業(yè)被控對(duì)象;一類是頻率響應(yīng)不經(jīng)過 -180°相位線但經(jīng)過 -120°相位線的被控對(duì)象,稱為B 類被控對(duì)象,這類被控對(duì)象不存在臨界點(diǎn).B 類被控對(duì)象主要包括穩(wěn)定的二階最小相位系統(tǒng)和很多相對(duì)階次小于3 的系統(tǒng)[15].

對(duì)于A 類被控對(duì)象,采用其 -180°相位點(diǎn)的數(shù)字頻率θ180和增益K180表征被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性,該點(diǎn)被稱為臨界點(diǎn)[14];對(duì)于B 類被控對(duì)象,采用其-120°相位點(diǎn)的數(shù)字頻率θ120和增益K120描述被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性[15-16].為統(tǒng)一描述兩類被控對(duì)象在指定相位點(diǎn)的頻率和增益的求取方法及PID 控制器參數(shù)的優(yōu)化,定義θφ和Kφ表示被控對(duì)象在指定相位點(diǎn)的頻率和增益:

若GP(z)為A 類被控對(duì)象,θφ和Kφ表示其-180°相位點(diǎn)的頻率和增益,即

若GP(z)為B 類被控對(duì)象,θφ和Kφ表示其-120°相位點(diǎn)的頻率和增益,即

1.1 -180° 和 -120° 相位點(diǎn)的頻率和增益的求取方法

本文引入Tchebyshev 多項(xiàng)式[21]和分?jǐn)?shù)階積分器[22]提出兩類被控對(duì)象的 -180°和 -120°相位點(diǎn)的數(shù)字頻率和增益的求取方法如下.引入分?jǐn)?shù)階積分器F(z),串聯(lián)B 類被控對(duì)象傳遞函數(shù)(4)使其頻率響應(yīng)穿越 -180°相位.對(duì)于A 類被控對(duì)象,F(z)=1.這樣可采用統(tǒng)一的方法求取兩類對(duì)象的頻率θφ和增益Kφ.引入Tchebyshev 多項(xiàng)式,將被控對(duì)象傳遞函數(shù)關(guān)于超越函數(shù) ejθ的高次冪的復(fù)雜的相位方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)變量u的方程,通過求解該方程即可得到被控對(duì)象傳遞函數(shù)的 -180°和 -120°相位點(diǎn)的數(shù)字頻率和增益.

定義傳遞函數(shù):

若GP(z)為A 類被控對(duì)象,令F(z)=1 ;若GP(z)為B 類被控對(duì)象,令F(z)為如下的分?jǐn)?shù)階積分器:

由文獻(xiàn)[15,23]知,以上分?jǐn)?shù)階積分器的相角始終為 -60°,即:

由于分?jǐn)?shù)階積分器(9)無法直接求解,采用連分式展開(Continued fraction expansion,CFE)技術(shù)[22]將其近似為整數(shù)階系統(tǒng)計(jì)算頻率響應(yīng):

其中,CFE{x}表示對(duì)x的連續(xù)分式展開,P(z)和Π(z)為關(guān)于z的多項(xiàng)式,m表示近似的階次,本文令m=5,由文獻(xiàn)[22]知P(z)和 Π (z)為:

其中,

其中,

采用近似分?jǐn)?shù)階積分器(11),H(z)可寫為:

通過引入F(z),對(duì)兩類被控對(duì)象,構(gòu)造的傳遞函數(shù)H(z)必與負(fù)實(shí)軸相交.

令

則單位圓上z可以寫為[21]:

隨著θ從0 到π,u在-1 到1 之間運(yùn)動(dòng).

