在探究中深化 在經歷中發展

［摘? 要］ 為了引導學生自主發現“最優”方案，教師以學生熟悉的情境為切入點，凸顯了數學學習的現實意義，有效地激發了學生的數學學習熱情。在解決問題的過程中，教師堅持“以生為主”，關注學生發展，鼓勵學生通過思考、分析、比較等數學活動逐漸優化思想，從而提煉出數學模型，以此提升學生解決實際問題的能力。

［關鍵詞］ 最優方案；學生發展；數學模型

作者簡介：呂慶華（1976-），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學與研究工作。

在“打電話”教學中，為了讓學生體會“最優”的價值，教師以解決實際問題為起點，通過有效的啟發和指導，鼓勵學生積極參與、積極探索，以此發展學生的數學思維，提升學生的數學建模能力。

一、教學實錄

1. 創設情境，引出問題

數學知識是抽象的、枯燥的，若在教學中只關注知識的講授，而不重視學生學習興趣的激發，這樣的數學課堂一定是乏味的、低效的。因此，在教學中，為了激發學生的數學學習興趣，讓學生更好地體驗生活中的數學味，教師在引出問題時常常會借助情境來淡化數學的抽象感和枯燥感，從而讓數學課堂煥發無限活力。

某日深夜，119指揮中心接到報警，某小區發生煤氣爆炸，需要緊急救援。因火勢蔓延較快，需要召集正在休息的15名隊員一同參與救援。（教師演示動畫）

師：如果你是隊長，你想用什么樣的方式通知其他隊員呢？

生1：微信或者QQ。

生2：電話。

生3：發短信。

生4：郵件。

……

師：非常好，大家知道得真多。火災發生在深夜，你認為哪種方式既快捷又方便，同時確保通知到每名隊員呢？

生齊聲答：打電話。

師：你們和隊長的想法不謀而合，他也選擇了同樣的方式。

師：想一想，如何打電話才更高效呢？

在引入階段，教師以“救援”為切入點，讓學生切身體會“高效”在生活中的價值，從而為后面的探究“最優”方案做好了鋪墊。同時，通過演示火災場景，讓學生切實感知火災的危害，從而培養安全用火、安全用電的好習慣。

2. 分析比較，探究“最優”

在探究“最優”的過程中學生大多需要經歷比較、分析、交流、爭論等過程，從而使解決問題的方案向“最優”轉化，以此提升解決問題的效率。

師：如果每打一個電話需要1分鐘，確保通知到每名隊員需要多少分鐘呢？

生5：如果逐一打，15個人需要15分鐘。

師：這個時間太長了，大家剛剛也看到了，火勢蔓延得很快，第一批救援人員只能控制火勢，很難迅速將火撲滅。現在大家必須幫隊長想一個更快的解決方案。（學生積極交流）

生6：可以大家一起打。

師：具體說說你的想法。

生6：可以將15人分成幾個小組，這樣隊長只要通知組長，組長再通知隊員就可以了。

師：很好的想法，如果將15人分為3組，這樣確保通知到每名隊員需要幾分鐘呢？（師生共同交流）

生7：這樣隊長打電話需要3分鐘，組長打電話需要4分鐘，所以一共需要7分鐘。

師：很好，采用分組的方法打只需要7分鐘，極大地提高了通知效率。誰來說一說，為什么這樣打會更省時呢？

生8：如果逐一打就只能1個人打，分組后是4個人一起打，打的人多了自然也就快了。

師：說得很好，抓住了問題的本質。確實，打的人越多也就越省時。

師：這樣分組后確實省時了，不過7分鐘對于救援來講還是動作太慢了，所以還需要對剛剛的打電話的形式進一步優化，你還有其他方案嗎？

生9：可以讓更多的人參與打電話。

師：具體怎么打呢？

生9：讓所有的人都參與進來，接到通知就立刻把消息傳遞出去。

師：大家想一想，這樣較前面的分組方案來比，哪個方案更快呢？

學生齊聲答：后面的方案更快。

師：誰來分析一下，為什么后面的會更快呢？

生10：只要知情人都打電話，這樣參與的人會越來越多，自然信息傳播得也越快。

師：確實是個不錯的想法，大家立了大功了。

這樣，通過對比分析發現，若只是1個人打電話將會浪費很多的救援時間，為此學生提出了新方法，即“知情人都打電話”，從而通過交流、分析使問題解決逐漸向“最優”方案轉化。

