低靈敏度空間引力波望遠鏡光學系統設計

余 苗，李建聰，林宏安，黃耀樟，羅佳雄，伍雁雄,3 ，王 智

（1.佛山科學技術學院 物理與光電工程學院,廣東 佛山 528000；2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033；3.季華實驗室,廣東 佛山 528000；4.國科大杭州高等研究院 基礎物理與數學科學學院,浙江 杭州 310024）

1 引言

空間引力波探測是人類研究宇宙早期形成與演化過程的不可或缺的途徑。目前，對引力波的探測主要分為兩種方式：一種是地基干涉測量系統；另一種是空間干涉測量系統。空間干涉測量系統相較于地基干涉測量系統可以避免地震波、重力梯度、人為噪聲的影響[1]，并且可以探測到頻率范圍在中低頻10-4Hz～1 Hz 波段的引力波，有效補充了地基干涉測量系統缺少的波段。其中，中低頻段的引力波信息具有豐富的天體物理來源，是研究宇宙早期結構形成及歷時不可缺少的依據。

針對空間干涉系統測量在中低頻段探測的優勢，歐洲航天局（European Space Agency，ESA)和美國國家航空航天局（NASA）提出了Laser Interferometer Space Antenna (LISA)計劃，中國科學院提出了太極計劃[2～4]。LISA 項目主要是探測和研究頻段在10-4Hz～10-1Hz 的引力波，而太極計劃探測和研究的引力波頻段在10-4Hz～1 Hz[5～6]。因此，太極計劃的波段將覆蓋歐空局LISA 計劃的探測頻段，并且在重點探測頻段（10-2Hz～1 Hz）具有比LISA 更高的探測靈敏度[6]。空間干涉測量系統由3 個相同的航天器構成，每個航天器上有兩個相同的光學望遠鏡作為信號的接收和發射裝置。由于望遠鏡在收發信號過程中會受到各種噪聲的影響。這些噪聲將直接影響收發信號的強度信息和相位信息，從而影響引力波信號的解析精度[7]。對收發信號影響最大的兩種噪聲分別是波前誤差與抖動光程 (TTL) 耦合噪聲和散粒噪聲[8]，為了減少這兩大噪聲帶來的影響，要求望遠鏡具有非常好的波前質量[6]。

基于太極計劃的牽引，ZHAO Y 和李建聰等人已完成了基于原理樣機的空間引力波望遠鏡設計，其望遠鏡的入瞳直徑達200 mm，放大倍率達40 倍[8～9]。接下來，本文將根據中國科學院太極計劃項目披露的當前空間引力波望遠鏡設計指標[3]進行設計，要求望遠鏡的入瞳直徑達400 mm，放大倍率達80 倍。在現有的空間引力波望遠鏡系統的設計指標中，望遠鏡的口徑和倍率有所增大?？趶降脑龃髸惯h場航天器接收到的激光光強增強，兩航天器間能量的傳輸效率提高，從而減小散粒噪聲對干涉信號提取的影響[10]。但是，相較于200 mm 口徑，400 mm 口徑的空間引力波望遠鏡光學系統的球差和慧差控制難度會變大。更重要的是，在加工誤差和裝調誤差相同的情況下，大口徑望遠鏡系統的波前誤差變化更加劇烈。這意味著大口徑和高倍率系統的靈敏度會更高，相應地設計難度也會更大[11]。此外，在“太極”計劃空間引力波望遠鏡的實際研發過程中發現，空間引力波望遠鏡在軌時會受到溫度的變化以及重力釋放的影響，由此導致結構變形，反射鏡特別是次鏡的空間位置會產生一定的偏移，導致望遠鏡系統的波前質量下降。因此，若實現低靈敏度，則望遠鏡在軌后仍然能維持高質量波前，這對于保證空間引力波望遠鏡的在軌穩定性能是至關重要的，也是關鍵難題。