由于

定義:

由文獻(xiàn)[21,24]知,cκ和sκ為關(guān)于u的第一類和第二類Tchebyshev 多項(xiàng)式.則zκ等于

采用如下的遞推公式可求得cκ(u)和sκ(u):

將式(19)代入式(14)可得β(u)和χ(u):

式中,Rβ(u),Tβ(u),Rχ(u),Tχ(u)分別為

H(z)可以寫為:

由于所求Kφ和θφ為H(z)的Nyquist 曲線與負(fù)實(shí)軸相交的第一個(gè)交點(diǎn)的增益和頻率,定義

則Kφ和uφ滿足如下的方程:

由式(29)知

或者

由于u的取值范圍為 [-1,1],且u=±1 對(duì)應(yīng)于θ=0 和θ=π,而θφ且θφπ,因此uφ滿足

由式(20)和(23)～(26)知,由于傳遞函數(shù)GP(z)和系數(shù)可知,式(35)和(36)所有系數(shù)已知.在H(z)的Nyquist 曲線上,可能存在多個(gè)虛部為0 的點(diǎn),而θφ為其中使 Re(H)＜0 的最小頻率.由式(15)知,u為關(guān)于θ的單調(diào)遞增函數(shù),因此uφ為(-1,1)區(qū)間內(nèi)使式(36)小于0 的式(35)的最小解.

由式(30)可得

將uφ代入式(28)可得 R e(H(uφ)),當(dāng)被控對(duì)象為A 類,由式(31)得

其中,

由式(31)得

其中,

1.2 基于指定相位點(diǎn)頻率和增益的被控對(duì)象模型

由1.1 節(jié)得到的兩類被控對(duì)象在 -180°相位點(diǎn)或 -120°相位點(diǎn)的頻率和增益建立積分滯后模型.為方便PID 控制器參數(shù)優(yōu)化指標(biāo)的設(shè)計(jì),將兩類被控對(duì)象的離散積分滯后模型統(tǒng)一描述為[11,25-26]:

其中,Kφ和θφ由式(5)～(7)給出,分別為 -180°或-120°相位點(diǎn)的增益和頻率.η決定了兩類被控對(duì)象的積分滯后模型的延時(shí)項(xiàng)的相位滯后,若GP為A類被控對(duì)象,η=2 ;若GP為B 類被控對(duì)象,η=6.

對(duì)于積分滯后模型(43),若GP(z)為A 類被控對(duì)象,在θ180點(diǎn),有

即積分滯后模型(43)與被控對(duì)象的傳遞函數(shù)(4)在θ180點(diǎn)的頻率響應(yīng)一致.同理,若GP(z)為B 類被控對(duì)象,在θ120點(diǎn),有

此時(shí)積分滯后模型(43)與被控對(duì)象的傳遞函數(shù)(4)在θ120點(diǎn)的頻率響應(yīng)一致.

采用基于指定相位點(diǎn)頻率和增益的積分滯后模型(43)的目的是設(shè)計(jì)優(yōu)化的PID 控制器參數(shù),式(43)不需要物理實(shí)現(xiàn),因此該模型不需要必須為有理真分式.

2 PID 控制器參數(shù)的優(yōu)化整定方法

2.1 PID 控制器參數(shù)的優(yōu)化整定策略

采用被控對(duì)象的積分滯后模型(43),以負(fù)載擾動(dòng)下跟蹤誤差的平方和最小作為優(yōu)化指標(biāo),閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度在1.2 到2 之間[14,27],最大補(bǔ)靈敏度在1 到1.5 之間[14,27],及PID 控制器的微分時(shí)間常數(shù)TD等于積分時(shí)間常數(shù)TI的四分之一[28]作為約束方程,求取基于被控對(duì)象指定相位點(diǎn)頻率和增益的PID 控制器參數(shù)整定規(guī)則.

首先利用負(fù)載擾動(dòng)的低頻特性,跟蹤誤差對(duì)負(fù)載擾動(dòng)的響應(yīng)主要取決于PID 控制器[27],得到負(fù)載擾動(dòng)下跟蹤誤差平方和的近似表達(dá)式.

