注重基礎 提高綜合實踐應用能力

廣東省惠州市華羅庚中學(516005) 袁東升

黨的二十大報告指出,落實立德樹人根本任務,培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設者和接班人.新高考要能順應形勢發(fā)展的需要,加強學生綜合素質(zhì)的培養(yǎng),進一步提高學生的學習能力和實踐能力.

2023 年的高考數(shù)學,全面考查了學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析的數(shù)學核心素養(yǎng),突出了對基礎知識、基本概念的深入理解與靈活掌握,注重考查學科及學科間知識的綜合實踐應用能力,落實中國高考評價體系中“四翼”的考查要求[1],進一步考查理性思維,充分發(fā)揮了數(shù)學學科在人才選拔中的重要作用.

一、注重基礎

2023 年的高考數(shù)學試題,進一步突出了基礎性的要求,強化了對基礎知識的考查.學生對基礎知識的理解,基本能力的發(fā)展,以及基本態(tài)度和價值觀的養(yǎng)成,一起構(gòu)成了學生未來發(fā)展,乃至終身發(fā)展的基礎,這也是增強基礎性的主要方向[2].

基礎性,不僅包括學科內(nèi)容的基本性,還包括學科內(nèi)容的通用性.深化基礎性就是要加強對基本概念,基本原理,基本方法的考查,引導學生重視基礎,并將所學的知識內(nèi)化為能力與素養(yǎng)[3].基礎性在考查中表現(xiàn)為深刻理解基礎知識,掌握基本技能,學會實際應用.要求考生能比較深刻地理解基本概念與基本原理,能整體把握學科研究的對象,研究內(nèi)容與研究方法等[1].

高考數(shù)學試題的選擇填空題部分,均設置了多個知識點,全面考查了集合、復數(shù)、平面向量、排列組合、三角函數(shù)、立體幾何、直線與圓等內(nèi)容,基本實現(xiàn)了對基礎知識的全方位覆蓋.

例1(2023 年高考新課標Ⅰ卷第4 題)設函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是()

A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)

解析本題主要考查指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性.要求學生熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì),尤其是函數(shù)單調(diào)性的知識.同時,要求學生明確復合函數(shù)單調(diào)性的判斷及求解方法,清楚是由哪幾種函數(shù)復合而來,以及如何判斷復合后函數(shù)的單調(diào)性.此外,本題還考查了二次函數(shù)的基礎知識,包括函數(shù)圖像的開口方向,對稱軸,以及單調(diào)性.如果學生在平時注重這些基礎知識的學習與掌握,解決此類題型相對還是比較輕松的.

解函數(shù)f(x)=2x(x-a)可看成是由函數(shù)y(u)=2u與函數(shù)u(x)=x(x-a) 復合而成.由于復合后的函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,而y(u)=2u在R 上單調(diào)遞增,則有函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.因此解得a≥2.所以a的取值范圍是[2,+∞).故選D.

例2(2023 年高考新課標Ⅰ卷第9 題)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,···,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則()

A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,···,x6的平均數(shù)

B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,···,x6的中位數(shù)

C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于x1,x2,···,x6的標準差

D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,···,x6的極差

解析本題考查統(tǒng)計抽樣中樣本的基本數(shù)字特征,考查學生對樣本平均數(shù),中位數(shù),標準差,極差等概念的理解與掌握的情況,同時考查學生分析問題與解決問題的能力.本題注重試題的基礎性,重在考查學生對基礎概念的理解與掌握,將基礎知識的考查與能力的考查有機結(jié)合在一起.

解選項A:設x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為m,x1,x2,···,x6的平均數(shù)為n,則

因為無法確定2(x1+x6) 與x5+x2+x3+x4的大小關系,從而無法判斷m,n的大小.故A 錯.選項B:不妨設x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,可知x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,···,x6的中位數(shù)均為故B 正確.選項C:因為x1是最小值,x6是最大值,則x2,x3,x4,x5的波動性不大于x1,x2,···,x6的波動性,即x2,x3,x4,x5的標準差不大于x1,x2,···,x6的標準差.故C 錯.選項D:不妨設x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,則x6-x1≥x5-x2,當且僅當x1=x2,x5=x6時,等號成立.故D 正確.故選BD.

