2023 年高考新課標Ⅰ卷數列題解法探究與變式推廣

廣州市第九十七中學(510288) 黃艷

廣州市南海中學(510170) 沈鋼

2023 年全國新課標Ⅰ卷第20 題與第7 題都是以等差數列為背景,涉及等差數列基本量的運算和等差數列與函數本質關系,很好的考察了學生的推理論證能力和計算能力,體現了試題選拔功能.對于等差數列,不應該止步于會解,可以引導學生深入探究等差數列的知識背景,挖掘問題的本質.本文對其進行多種解法解答與分析,通過與教材對比,充分挖掘等差數列的通項與一次函數的關系和其前n項和與二次函數的本質關系,進行變式推廣.為師生復習備考指明方向,提高教學質量.

一、試題與評析

題目1(2023 年高考新課標Ⅰ卷第7 題)記Sn為數列{an}的前n項和,設甲:{an}為等差數列;乙:為等差數列,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

題目2(2023 年高考新課標Ⅰ卷第20 題)設等差數列{an}的公差為d,且d＞1.令記Sn,Tn分別為數列{an},{bn}的前n項和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項公式;

(2)若{bn}為等差數列,且S99-T99=99,求d.

評析2023 年高考新課標Ⅰ卷的兩道數列題都是以等差數列為知識背景,考查學生對等差數列的通項和前n項和的本質.這兩道題都非常新穎,有創新,有一定的靈活性,難度適中,注重對學生理解能力,分析運算能力的考查.

二、解法探究

題目1 的解答甲:{an} 為等差數列,設數列{an}的首項a1,公差為d,即則為等差數列,即甲是乙的充分條件; 反之,乙:為等差數列,即S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,當n≥2 時,上兩式相減得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,當n=1 時,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D為常數,因此{an}為等差數列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件.

注屬于中檔題目,主要考查學生的對等差數列的本質認識.

題目2 第1 問是等差數列基本量的運算,難度不大,下面著重對題目2 的第2 問進行探討.

解法1因為{bn} 為等差數列,所以2b2=b1+b3,即所以即-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d,因為d＞1,所以an＞0,又S99-T99=99,由等差數列性質知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1.所以即解得a50=51 或a50=-50(舍去).當a1=2d時,a50=a1+49d= 51d=51,解得d=1,與d＞1 矛盾,無解;當a1=d時,a50=a1+49d=50d=51,解得

解法2因為{an} 是公差為d的等差數列,所以an=dn+c,又因為bn=為等差數列,即所以bnan=n(n+1)且bn為關于n的一次函數,所以an與bn各有1 個n或n+1 的因式.

S99-T99=99a50-99b50=99×51d-99×50×=99,所以51d2-d-50=0 得d=-1 或d=不符合d＞1.綜上,

解法3因為{an},{bn} 是等差數列,可設an=dn+c,bn=an+b,因為bn==an+b,得n2+n=adn2+(ac+bd)n+bc,所以ad=1,ac+bd=1,bc=0.

評注解法1 中,{bn}是等差數列,前三項成為等差數列,利用等差中項和等差數列的基本量運算求出a1與d的聯系,然后通過等差數列的前n項和與等差數列的性質運算;解法2 和解法3 本質上都利用等差數列的通項公式為一次函數的特點.本題考查等差數列的性質,等差數列的通項公式與求和公式的應用,方程思想,化歸轉化思想,分類討論思想,屬中檔題.

以上兩題本質都是理解等差數列的等價條件,記Sn為數列{an}的前n項和,(1){an}為等差數列為等差數列;(2){an}為等差數列?Sn=an2+bn,(3){an}為等差數列?an=an+b,因此這兩題出題非常好,是考查學生數學概念理解的好題.

三、試題溯源及變式探究

高考題的命題來源于教材,但是往往又高于教材,因而我們的課堂教學要回歸課本,扎根于教材,好好研究課本的習題,很多高考題都是教材習題的變式題.本文的題目1 與題目2 都是等差數列與前n項和的理解,深入研究,可以在教材中找到此題的“題根”.

題目3(題目1 溯源:新教材選擇性必修第二冊第四章數列第25 頁第7 題)已知記Sn為等差數列{an}的前n項和,(1)證明:為等差數列;(2)設Tn為數列的前n項和,若S4=12,S8=40,求Tn.

題目4(題目2 溯源:新教材選擇性必修第二冊第四章數列41 頁拓廣探索第12 題節選)已知數列{an}為等差數列,前n項和為Sn,數列{bn}滿足求證:數列{bn}為等差數列.

評注題目3 和題目4 本質也是等差數列的通項及前n項和特點的轉化:(1){an}為等差數列為等差數列;(2){an}為等差數列?Sn=an2+bn,(3){an}為等差數列?an=an+b.對教材的題目進一步研究,可以有以下變式,可以更好的去理解等差數列的通項和前n項和的本質.

變式1若數列{an}是公差為d的等差數列,且d＞1.數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若數列{bn}為等差數列,且且2S99-T99=99,求d.

解因為{an} 是公差為d等差數列,設an=dn+c,又因為{bn} 是公差為d等差數列,且前n項和為Tn,則從而(n+1)(n+2)=(an+b)(dn+c),得n2+3n+2=adn2+(ac+bd)n+bc,所以ad=1,ac+bd=3,bc=2,解得(bd)2-3bd+2=0,得bd=1 或bd=2.