為了使PID 控制器參數(shù)的選擇與被控對(duì)象指定相位點(diǎn)的頻率θφ和增益Kφ相聯(lián)系,引入?yún)?shù)ρK和ρT使KP=ρK/Kφ,TI=2πρT T0/θφ.采用序列二次規(guī)劃算法求解實(shí)現(xiàn)上述優(yōu)化指標(biāo)的基于θφ的ρK和ρT,從而建立基于被控對(duì)象指定相位點(diǎn)頻率和增益的PID 控制器參數(shù)優(yōu)化的整定規(guī)則.

2.2 PID 參數(shù)整定的優(yōu)化性能指標(biāo)

PID 控制器為:

其中,KP為PID 控制器的比例增益,TI和TD為積分時(shí)間常數(shù)和微分時(shí)間常數(shù),T0為采樣周期.上述PID 控制器的傳遞函數(shù)為:

在負(fù)載擾動(dòng)υ(k)下,被控對(duì)象模型(43)在PID控制下的閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖1 所示.其中ysp(k)為設(shè)定值,u(k)為被控對(duì)象輸入,y(k)為被控過程輸出,e(k)為跟蹤誤差,e(k)=ysp(k)-y(k).

圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of closed-loop control system

定義eυ(k)為擾動(dòng)信號(hào)υ(k)下的跟蹤誤差,即ysp(k)=0 時(shí),跟蹤誤差e(k)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)υ(k)的響應(yīng).擾動(dòng)υ(k)到跟蹤誤差e(k)的傳遞函數(shù)為

由于PID 控制器包含積分,因此上式中,

由于負(fù)載擾動(dòng)υ(k)通常是低頻的[27],由式(48)和(49)知,跟蹤誤差e(k)對(duì)負(fù)載擾動(dòng)υ(k)的響應(yīng)主要取決PID 控制器.因此擾動(dòng)υ(k)到跟蹤誤差e(k)的傳遞函數(shù)可近似表示為[27]:

在采用指定相位點(diǎn)頻率和增益的PID 控制器參數(shù)整定方法[5,8-12,14-18]中,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD可寫為關(guān)于指定相位點(diǎn)增益Kφ的倒數(shù)和周期Tφ(Tφ=2πT0/θφ)的線性表達(dá)式.因此本文為了使PID 控制器參數(shù)的選擇與被控對(duì)象在指定相位點(diǎn)的頻率θφ和增益Kφ相聯(lián)系,引入無量綱參數(shù)ρK和ρT,并利用約束方程TD=TI/4,將PID 控制器參數(shù)表示為:

將其代入式(50),得:

由文獻(xiàn)[29]知當(dāng)擾動(dòng)υ(k)為單位階躍信號(hào),則eυ(k)為:

其中Z-1為z逆變換.則閉環(huán)系統(tǒng)在單位階躍擾動(dòng)下的跟蹤誤差的平方和為:

上式中,Kφ只決定SSEυ指標(biāo)的值,不影響ρK和ρT的優(yōu)化解,因此選擇優(yōu)化指標(biāo)為:

以ρK和ρT為決策變量,式(58)為優(yōu)化指標(biāo)的PID 參數(shù)整定的優(yōu)化模型為:

式中Ms和Mt分別為閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度和最大補(bǔ)靈敏度,由文獻(xiàn)[14]知Ms和Mt分別為:

2.3 優(yōu)化PID 控制器參數(shù)的整定規(guī)則

由于式(58)和(65)中所采用的被控對(duì)象的數(shù)字頻率θφ的取值范圍為 (0,π),為了求出使J1最小的ρK和ρT,將θφ按間隔0.02 網(wǎng)格化,對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),使用序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming,SQP)算法[30]求性能指標(biāo)(59)最小的最優(yōu)解,圖2 和圖3 分別表示A 類被控對(duì)象與B類被控對(duì)象ρK和ρT的最優(yōu)解曲線.采用θφ和相應(yīng)的ρK與ρT的最優(yōu)解數(shù)據(jù)建立以θφ為輸入,相應(yīng)的ρK和ρT的最優(yōu)解為輸出的多項(xiàng)式.采用基于AIC(Akaike's information criterion)準(zhǔn)則的多項(xiàng)式階次確定方法[31]和最小二乘參數(shù)設(shè)計(jì)方法[32],得A 類被控對(duì)象和B 類被控對(duì)象使性能指標(biāo)(59)最小的ρK和ρT如式(66)～(69)所示.