針對上述難題，本文首先分析現有的空間引力波望遠鏡系統的結構特點，發現空間引力波望遠鏡結構中次鏡靈敏度高，難以滿足更大口徑的空間引力波望遠鏡對制造裝調公差的要求，特別是對在軌穩定性公差要求。因此，提出一種新型望遠鏡光學系統結構，利用三鏡分擔次鏡的光焦度、中間像面設置于三四鏡之間并降低次鏡放大倍率，從而減小次鏡的靈敏度；再結合高斯光學理論方法，分析計算望遠鏡的初始結構參數。其次，根據獲得的初始結構參數，對科學視場內的望遠鏡初始結構進行波像差優化，獲得滿足設計要求的望遠鏡系統。最后，通過建立望遠鏡系統的靈敏度評價公差分配表，對新型望遠鏡結構和現有望遠鏡結構進行蒙特卡羅分析預測光學系統性能，并通過靈敏度分析得到誤差源導致的系統波前變化的累計概率。對新型望遠鏡結構和現有望遠鏡結構的靈敏度結果進行對比分析，驗證新型望遠鏡光學結構的低靈敏度優勢。本文研究可為太極計劃的望遠鏡設計提供可靠的參考方案。

2 望遠鏡光學系統初始結構設計與優化

2.1 望遠鏡系統的技術要求

太極計劃中的望遠鏡作為空間激光干涉測距系統的重要組成部分，需要實現相距三百萬公里的兩衛星間的激光接收和發射，對其光程穩定性有著嚴格要求。本文根據太極計劃的技術指標要求[3]，設置望遠鏡的關鍵技術指標，如表1 所示。望遠鏡的工作波長選用頻率和相位穩定性極好的1 064 nm 波長?？紤]到望遠鏡系統中的光學元件難以避免地存在加工誤差和系統裝調誤差，故要求全視場RMS 波前退化量小于λ/30（λ=1 064 nm）的概率達到80%以上。

表1 望遠鏡系統的技術指標Tab.1 Specifications of telescope system

2.2 望遠鏡初始結構分析

目前，空間引力波探測任務采用的望遠鏡結構是離軸四反無焦系統。根據目前披露的望遠鏡結構形式[6～9,12]，望遠鏡的中間像面普遍在次三鏡之間，可視為由兩個獨立的雙反射結構共同構成。該離軸四反無焦系統的光焦度主要由主次鏡承擔，導致主次鏡的公差過于敏感。在裝調時一般會將主鏡固定，作為基準，避免主鏡偏移造成的裝調誤差[7]。在剩余的3 個反射鏡中次鏡靈敏度最高，對系統成像質量影響最大。因此，如何降低次鏡的靈敏度是引力波望遠鏡光學系統設計的主要難點。為解決該難點，本文提出一種新型望遠鏡架構，通過將望遠鏡的中間像面調整到三四鏡之間，三鏡分擔次鏡的部分光焦度，并降低次鏡的放大倍率，從而起到降低次鏡公差靈敏度的效果。新型望遠鏡結構可視為由一個三反射鏡系統和一個單反射鏡系統共同構成，分別稱為望遠鏡的前組和后組，望遠鏡的初始結構如圖1 所示。

設α2為次鏡對主鏡的遮光比；α3為三鏡對次鏡的遮光比；α4為四鏡對三鏡的遮光比；β2、β3分別為次鏡和三鏡的放大率；f為望遠鏡前組的焦距。引力波望遠鏡的光學系統作為一個無焦系統，其主鏡物距為l1=∞，物方孔徑角u1=0。對系統進行歸一化處理，則主鏡半口徑h1=1，前組系統焦距f=1。同時對于反射式光學系統，折射率可以表示為：根據圖1，結合高斯光學理論，該同軸四反系統[13～15]的結構參數可由式（1）、式（2）表示。

同軸四反系統各鏡的曲率半徑R1、R2、R3、R4的表達式如式（3）所示，主次鏡間隔d1、次三鏡間隔d2、三四鏡間隔d3的表達式如式（4）表示。

根據式（3）、式（4）可知，引力波望遠鏡光學系統的具體結構由α2、α3、α4決定。結合式（1）～式（4），并根據望遠鏡系統的放大倍率τ=1/α2α3α4=80，經推導，本文的望遠鏡系統結構參數如表2所示。