例3(2023 年高考甲卷理科第17 題)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=1,2Sn=nan.

(1)求{an}的通項公式;

解析本題全面考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,通項公式,前n項和的求解等知識,都屬于基礎性考查.其中第一小問通過數(shù)列前n項和與通項之間的關系,求解數(shù)列的通項公式;第二小問則通過構(gòu)造一個新數(shù)列,考查數(shù)列錯位相減法求前n項和,重在考查學生的數(shù)學運算能力與理性思維素養(yǎng).這類考查內(nèi)容相對簡單,非常基礎,但要注意保證運算的正確性.

解(1) 因為2Sn=nan,當n=1 時,2a1=a1,即a1=0,當n=3 時,2(1+a3)=3a3,即a3=2,當n≥2時,2Sn-1=(n-1)an-1,所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,化簡得(n-2)an=(n-1)an-1,當n≥3 時,即an=n-1,當n=1,2,3 時都滿足上式,所以an=n-1,n∈N*.

兩式相減得

反思與策略今年是新教材、新高考、新課標背景下的第二年高考,試題中沒有出現(xiàn)怪題,也沒有出現(xiàn)偏題,甚至不回避老師們反復強調(diào)的“必考題”.考生感覺題型熟悉,考的基礎,給人一種看似簡單,但做起來卻往往需要花費較多時間去計算.學生們在備考過程中應注重對基礎知識的學習和理解.通過系統(tǒng)性學習數(shù)學的基本概念、公式和定理,建立起扎實的數(shù)學基礎.同時,平時要不斷加強演練,針對某類題型反復操練,提高運算能力,達到熟能生巧,保證做到在有限的時間內(nèi)能快速而準確地完成試題,拿到高分,更好地應對高考數(shù)學的挑戰(zhàn).

二、提高綜合實踐應用能力

2023 年的高考數(shù)學,在注重考查基礎知識的同時,彰顯了綜合實踐應用的要求.綜合性是高考中重要的考查要求.它要求考生面對復雜的問題情境時,能梳理相關的知識與原理,綜合運用知識、能力和素養(yǎng),去合理地解決問題[1].

高考試題常常會將學科內(nèi)不同章節(jié)的知識點,甚至是跨學科的知識融合在一道題目里面,考查學生綜合運用知識解決問題的能力.高考試題還可以通過創(chuàng)設實際的應用情境,將生活中司空見慣的現(xiàn)象,考生們曾經(jīng)歷過的事,曾參加過的比賽活動等,經(jīng)簡化提煉后直接作為題設的背景,需要考生根據(jù)所學的基礎知識,融匯貫通地靈活運用.進一步考查考生綜合實踐應用的能力,考查考生思維的靈活性與創(chuàng)造性,考查考生在現(xiàn)實情境下運用數(shù)學知識分析解決實際問題的能力.

例4(2023 年高考乙卷理科第10 題) 已知等差數(shù)列{an} 的公差為,集合S={cosan|n∈N*},若S={a,b},則ab=()

解析這是一道綜合題,它融合了集合、數(shù)列、三角函數(shù)等章節(jié)的知識,考查了集合的概念、等差數(shù)列的通項、三角函數(shù)的周期性等內(nèi)容.考生根據(jù)所學的知識,在清楚理解題意的情況下,根據(jù)給定的等差數(shù)列,寫出通項公式,再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及題設給定的集合S只有兩個元素進行分析作答.當然也可借助數(shù)形結(jié)合的方法進行求解.