圖2 A 類被控對(duì)象 ρK 和 ρT 的最優(yōu)解曲線Fig.2 Optimal solution curve of ρK and ρT of class A controlled object

圖3 B 類被控對(duì)象 ρK 和 ρT 的最優(yōu)解曲線Fig.3 Optimal solution curve of ρK and ρT of class B controlled object

A 類被控對(duì)象:

B 類被控對(duì)象:

由式(51)～(53)知,PID 控制器參數(shù)的整定規(guī)則為:

A 類被控對(duì)象Kφ=K180,θφ=θ180;B 類被控對(duì)象Kφ=K120,θφ=θ120.

PID 控制器參數(shù)整定算法如下:

1)采用第1.1 節(jié)的相位點(diǎn)頻率θφ和增益Kφ的求取方法,針對(duì)A 類對(duì)象求得θ180和K180,針對(duì)B類對(duì)象求得θ120和K120.

2)針對(duì)A 類對(duì)象由式(66)和(67)求ρK和ρT,針對(duì)B 類對(duì)象由式(68)和(69)求ρK和ρT,由式(70)～(72)求取PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD.

注 1.由文獻(xiàn)[33]的定理3.5 可知,若實(shí)際的被控對(duì)象傳遞函數(shù)(4)在單位圓外沒有極點(diǎn),且PID控制器設(shè)計(jì)模型(43)和實(shí)際的被控對(duì)象傳遞函數(shù)(4)的頻率響應(yīng)滿足

則采用優(yōu)化指標(biāo)(59)～(62)所提出的PID 控制器參數(shù)整定方法(66)～(72)所設(shè)計(jì)的PID 控制器可以使實(shí)際的被控對(duì)象閉環(huán)穩(wěn)定.

注 2.上述PID 參數(shù)優(yōu)化整定規(guī)則(式(66)～(72))的關(guān)鍵是求取被控對(duì)象的相位點(diǎn)參數(shù)Kφ和θφ.本文給出了被控對(duì)象模型已知時(shí)的計(jì)算方法,對(duì)于難以建立數(shù)學(xué)模型的被控對(duì)象,可采用階躍實(shí)驗(yàn)法獲得[5].

3 仿真實(shí)驗(yàn)

采用PID 控制器參數(shù)的離散Z-N 法[18]、不存在臨界點(diǎn)的被控對(duì)象的PID 整定方法[15]、Astrom 的PID 參數(shù)優(yōu)化方法[14]及抗干擾PID 整定方法[7]與本文的PID 優(yōu)化整定方法進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn).

例 1.采用文獻(xiàn)[18]的仿真模型:

系統(tǒng)采樣周期為T0=2 s.設(shè)定值ysp(t)為:

其中,δ=0,1,T為方波信號(hào)的周期,設(shè)T=800 s.負(fù)載擾動(dòng)υ(t)為:

采用文獻(xiàn)[18]的方法求得被控對(duì)象(74)的-180°相位點(diǎn)的增益K180和周期T180(T180=2πT0/θ180)為0.0596 和11.6027 (對(duì)應(yīng)θ180=1.0827),PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

采用本文方法求得被控對(duì)象(74)的 -180°相位點(diǎn)的增益K180和數(shù)字頻率θ180為0.0596 和1.0827,ρK和ρT為0.1698 和1.1320,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

采用文獻(xiàn)[18]方法與本文方法的設(shè)定值ysp(t)、被控對(duì)象輸出y(t)及輸入u(t)的曲線分別如圖4 和圖5 所示.采用下列誤差絕對(duì)值累積和(Sum of absolute error,SAE)[34]和均方誤差(Mean-square error,MSE)[35]對(duì)兩種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果如表1 所示.其中N=800.