3. 優化思想，建構模型

在小學階段，學生的建模意識不強，究其原因主要是學生在小學數學課堂并未擺脫應試教學的束縛，教師在教學中依然以考試為價值定向，忽視了數學建模思想的滲透，使得學生在與數學溝通時出現了障礙，繼而影響了教師教學質量的提升和學生思維能力的開發。因此在教學中，教師應以學生熟悉的生活化的情境為切入點，充分調動學生參與學習的積極性，培養他們主動探究的好習慣，從而讓他們在經歷中更好地理解數學、理解教學，自然形成數學模型思想。

（1）模擬演示，體驗“最優”方案

師：想一想，改進方案后，需要多長時間呢？（學生沉思）

師：這個好像是有點復雜，現在我們一起模擬一下打電話的過程，你們愿意嗎？

學生齊聲答：愿意。（聽說要模擬演示，學生個個精神百倍）

師：很好。為了便于觀察現在我們來確定一下規則。首先15人站成一排，接到電話后就需要轉換身份，變為知情人，這時知情人請站在另外一排。

規則講好后，有些學生還并未完全理解，教師先選擇5個人表演，學生通過啟發、提醒弄明白了游戲規則。接下來教師選擇16人上臺表演，指定1人為隊長，其他學生為待通知的隊員。有了前面的演練，學生很快完成角色的轉換。

師：通過剛剛的實驗，請大家思考一下，2分鐘可以通知幾人？3分鐘可以通知幾人？4分鐘呢？

生11：2分鐘可以通知4人；3分鐘可以通知8人；4分鐘可以通知16人。

師：很好，通過上面的實驗你有什么發現呢？

生12：后一次通知的人數與知情人的人數相同。

生13：后一次知情人剛好是前一次知情人的2倍。

師：很好！通過剛剛的表演和推算，通知15人需要幾分鐘呢？

生齊聲答：4分鐘。

師：很好，這樣我們的方法進一步得到了優化，由原來的7分鐘縮短到了4分鐘。

（2）畫圖演示，抽象模型

師：剛剛我們是通過“游戲法”完成了方案的優化。游戲法雖然很直觀、很生動，不過它有很大的局限性，我們能否將剛剛的游戲過程換個形式來表達呢？

生14：可以用畫圖法。

師：很好，不過應該怎么“畫”呢？請以小組為單位，探究一下，如何畫最合理、最清晰。

學生以小組為單位積極交流，共同探究“最優”方案，幾分鐘后，有的小組已經完成了畫圖，教師選擇兩個有代表性的圖示讓學生上臺展示并講解。

師：結合圖形和講解，你是否理解了這兩種畫法具體表達的含義了？

學生齊聲答：理解了。

師：很好，兩種畫法你更喜歡哪個呢？

生15：我比較喜歡圖1的畫法，它與我們剛剛游戲的過程正好一致。

生16：我也喜歡圖1，清晰、直觀，更容易發現蘊含的規律。

生17：是的，圖2看得有些眼花繚亂。（生17補充）

師：看來大家意見很統一。確實，圖1表達得更加清晰，完美地呈現了一一對應關系，更易于理解和發現規律。

（3）探究規律，逐漸深化

師：利用畫圖法表達雖然直觀、簡潔，但是需要花費較多的時間，我們必須要找到一種更簡潔的方法來表達，想一想有沒有更好的方法呢？

生18：可以用算式來表達。

師：很好，現在我們結合圖1分析一下，看看我們能找到怎樣的數量關系呢？

師：第1分鐘開始的時候共有幾個人接到通知了呢？

生齊聲答：1人。

師：1分鐘結束后，變成了幾人呢？

生齊聲答：2人。

師：現在是原來的幾倍呢？（用算式表達）

生齊聲答：1×2倍。

師：第2分鐘結束后，接到通知的有幾人？

生齊聲答：4人。

師：現在是原來的幾倍呢？（用算式表達）

生19：1×2×2倍。

師：按照這樣的規律，4分鐘后，接到通知的共有多少人？又如何用算式表達呢？

生20：16人，算式為1×2×2×2×2。

師：想一想，這里面的“1”代表的是什么呢？（生沉思）

生21：代表第1個得到通知的人。

師：假如有4個人同時得到消息，你知道4分鐘后共有多少人收到通知嗎？

生22：就將算式中的“1”變成“4”，即4×2×2×2×2=64（人）。

師：真棒，看來大家已經弄清了問題的來龍去脈。

師：在實際打電話的過程中，為了確保“最優”方案的順利實施，我們需要注意什么呢？

生23：要提前設計好流程圖，確定好誰通知誰，這樣才能做到不重復、不遺漏。

師：說得非常好，大家想問題想得真周到。

在建構模型、探究規律的過程中，教師不惜花費大量的時間帶領學生親身體驗，并在親身體驗的過程中去抽象、去提煉、去優化，從而幫助學生認清了問題的實質，逐漸建構起“最優”模型。