表2 本文提出光學系統的結構參數Tab.2 Structural parameters of the proposed optical system

2.3 光學系統的優化設計與分析

離軸四反光學系統是在同軸四反光學系統初始結構的基礎上，對孔徑光闌離軸后優化得到的。優化過程中，需要在Zemax 中建立科學視場內的波前誤差一致性優化函數，調整望遠鏡系統的結構布局，控制主次鏡之間的距離為700 mm，次鏡口徑大小為55 mm，主鏡y向偏心量為270 mm。除此之外，望遠鏡系統需要協調光路的折疊方式、中間像面位置和出瞳位置，保證合理的裝調空間?？紤]到望遠鏡系統中次鏡會產生后向散射雜散光，本設計在中間像面處預留了放置視場光闌的合理空間，從而抑制雜散光的產生。優化后的光學系統結構如圖2 所示。光學系統鏡頭數據如表3 所示。望遠鏡主鏡面型采用拋物面，次鏡面型采用雙曲面，三鏡和四鏡面型采用球面。

圖2 優化后的新型望遠鏡結構Fig.2 Optimized new telescope structure

表3 優化后的光學系統鏡頭數據Tab.3 Lens parameters of optimized optical system

各視場的波前誤差情況如圖3（彩圖見期刊電子版）所示，波前誤差的RMS 值和PV 值如表4所示。在科學視場范圍內，望遠鏡出瞳處的波前誤差RMS 值為0.006 3λ，PV 值為0.034 9λ～0.035 2λ。結果表明望遠鏡系統的各視場波前質量一致性好，望遠鏡系統的全視場都具有高質量波前。

圖3 出瞳處不同視場的波前圖Fig.3 Wavefront diagrams of different fields of view at the exit pupil

表4 出瞳處的波前誤差Tab.4 Wavefront errors at the exit pupil

3 驗證分析

3.1 現有望遠鏡結構設計

為了驗證新型引力波望遠鏡光學系統在大口徑、高倍率的情況下具有低靈敏度的優勢，依據表1 的設計指標，在相同的尺寸包絡下，設計了一款典型的離軸四反望遠鏡光學系統進行對比分析。在結構尺寸相同的情況下，新型望遠鏡結構的波前誤差RMS(λ=1 064 nm)為0.006 3λ，次鏡的放大倍率為9.7，現有望遠鏡結構的波前誤差RMS(λ=1 064 nm)為0.006 2λ，次鏡的放大倍率為12.8。具體結構形式如圖4 所示，波前分析如圖5（彩圖見期刊電子版）所示。

圖4 優化后的現有望遠鏡結構Fig.4 Optimized existing telescope structure

圖5 現有望遠鏡結構經優化后的波前誤差圖Fig.5 Wavefront error diagram of existing telescope structure

3.2 公差的對比分析

由于實際生產中難以避免會存在加工誤差以及裝調誤差。空間引力波望遠鏡的加工誤差包括反射鏡的曲率半徑公差、二次曲面系數公差、面型公差。裝調誤差包括反射鏡繞x，y，z軸3 個方向的傾斜和反射鏡在x，y，z軸方向上的位移，一般稱x、y軸方向上的位移為x、y向偏心。由于主鏡在裝調時一般會固定作為基準，所以公差分析時，主鏡只需要分析加工誤差。綜合考慮望遠鏡光學系統由于加工誤差、裝調誤差導致的望遠鏡系統變化后，設計公差分配方案，具體公差分配如表5 所示。

按照表5 的公差分配情況，在Zemax 中，分別對新型和現有的望遠鏡結構進行蒙特卡羅分析及預測光學系統性能，并在靈敏度分析中得到了誤差源導致系統波前變化的累計概率，具體如表6、7 所示。為了檢驗公差分析結果是否滿足探測要求，本文分別提取了新型和現有望遠鏡結構的500 個公差文件的波前誤差數據進行分析，公差文件對應的分析結果如圖6 所示。新型望遠鏡結構全視場RMS 波前退化量小于λ/30（λ=1 064 nm）的概率為82.4%，現有望遠鏡結構全視場RMS 波前退化量小于λ/30（λ=1 064 nm）的概率為63.2%。經計算，新型望遠鏡結構的靈敏度相較于現有望遠鏡結構的靈敏度降低了30.4%，證明了新型結構形式不僅滿足設計指標要求，而且具有更加寬松的公差條件。

圖6 公差分析結果Fig.6 Tolerance analysis results

表6 新型望遠鏡結構波前誤差累計概率Tab.6 Cumulative probability of wavefront error of the proposed telescope structure