表1 本文方法與Z-N 法下誤差 e (t)的性能評(píng)價(jià)Table 1 Performance evaluation of error e (t)with the proposed method and Z-N method

圖4 Z-N 法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.4 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with Z-N method

圖5 本文方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.5 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with the proposed method

由圖4、5 和表1 可以看出,雖然采用本文方法求取的模型(74)的 -180°相位點(diǎn)增益和周期與文獻(xiàn)[18] 方法相同,但控制效果明顯優(yōu)于Z-N 法,SAE 和MSE 分別降低了52.09%和42.80%.這是因?yàn)閆-N 法下閉環(huán)系統(tǒng)具有過大的最大靈敏度Ms和最大補(bǔ)靈敏度Mt,分別為4.81 和4.36,遠(yuǎn)超出Ms和Mt的理想范圍[14,27].本文方法的Ms和Mt為1.42 和1.00,因此在設(shè)定值和擾動(dòng)頻繁變化下本文方法使閉環(huán)系統(tǒng)保持好的動(dòng)態(tài)性能.

例 2.采用文獻(xiàn)[15]的B 類被控對(duì)象的仿真模型:

圖6 為以上被控對(duì)象的Nyquist 曲線,可以看到,其Nyquist 曲線不穿越負(fù)實(shí)軸.設(shè)定值ysp(t)為:

圖6 被控對(duì)象(81)的Nyquist 曲線(K120=2.26,ω120=224.25)Fig.6 Nyquist curve of controlled plant (81)(K120=2.26,ω120=224.25)

設(shè)δ=0,1,T=10 s.負(fù)載擾動(dòng)υ(t)為:

采用文獻(xiàn)[15] 的方法求得被控對(duì)象(81)的-120°相位點(diǎn)的增益K120和頻率ω120為2.3581 和232,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

設(shè)置采樣周期T0=0.001 s,將被控對(duì)象(81)離散化.采用本文方法求得其 -120°相位點(diǎn)的增益K120和頻率ω120為2.2856 和223.9,數(shù)字頻率θ120(θ120=ω120T0)為0.2239,ρK和ρT為0.5425 和0.3335,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

采用文獻(xiàn)[15]方法與本文方法的設(shè)定值ysp(t)、被控對(duì)象輸出y(t)及輸入u(t)的曲線分別如圖7 和圖8 所示.采用式(79)的SAE 和式(80)的MSE 對(duì)兩種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果如表2 所示,其中N=20 000.

表2 本文方法與文獻(xiàn)[15]方法下誤差 e (t)的性能評(píng)價(jià)Table 2 Performance evaluation of error e (t)with the proposed method and the method in reference [15]

圖7 文獻(xiàn)[15]方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.7 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with the method in reference [15]

圖8 本文方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.8 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with the proposed method

由圖7、8 和表2 可以看出,本文方法的控制效果優(yōu)于文獻(xiàn)[15]的方法,SAE 和MSE 分別降低了35.98%和40.79%.這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[15]方法-120°相位點(diǎn)的增益K120和頻率ω120是采用繼電反饋實(shí)驗(yàn)近似求取,與本文方法相比,存在較大的誤差.由圖6 知被控對(duì)象(81)的 -120°相位點(diǎn)的增益K120和頻率ω120為K120=2.26,ω120=224.25,文獻(xiàn)[15]方法的誤差為4.16%和3.34%,本文方法的誤差為1.12% 和0.16%.此外文獻(xiàn)[15]基于給定的PID 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的相角裕度的整定方法無法有效保證閉環(huán)系統(tǒng)的抗擾性[36].本文通過使負(fù)載擾動(dòng)下跟蹤誤差平方和最小,使得閉環(huán)系統(tǒng)具有強(qiáng)的抗擾能力.