4. 應用模型，穩固提升

練習是檢測學生實際掌握情況的必經之路，是引導學生感悟“學以致用”教學價值的有效手段，為此，教師有必要精心設計一些練習幫助學生來檢測知識、鞏固知識，從而深化理解，便于學生更好地認識知識，提升解題技能。

師：既然大家掌握了“最優”方案，并建立了數學模型，現在大家想不想嘗試用它來解決其他的實際問題呢？（經歷了剛剛的探究，學生信心滿滿，迫不及待地想去體驗一番）

問題1：某合唱團共有50人，在春節期間接到了一個緊急演出任務，團長若通過打電話的方式通知大家，每通知1人用時1分鐘，請問最少多長時間能夠通知完成？

有了前面的探究經驗，學生很快得到了答案。從學生的反饋來看，學生對列算式求解已經了如指掌了。為了進行有效的拓展和延伸，教師又鼓勵學生嘗試用其他形式來表示，在教師的引導下，學生又想到了應用表格法來表示，如表1。

通過表1，學生可以清晰地知道，若要通知16人到31人，需要5分鐘，若通知的人數是32人到63人，則需要6分鐘。

師：生活中類似的案例有很多，只要多觀察、多探究，就會發現數學的無限魅力。

在練習階段，學生熟練地應用模型解決了問題，為了有效拓展和延伸，在圖形法、算式法的基礎上，教師又指導學生應用表格法進一步體驗模型，感悟一一對應關系。

5. 總結歸納，認識升華

在完成相應的練習后，教師鼓勵學生進行總結歸納。教師耐心聽取學生的反饋，并進行總結、歸納和補充，內容如下。

（1）為了節省時間，提高通知效率，可以讓盡量多的人參與進來，例如在打電話通知時，讓每個知情人都參與打電話可以有效縮短通知時間。

（2）打電話所反映的數學實質是一一對應關系。

（3）有時候“最優”方案在生活中并不具備可操作性，因為在實際生活中，很難提前預設好這個一一對應關系，即使提前制定好流程圖，但是在實施過程中難免會遇到一些突發情況，這樣就會使這種對應關系發生中斷。不過，在現實生活中，研究打電話“最優”方案所建構的數學模型卻有著廣泛的應用價值，例如在認識和理解細胞分裂、傳染病擴散等現實問題時，往往需要這類模型。

通過總結、歸納、反思，教師帶領學生回顧模型，不僅使打電話的數學實質變得更加清晰，而且也讓學生對模型有了更清晰的認識。同時，教師通過有效的補充，讓學生體會到“最優”不一定是“最實用”的，應根據實際情況靈活應用“最優”方案。

二、教學反思

在教學中，教師以學生的認知為起點，借助生活情境引導學生在解決實際問題的過程中更好地認識數學、理解數學，使數學課堂既有濃厚的生活味，又不缺失厚重的數學味，整個教學過程自然、和諧。以上教學過程有以下兩個亮點。

第一，重難點突出。整個過程緊緊圍繞“最優”方案展開，學生憑借已有經驗給出了“逐一打”和“分組打”兩個方案后，教師又啟發和引導學生對方案進行比較分析，從而聯想到讓更多的人參與進來。這樣看似平淡無奇的過程，卻激發了學生探究數學的熱情，讓學生在探究“最優”的過程中發現了最本質的東西，最終建構起了數學模型，順利突破了教學難點。

第二，關注學生發展。在教學過程中，教師借助生活情境，激發了學生探究“最優”的迫切感、責任感和積極性。整個過程教師“以生為主”，通過“表演—畫圖—列式—建表”的過程，逐漸引導學生完成了模型的提煉。在此過程中，學生積累了數學活動經驗，培養了數學學習熱情，提升了數學思維能力。

總之，教師在備課時應該深思熟慮，既要尊重課堂生成，又要做好引導，促使學生有效提升數學思維能力，培養數學思維習慣，建立情感價值觀念。