表7 現有望遠鏡結構波前誤差累計概率Tab.7 Cumulative probability of wavefront error in existing telescope structures

另外，由于在所有可能的公差范圍內，靈敏度分析結果數據量多達56 組，因此，通過Zemax 的靈敏度分析文件分別導出了新型和現有望遠鏡結構中最靈敏的10 項公差項，在表8 和表9 中以遞減的方式呈現。表8、表9 中的影響量用于預測光學系統的性能。影響量數值越大代表該公差項對波前質量影響越大，該類型的公差項越靈敏。通過觀測表8 和表9 的影響量，發現相較于現有望遠鏡結構，新型望遠鏡結構的主要優勢是降低了望遠鏡次鏡偏心變化導致的高靈敏度。為了進一步驗證該發現的準確性，本文分析兩種望遠鏡的次鏡偏心變化對系統波前質量的影響，獲得望遠鏡光學系統的波前退化數據。因此，本文根據公差分配條件，分別分析了兩種望遠鏡關于次鏡x向或y向偏心變化引起的波前質量退化，具體分析結果如圖7、8所示。

圖7 新型和現有望遠鏡結構的次鏡X 向偏心與波前關系Fig.7 Relationships between X-eccentricities and wavefronts of the secondary mirror in the new and existing telescope structures

表8 新型望遠鏡結構中最靈敏的10 項公差項Tab.8 The 10 most sensitive tolerance terms in new telescope structure

表9 現有望遠鏡結構中最靈敏的10 項公差項Tab.9 The 10 most sensitive tolerance terms in existing telescope structures

由圖7、圖8 可知，新型望遠鏡結構的次鏡在±18 μm 的x、y向偏心變化范圍內的波前退化量明顯小于現有望遠鏡結構。隨著偏心量由0 至18 μm 或由0 至-18 μm 逐漸偏移望遠鏡的初始偏心設計參數時，新型望遠鏡結構和現有望遠鏡結構的RMS 波前退化量相差數值逐漸增大。例如，在次鏡的Y向偏心變化為18 μm 時，兩種系統的RMS 波前退化量相差數值達到了最大，新型望遠鏡結構相較于現有望遠鏡結構的RMS 波前退化量減少了λ/100（λ=1 064 nm），而望遠鏡系統的全視場RMS 波前退化量要求僅是小于λ/30（λ=1 064 nm）。以上具體數據驗證了新型望遠鏡結構可有效減少由次鏡偏心變化引起的RMS 波前退化量，具有低靈敏度優勢。可有效解決空間引力波望遠鏡光學系統大口徑、高倍率和低靈敏度的難點。

圖8 新型和現有望遠鏡結構的次鏡Y 向偏心與波前關系Fig.8 Relationships between Y-eccentricities and wavefronts of the secondary mirror in the new and existing telescope structures

4 結論

本文針對引力波探測對望遠鏡的大口徑、高倍率、低靈敏度的需求，首先分析了現有空間引力波望遠鏡的光學系統特性，提出了一種降低次鏡放大倍率且中間像面在三四鏡之間的新型望遠鏡結構，從而降低望遠鏡系統的靈敏度。結合高斯光學公式，計算獲得了望遠鏡初始結構數據。其次，通過在Zemax 中建立各視場波前誤差的一致性優化函數，對望遠鏡初始結構進行優化，得到了離軸望遠鏡系統，其入瞳直徑達400 mm，放大倍率達80 倍，并且在±8 μrad 的科學視場內，波前誤差RMS 值優于0.006 3λ。最后，根據望遠鏡系統的公差分配條件，利用Zemax 的靈敏度分析結果，得到了誤差源導致系統波前變化的累計概率。結果表明：由系統的加工誤差和裝調誤差引起的波前退化量有82.4%以上的概率優于λ/30（λ=1 064 nm）。對比現有望遠鏡結構與新型望遠鏡結構的靈敏度分析結果，新型望遠鏡結構的靈敏度較現有望遠鏡結構高30.4%。新型望遠鏡結構的主要優勢是降低了望遠鏡次鏡偏心變化導致的高靈敏度。結果表明，本文提出的新型望遠鏡結構具有低靈敏度優勢，而且降低了由次鏡偏心變化導致的高靈敏度，為空間引力波探測的望遠鏡系統設計提供了一種優選方案。