例 3.采用文獻(xiàn)[14]的仿真模型:

設(shè)定值ysp(t)為

設(shè)δ=0,1,T=10 s.負(fù)載擾動(dòng)υ(t)為:

采用文獻(xiàn)[14]的方法得到被控對(duì)象(86)的穩(wěn)態(tài)增益K0為1,-180°相位點(diǎn)的增益K180和周期T180為0.0091 和0.199,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

其中λ=K180/K0.

設(shè)置采樣周期T0=0.01 s,將被控對(duì)象(86)離散化.采用本文方法求得其 -180°相位點(diǎn)的增益K180和周期T180為0.0135 和0.2003,數(shù)字頻率θ180(θ180=2πT0/T180)為0.3136,ρK和ρT為0.2989和0.7861,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為

采用文獻(xiàn)[14]方法與本文方法的設(shè)定值ysp(t)、被控對(duì)象輸出y(t)及輸入u(t)的曲線分別如圖9 和圖10 所示.采用式(79)的SAE 和式(80)的MSE 對(duì)兩種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果如表3 所示,其中N=2 000.

表3 本文方法與文獻(xiàn)[14]方法下誤差 e (t)的性能評(píng)價(jià)Table 3 Performance evaluation of error e (t)with the proposed method and the method in reference [14]

圖9 文獻(xiàn)[14]方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.9 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with the method in reference [14]

圖10 本文方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.10 Curves of set value ysp(t),output y(t)and input u (t)with the proposed method

由圖9、10 和表3 可以看出,本文方法的控制效果優(yōu)于文獻(xiàn)[14]的方法,SAE 和MSE 分別降低了19.21%和11.75%.這是因?yàn)锳strom 的PID 參數(shù)優(yōu)化方法使負(fù)載擾動(dòng)下跟蹤誤差的積分最小的優(yōu)化指標(biāo)只適用于平穩(wěn)的被控過程,當(dāng)負(fù)載擾動(dòng)頻繁變化,不能降低跟蹤誤差[9,27].本文的跟蹤誤差平方和最小的優(yōu)化指標(biāo)可以在負(fù)載擾動(dòng)頻繁變化時(shí)有效降低跟蹤誤差,使閉環(huán)系統(tǒng)具有好的跟蹤性能.

例 4.采用文獻(xiàn)[7]的仿真模型:

設(shè)定值ysp(t)為

設(shè)δ=0,1,T=800 s.負(fù)載擾動(dòng)υ(t)為:

采用文獻(xiàn)[7]的方法求得a0/b0=1,擾動(dòng)觀測(cè)帶寬ω0為0.356,控制帶寬ωc為0.58,調(diào)節(jié)參數(shù)α為0.5,得到PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

設(shè)置采樣周期T0=0.1 s,將被控對(duì)象(91)離散化.采用本文方法求得其 -180°相位點(diǎn)的增益K180和數(shù)字頻率θ180為0.6608 和0.0899,ρK和ρT為0.3622和0.6854,PID 控制器參數(shù)KP、TI和TD為:

采用文獻(xiàn)[7]方法與本文方法的設(shè)定值ysp(t)、被控對(duì)象輸出y(t)及輸入u(t)的曲線分別如圖11和圖12 所示.采用式(79)的SAE 和式(80)的MSE 對(duì)兩種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果如表4 所示,其中N=16 000.

表4 本文方法與文獻(xiàn)[7]方法下誤差 e (t)的性能評(píng)價(jià)Table 4 Performance evaluation of error e (t)with the proposed method and the method in reference [7]

圖11 文獻(xiàn)[7]方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.11 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with the method in reference [7]

圖12 本文方法的設(shè)定值 ysp(t)與輸出 y (t)及輸入 u (t)的曲線Fig.12 Curves of set value ysp(t),output y (t)and input u (t)with the proposed method

由圖11、12 和表4 可以看出,本文方法的控制效果優(yōu)于文獻(xiàn)[7]的方法,SAE 和MSE 分別降低了16.50%和5.64%.這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[7]設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器只能估計(jì)平穩(wěn)變化的擾動(dòng).在擾動(dòng)頻繁變化下,擾動(dòng)觀測(cè)器的觀測(cè)誤差影響PID 控制器的抗擾性能.