解依題易得等差數(shù)列{an}中,an=a1+(n-1)·=顯然函數(shù)y=的周期為3,而n ∈N*,即cos an最多有3 個不同取值,又{cos an|n ∈N*}={a,b},則在cos a1,cos a2,cos a3中,cos a1=cos a2?= cos a3或cos a1?= cos a2=cos a3,于是有即有=2kπ,k ∈Z,解得k ∈Z,所以

例5(2023 年高考新課標Ⅰ卷第10 題)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級其中常數(shù)p0(p0＞0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級.

聲源與聲源的距離/M 聲壓級/dB燃油汽車10 60 ～90混合動力汽車10 50 ～60電動汽車10 40

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m 處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則()

A.p1≥p2B.p2＞10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2

解析本題通過對聲壓級的研究,全面考查對數(shù)及其運算的基礎知識.根據(jù)給定的聲壓級公式,我們發(fā)現(xiàn)聲壓級增加20 分貝,聲音強度增加到原來的10 倍.需要考生在理解題意的基礎上,正確運用對數(shù)函數(shù),對數(shù)運算法則等知識去分析解決問題.題目比較綜合,進一步考查學生的綜合應用能力.

解由題意可知:Lp1∈[60,90],Lp2∈[50,60],Lp3=40.選項A:可得Lp1-Lp2=因為Lp1≥Lp2,則Lp1-Lp2=即≥0,所以且p1,p2＞0,可得p1≥p2,故A 正確.選項B:可得Lp2-Lp3=因為Lp2-Lp3=Lp2-40 ≥10,則且p2,p3＞0,可得當且僅當Lp2=50 時,等號成立,故B 錯誤.選項C:因為可得即p3=100p0,故C 正確.選項D:由選項A 可知:Lp1-Lp2=且Lp1-Lp2≤90-50=40,則即可得且p1,p2＞0,所以p1≤100p2,故D 正確.故選ACD.

例6(2023 年高考新課標ⅠⅠ卷第12 題)在信道內(nèi)傳輸0,1 信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0 時,收到1 的概率為α(0 ＜α＜1),收到0 的概率為1-α;發(fā)送1 時,收到0 的概率為β(0 ＜β＜1),收到1 的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1 次,三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3 次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)()

A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到l,0,1 的概率為(1-α)(1-β)2

B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1 概率為β(1-β)2

C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1 的概率為β(1-β)2+(1-β)3

D.當0 ＜α＜0.5 時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0 的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0 的概率

解析本題將現(xiàn)實通信中的信號傳輸作為情境,考查考生對獨立事件、互斥事件的概率計算,考查二項分布及其應用.試題設置了傳輸信號0 和1 時的誤碼率,設計了兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸,依次研究各種傳輸方式得到正確信號的概率.各個選項是在同一條件下進行的推理和計算,可以相互啟發(fā)和借鑒.利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和,相互獨立事件的積是解題的關鍵.試題考查考生對新概念、新知識的理解和探究能力,考查考生利用所學的數(shù)學知識解決實際問題的綜合應用能力.

解選項A:依次發(fā)送1,0,1,則依次收到l,0,1 的事件是發(fā)送1 接收1、發(fā)送0 接收0、發(fā)送1 接收1 的3 個事件的積,它們相互獨立,所以所求概率為(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,故A 正確.選項B:三次傳輸,發(fā)送1,相當于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到l,0,1 的事件,是發(fā)送1 接收1、發(fā)送1 接收0、發(fā)送1 接收1 的3 個事件的積,它們相互獨立,所以所求概率為(1-β)·β·(1-β)=β(1-β)2,故B 正確.選項C:三次傳輸,發(fā)送1,則譯碼為1 的事件是依次收到1,1,0;1,0,1;0,1,1 和1,1,1 的事件和,它們互斥,由選項B 知,所以所求的概率為故C 錯誤.選項D:由選項C 知,三次傳輸,發(fā)送0,則譯碼為0 的概率P=(1-α)2(1+2α),單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0 的概率P′=1-α,而0 ＜α＜0.5,因此P-P′=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)＞0,即P＞P′,故D 正確.故選ABD.

