基于知識交匯的高中數學命題新視角
——圓錐曲線翻折問題

華南師范大學數學科學學院(510631)葉珊

華南師范大學附屬中學(510630)陳俊陽

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》強調提高學生綜合運用知識解決問題的能力,關注數學內容主線之間的關聯,理解數學各分支之間的聯系,能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯,考查內容強調強調基礎性、綜合性[1].對此,《中國高考評價體系》要求綜合性題目不僅針對學科內容,還包括情境的復雜性,要求以多項相互關聯的活動組成的復雜情境作為載體,能夠反映學科知識、能力內部的整合及其綜合運用[2].新高考在新課標和中國高考評價體系的指引下,加強對主干知識、思想方法、關鍵能力的考查,注重考查內容的全面性.在突出主干、重點內容考查的同時,強調通性通法的綜合應用,并通過呈現綜合性較強的問題與新穎、較為復雜的情境,充分考查學生探究能力、創新精神、數學素養與思維品質[3].

為了加強教考銜接,在新高考試題的引導下,教師在日常教學中應對作業題、練習題減量提質,重視對試題的創新設計,減少套路性強、技巧性強的陳題,而應突出主干知識、重點內容考查、強調知識之間的內在聯系,創設新穎、復雜的情境.

平面幾何與立體幾何密切相關,當今試題較多考查建立空間直角坐標系利用空間向量解決二面角問題,套路較為固定.為了充分考查學生幾何問題解析化的思想,在空間直角坐標系中利用解析幾何方法解決立體幾何問題的能力以及關鍵能力與核心素養,本文創設新穎與陌生的問題情境,將平面直角坐標系中圓錐曲線進行翻折,形成立體幾何圖形,通過不同維度的變式探究,設計一系列的創新試題.

2 圓錐曲線翻折的創新試題設計

2.1 斜率問題

例1橢圓C:過原點O的直線交C于A,B兩點,直線AB的斜率為tanα,現將坐標平面沿x軸折成一個直二面角,求AB連線與x軸所成銳角θ的正切值.

圖1

解過A點作AD⊥x軸交x軸于點D,過B點作BE//x軸交橢圓于點E,連接DE.點A,E關于x軸對稱,所以|AD|=|ED|,且AD,ED均垂直于x軸,坐標平面折成直二面角后,∠ADE=90°,故AD⊥BE.

由于BE//x軸,所以BE⊥DE,于是BE⊥AE.在RtΔABE中,|BE|=2|OA|cosα.

在RtΔADE和RtΔOAD中,

于是

例2橢圓C:過橢圓C的左焦點F的直線交C于A,B兩點,直線AB的斜率為tanα,現將坐標平面沿x軸折成一個直二面角,求AB連線與x軸所成銳角θ的正切值.

解如圖2,過A點作AD⊥x軸交x軸于點D,過B點作BE平行于x軸的直線交AD延長線于點E.AD,ED均垂直于x軸,坐標平面折成直二面角后,∠ADE=90°,故AD⊥BE.

圖2

由于BE//x軸,所以BE⊥DE,于是BE⊥AE.由焦半徑公式,

則

在RtΔABE中,|BE|=(|AF|+|BF|)cosα.在RtΔADE和RtΔOAD中,

于是

評析例1、例2 通過翻折平面上的橢圓,分別在AB過坐標原點與焦點的前提下,考查了橢圓焦半徑公式、線面垂直、面面垂直、斜率與線面所成角等知識點.

2.2 線段問題

母題1橢圓C:P為C上一點,F1,F2分別是C的左右焦點,求ΔPF1F2的周長.

例3橢圓C:(a＞b＞0),P為C上一點,F1,F2分別是C的左右焦點,現將坐標平面沿y軸折成一個直二面角,連接PF1,PF2,求|||PF1|2±|PF2|2||的范圍.

解如圖3,取橢圓C的上頂點為A,以橢圓的中心O為坐標原點,分別以為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標系.F1(0,0,c),F2(c,0,0),不妨設點P位于OAF2上(當點P位于OAF1上,由于對稱性,結果與點P位于OAF2上相同),則P(x,y,0),x∈[0,a].

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

故|PF1|2-|PF2|2=2cx,由于x∈[0,a],則

由于c＜a,故于是x=0 時,2a2.綜上所述,

評析母題1 是在平面中,直接利用橢圓的定義求出三角形的周長,例3 通過翻折平面上的橢圓,此時直接用定義求邊長已不再適用,考查了解析幾何問題解決的通性通法(問題表征、代數化)以及分類討論的基本思想.