4 物理實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所提方法的有效性,以空氣流量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為對(duì)象進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖13 所示,由空氣流量系統(tǒng),監(jiān)控計(jì)算機(jī),西門子S7-300 PLC 控制系統(tǒng),檢測(cè)儀表和執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成.以冷風(fēng)機(jī)頻率為控制輸入,冷風(fēng)流量為輸出,令采樣周期T0=1 s,采集被控對(duì)象的輸入輸出數(shù)據(jù),辨識(shí)其ARX 模型如下:

圖13 空氣流量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.13 Air flow test system

設(shè)定值為:

設(shè)δ=0,1,2,3,T=5 min.

針對(duì)實(shí)際物理系統(tǒng),將本文方法與PID 控制器參數(shù)的離散Z-N 法[18]及Astrom 的PID 參數(shù)優(yōu)化方法[14]進(jìn)行比較.采用三種方法的PID 控制器參數(shù)如表5 所示.三種方法的設(shè)定值ysp(t)、被控對(duì)象的輸出(冷風(fēng)流量)y(t)及控制量(冷風(fēng)機(jī)頻率)u(t)的曲線如圖14～16 所示.可以看到,本文方法下,被控對(duì)象的輸出對(duì)設(shè)定值的跟蹤性能最好,跟蹤精度最高.采用式(79)的SAE 和式(80)的MSE 對(duì)三種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果如表6 所示,其中N=1 200.本文方法相對(duì)于Z-N 法,SAE 和MSE 分別降低76.33%和70.38%,相對(duì)于Astrom 方法SAE 和MSE 分別降低18.35%和9.76%,驗(yàn)證了所提方法的優(yōu)越性.

表5 三種整定方法下PID 控制器參數(shù)Table 5 PID controller parameters with three tuning methods

表6 三種方法下誤差 e (t)的性能評(píng)價(jià)Table 6 Performance evaluation of error e(t)with the three methods

圖14 Z-N 法的設(shè)定值 ysp(t)與冷風(fēng)流量 y (t)及冷風(fēng)機(jī)頻率 u (t)的曲線Fig.14 Curves of set value ysp(t),cold air flow y(t)and air cooler frequency u (t)with Z-N method

圖15 Astrom 優(yōu)化方法的設(shè)定值 ysp(t)與冷風(fēng)流量y(t)及冷風(fēng)機(jī)頻率 u (t)的曲線Fig.15 Curves of set value ysp(t),cold air flow y(t)and air cooler frequency u (t)with the optimization method proposed by Astrom

圖16 本文方法的設(shè)定值 ysp(t)與冷風(fēng)流量 y (t)及冷風(fēng)機(jī)頻率 u (t)的曲線Fig.16 Curves of set value ysp(t),cold air flow y(t)and air cooler frequency u (t)with the proposed method

5 結(jié)論

本文針對(duì)存在臨界點(diǎn)的A 類被控對(duì)象和不存在臨界點(diǎn)的B 類被控對(duì)象,提出了基于 -180°和-120°相位點(diǎn)的數(shù)字頻率和增益的一種新的PID 控制器參數(shù)優(yōu)化整定方法.該方法包括基于分?jǐn)?shù)階積分器和Tchebyshev 多項(xiàng)式求取被控對(duì)象 -180°或-120°相位點(diǎn)的頻率和增益的方法和以階躍負(fù)載擾動(dòng)下跟蹤誤差平方和最小為優(yōu)化指標(biāo),以閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度和最大補(bǔ)靈敏度為約束的PID 控制器參數(shù)優(yōu)化整定規(guī)則.仿真和物理實(shí)驗(yàn)表明所提PID 控制器參數(shù)整定方法的優(yōu)越性.