例7(2023 年高考新課標Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3) 已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P((Xi=1))=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,···,n,則記前n次(即從第1 次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).

解析本題以考生比較熟悉的籃球投籃活動作為情境,設計新穎巧妙,將概率問題很自然地融入到兩人的連續(xù)投籃練習中.它將事件的分解、概率的加法與乘法公式、等比數(shù)列的構(gòu)造及數(shù)列前n項和的求解等知識有機地融合在一起,綜合考查考生的邏輯思維能力,考查考生對實際問題的分析轉(zhuǎn)化能力.本題的設計非常貼近生活,能較好地激發(fā)學生對籃球運動的興趣,引發(fā)學生思考運動中的概率問題,隱含地告訴學生數(shù)學在生活中是無處不在的,要學會用數(shù)學知識去分析解決現(xiàn)實生活中的實際問題.

解(1)用Ai表示“第i次投籃的人是甲”,用Bi表示“第i次投籃的人是乙”.則有

(2)設P(Ai)=pi,依題可知P(Bi)=1-pi,則

即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2,構(gòu)造等比數(shù)列{pi+λ},設pi+1+λ=(pi+λ),解得則是首項為,公比為的等比數(shù)列,即即

反思與策略注重基礎知識的學習是提高綜合實踐應用能力的關鍵.高考數(shù)學試題往往涉及到學科內(nèi)多個主題知識點,甚至是跨學科知識點的綜合應用,而這些知識點的掌握離不開對基礎知識的扎實掌握.因此,學生在備考過程一定要重視對基礎知識的學習和理解,提高綜合實踐應用能力.

第一,建立良好的數(shù)學思維習慣.數(shù)學思維是培養(yǎng)學生綜合應用能力的基石.教師要積極引導學生培養(yǎng)邏輯思維、抽象思維和創(chuàng)造性思維能力,循序漸進,通過求解簡單基礎的題目,經(jīng)過對題設條件的不斷變形、演繹與擴充,逐步引導學生去嘗試解決復雜的數(shù)學問題,培養(yǎng)學生的分析和推理能力.同時,教師要引導鼓勵學生學會從多個角度思考問題,用多種方法去解決問題,培養(yǎng)學生思維的靈活性與創(chuàng)新性.

第二,積極開展綜合性實踐活動,培養(yǎng)數(shù)學建模能力.綜合性實踐活動可以幫助學生將學到的數(shù)學知識應用到實際情境中,提高他們的綜合應用能力.數(shù)學建模是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,通過數(shù)學方法進行分析和求解的過程.實際問題的求解往往要綜合數(shù)學學科內(nèi)多個章節(jié)的知識,甚至涉及到跨學科知識的應用.

教師要指導學生積極開展綜合實踐活動,參與研究性課題學習.現(xiàn)行教材里面有大量的閱讀材料、應用問題、實習作業(yè)以及研究性學習課題,供學生實踐研究,以期能更有效地培養(yǎng)學生的興趣,增強探究意識,解決現(xiàn)實生活中的一些問題[4].當我們在教學或復習完相關章節(jié)或知識點后,可以相應地布置一些類似表1 所示的研究性課題,讓學生進行課外擴展提升.

表1 研究性學習參考課題

此外,我們還可以通過組織開展數(shù)學建模類的比賽、實驗探究、實地調(diào)研等活動,讓學生親身參與到實際問題的解決過程,學會將抽象問題具體化,將實際問題數(shù)學化,通過建立相應的數(shù)學模型來描述、分析與解決問題,進一步提高他們的綜合實踐應用能力.

三、小結(jié)

總之,高考數(shù)學試題落實黨的二十大精神,全面貫徹黨的教育方針,落實立德樹人根本任務,根據(jù)高考內(nèi)容改革的要求,深化基礎性與綜合性[1].教師要認真引導學生牢固掌握基礎知識,培養(yǎng)學生良好的解題思路與方法,學會分析問題,解決問題,提高綜合實踐應用能力,爭取在考場上取得更好的成績.