變式2已知等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且

解依題意知設Sn=k(2n2-n),Tn=k(n2+n),因為a3=S3-S2=15k-6k=9k=9,所以k=1,Sn=2n2-n,Tn=n2+n,n=1,a1=S1=1,當n≥2 時,an=Sn-Sn-1=4n-3,故an=4n-3,同理bn=2n.

評注變式1 和變式2 都是利用等差數列的前n項和的特征,考查了學生轉化數學思想和函數思想.

四、課本習題的變式與推廣

對于給定的數列{an},記bn=an+1-an,我們分別考慮bn=d(常數);bn=an+b,a?=0;時,{an}的特點.

情形1若an+1-an=d( 常數),則數列{an} 為等差數列,其前n項和Sn.其特征性質有:{an}為等差數列為等差數列?an=an+b.

以等差數列為載體,從函數的角度,等差數列的前n項和是含n為因式的二次函數,等差數列的通項是一次函數,一個等差數列的前n項和與通項的比值是一個一次函數.

情形2若an+1-an=an+b(a?= 0),{an}會有什么特征呢? 我們知道可以用累加法求出{an}的通項公式,那符合這種遞推式的數列的通項公式有沒有共性特征呢? 我們把這樣的數列稱為二階等差數列,其定義如下:如果將一個數列的所有后項與前項之差組成一個新數列,如果這個新數列是普通等差數列,原數列就是二階等差數列.

設數列{an} 滿足an+1-an=an+b,通過累加法即{an} 為二階等差數列?an+1-an=an+b?an=xn2+yn+z.可以據此處理若干問題.比如

練習1若數列{an}滿足a1=1,an-an-1=2n-1(n≥2),求an.

解因為an-an-1=2n-1(n≥2),設an=xn2+yn+z,a1=x+y+z=1,a2=4x+2y+z=2,a3=9x+3y+z=7,解得x=2,y=-5,z=4,所以an=2n2-5n+4.

能否在教材中找到題根呢? 筆者發現教材中有這種題根,是拓廣探索題.

題目5(新教材選擇性必修第二冊第四章數列26 頁拓廣探索第12 題)如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中,后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有一個球,第二層有3 個球,第三層有6 個球,···,設各層球數構成一個數列{an}.

(1)寫出數列{an}的一個遞推式;(2)根據(1)中的遞推式,寫出數列{an}的一個通項公式.

解(1)因為a1=1,an=an-1+n(n≥2).

(2)因為an-an-1=n(n≥2),可設an=xn2+yn+z,a1=x+y+z=1,a2=4x+2y+z=3,a3=9x+3y+z=6,解得所以

情形3若an+1-an=(ai+b),{an}有什么特征?首先,我們注意教材也有這樣數列的原型.

題目6(新教材選擇性必修第二冊第四章數列57 頁拓廣探索第14 題)在2015 年蘇州世乒賽期間,某景點用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品,其中第1 堆只有1 層,就一個球;第2,3,4,···堆最底層(第一層)分別按圖中所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個乒乓球.記第n堆的乒乓球總數為

(1)求出f(3);(2)試歸納出f(n+1)與f(n)的關系式,并根據你得出的關系式探求f(n)的表達式.

把上面n個式子相加,

根據二階等差數列的定義,上述數列可以定義為三階等差數列:若數列{bn}為等差數列,它的前n項和為Tn,若an+1-an=Tn=an2+bn(a?=0),則數列{an}為三階等差數列.

類比二階等差數列,若{an}為三階等列,?an+1-an=an2+bn?an=xn3+yn2+zn+e這個結論可以用于處理一些問題.

其實南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數列與一般等差數列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數之差或者高次差成等差數列.高階等差數列的性質有:

(1) 如果數列是p階等差數列,則它的一階差數列是p-1 階等差數列;

(2)數列是p階等差數列的充要條件是:數列的通項是關于n的p次多項式;

(3)如果數列是p階等差數列,則其前n項和Sn是關于n的p+1 次多項式.

下面幾題留給讀者練習:

練習2(二階等差數列)南宋數學家楊輝為我國古代數學研究做出了杰出貢獻,他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列,以高階等差數列中的二階等差數列為例,其特點是從數列的第二項開始,每一項與前一項的差構成等差數列.若某個二階等差數列的前4 個為1,3,7,13,則該數列的第13 項為()

A.156 B.157 C.158 D.159

練習3(二階等差數列)數學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的高階等差數列.其中二階等差數列是一個常見的高階等差數列、如數列2,4,7,11,16,從第二項起,每一項與前一項的差組成新數列2,3,4,5,新數列2,3,4,5 為等差數列,則稱數列2,4,7,11,16 為二階等差數列,現有二階等差數列{an},其前七項分別為2,2,3,5,8,12,17.則該數列的第20 項為()

A.173 B.171 C.155 D.151

練習4(三階等差數列)南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數列與一般等差數列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數之差或者高次差成等差數列對這類高階等差數列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”現有高階等差數列,其前7 項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數列的第19 項為()

(參考公式見上文題目6)

A.1624 B.1198 C.1024 D.1560

參考答案1.B;2.A;3.C