2.3 面積問題

母題2橢圓C:F1,F2分別是C的左右焦點,過右焦點F2的直線交C于A,B兩點,求ΔABF1的面積最大值.

例4橢圓C:過橢圓C的右焦點F的直線交C于A,B兩點,將坐標平面沿x軸折成一個直二面角,求A,B,F三點構成的三角形面積最大值.

解由a2=b2+c2得于是由于直線AB過F點,設橢圓翻折前的直線AB為x=將其與橢圓方程聯立得則

當坐標平面沿x軸折成一個直二面角后,以橢圓的中心O為坐標原點,分別以O與C的下頂點、右焦點和上頂點連線為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系.

令m=t2,

當0 ≤m＜1 時,f′(m)＞0,f(m)單調遞增;當m＞1 時,f′(m)＜0,f(m)單調遞減,故

評析母題2 是在平面上,利用A,B兩點的縱坐標之差與焦距表示三角形面積,例4 通過翻折平面上的橢圓,同樣要求學生研究三角形面積的最值,不僅考查了直線與橢圓的位置關系、三角形面積公式,還有空間向量、求導等知識點,綜合性較強.

2.4 體積問題

母題3橢圓C:F1,F2分別是C的左右焦點,直線l過原點,交C于A,B兩點,求四邊形AF1BF2的面積最大值.

例5三棱錐A-BCD中,|AB|+|AD|=|CB|+|CD|=2a,|BD|=2c,二面角A-BD-C為直二面角,求VA-BCD的最大值.

解根據橢圓的定義,可以將該三棱錐A-BCD放入沿長軸折成直二面角的橢圓上,當A,D分別在橢圓的上下頂點時,該三棱錐的體積最大.

評析母題3 在平面上,將四邊形面積轉化成兩個三角形面積,解法與母題2 類似.例5 實質是將母題3 翻折,從平面上的四邊形轉變為三棱錐,要求學生研究三棱錐體積的最大值,考查了橢圓的定義、三棱錐的體積等知識點,要求學生能從立體幾何情境中依條件特點分析出動點的軌跡為橢圓的一部分,將問題轉化為底面三角形的高和三棱錐的高的最值問題,充分考查了轉化與化歸的思想,具備較強的創新性.

2.5 二面角問題

母題4三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=CD=AD=a,要使三棱錐A-BCD的體積最大,求二面角B-AC-D的大小.

例6橢圓C:=1(a＞b＞0),F1,F2分別為左右焦點,過C的長軸上一點的直線交C于A,B兩點,將坐標平面沿x軸翻折,求三棱錐的最大值,并說明二面角A-F1F2-B的大小.

解不妨假設直線AB固定,此時為定值,當A到平面BF1F2的距離最大時,三棱錐A-BF1F2的體積最大,此時二面角A-F1F2-B為直二面角.

設直線AB過長軸于點(m,0)(-a＜m＜a),則直線AB方程為x=ty+m,將其與橢圓C的方程聯立得

設A(x1,y2),B(x2,y2),有

當t=0 時等號成立.即三棱錐的最大值為且二面角A-F1F2-B為直角.

評析例6 通過翻折平面上的橢圓,呈現出翻折角度的不確定性以及直線的動態性,要求學生探究三棱錐體積的最大值,相比母題4 僅僅單一考查立體幾何知識,融入橢圓后能綜合考查解析幾何與立體幾何,問題情境新穎、復雜,充分考查學生的關鍵能力與核心素養,探究性與創新性較強.

2.6 雙曲線問題

例7雙曲線:過原點O的直線交雙曲線于A,B兩點,現將坐標平面沿x軸折成一個直二面角,連接A,B,當|AB|≤2c時,求平面上的直線AB的斜率的范圍.

解設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx.當直線AB與雙曲線有兩個交點時,即將直線AB與雙曲線的方程聯立得(b2-a2k2)x2-a2b2=0.則

評析例7 通過翻折平面上的雙曲線,將弦長范圍與斜率范圍進行結合,對邏輯推理、數學運算素養要求較高,綜合性較強.

3 研究展望

以上從不同角度創新設計了橢圓翻折問題,從不同層次考查學生的主干知識、思想方法和關鍵能力.此外,讀者還可以通過翻折平面上不同的幾何模型,探究翻折后具備的性質,進而創新設計更多試題,充分考查學生的必備知識、關鍵能力與學科素養.另外,讀者還可以通過對不同知識進行交匯,設計新穎、復雜問題情境,設計更多創新試題.