干涉星敏感器測角精度影響因素的研究

阮宇翔，董 磊

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033；2.中國科學院大學,北京 100049）

1 引言

星敏感器是一種高精度的姿態敏感測量儀器，在航天器姿態控制系統中起著重要作用，并且在導彈制導系統、激光指向傳感器系統和深空激光通信系統等方面也得到了廣泛的應用[1-4]。

傳統星敏感器的質心精度一般為1/10～/50像元。為了提高精度，通常會采用更小的視場。然而，更小的視場會減少用于追蹤的可靠星源數量，并且降低了所需的測量速率，視場減小還會降低星敏感器的動態性能。此外，在傳統的星敏感器中采用了星點質心定位技術，星敏感器的姿態測量精度隨質心定位精度的提高而提高，質心定位精度的提高同時也會提高星圖識別成功率[5-8]。提高星點提取精度的常用方法是采用離焦方式，即令恒星在星敏感器上的像點彌散在幾個像元內，通過內插細分定位算法使星點提取精度達到亞像元甚至更高。高分辨率的焦平面陣列（FPA）可以提高傳統星敏感器的質心精度。然而，當FPA 的分辨率提高時，星敏感器的重量、體積和能量損耗也會增加。此外，更高分辨率的FPA 更易于受到輻射的影響。因此，傳統星敏感器的姿態測量精度與視場等因素存在制約關系，且質心定位精度存在理論上限。

傳統星敏感器的上述缺陷，促使科研工作者一直在探索可規避以上問題的新型星敏感器。直到2011 年，Hutchin R A 發表了一篇干涉星敏感器的專利，利用干涉測角的方法來提高星敏感器的精度[9]。隨后，美國的Optical Physics 公司（OPC）對干涉星敏感器進行了性能測試。證明干涉星敏感器在20°視場下，姿態測量精度能夠達到0.11"，且重量只有2 kg。該研究證實：與同視場的其他傳統星敏感器相比，干涉星敏感器的姿態測量精度提高了一個數量級，真正意義上實現了大視場高精度的星敏感器。2015 年，干涉星敏感器被成功應用于美國航空航天局（NASA）的項目當中，用來開發深空激光通信光束指向應用以及為航天器導航和軌道確定提供精確的姿態測量數據?；诟缮嫘敲舾衅鬟@項專利，國內也開展了一系列研究。浙江大學的研究團隊提出了一種雙軸干涉星敏感器，相較于只能提升單軸姿態測量精度的干涉星敏感器，該雙軸干涉星敏感器可以同時提高兩軸方向的姿態測量精度，其姿態測量精度理論上可以達到0.2"[10]。中國科學院長春光學精密機械與物理研究所（簡稱長春光機所）的研究團隊基于Richard A.Hutchin 的專利給出的基本結構，分析了干涉星敏感器的工作原理并推導了干涉星敏感器的解析表達式[11]，并通過實驗驗證了干涉測角技術相對于傳統質心定位技術的精確性。哈爾濱工業大學的研究團隊將干涉星敏感器應用于天光背景較強的近地區域（大氣層內），以對目標星探測性能進行研究，完成了干涉式全天時星敏感器的光學設計[12]。

干涉星敏感器最明顯的優勢之一是具有極高的測角精度，雖然OPC 研究團隊從理論上證明干涉星敏感器的像素細分精度可達1/1 000 像元，比傳統星敏感器理論值（約1/100 像元）高約一個數量級，但是對實現該精度所付出的代價或關鍵技術卻沒有介紹。已有文獻多是對工作原理或性能的理論分析，鮮有對制約其測角精度的因素和實際測角效果進行深入研究。長春光機所研究團隊對常規加工和裝調技術下干涉星敏感器的單星測角精度開展了初步研究。通過多次實驗發現，在常規加工和裝調技術下，干涉星敏感器的實際單星測角值存在較大誤差，測量誤差約-8"～5"[13]。這說明存在若干影響干涉星敏感器單星測角精度的因素，這些因素無法通過常規裝調方法消除，故需要重點分析干涉星敏感器單星測角精度的主要影響因素，對敏感因素采用較為嚴格的限制措施，從而使實際測角精度達到或接近干涉星敏感器的高精度理論值。

針對干涉星敏感器實際單星測角誤差較大問題，本研究團隊認為需從核心原理出發尋找主要制約因素。把干涉星敏感器核心工作歸結為目標光干涉條紋形成和條紋相位提取這兩個環節，由此提出制約干涉星敏感器單星測角精度的兩個關鍵科學問題：（1）干涉條紋形狀對測角精度的影響機理；（2）干涉條紋的不合理分割對測角精度的影響機理。本文將圍繞第二個問題開展詳細的分析論證。

本文將首先介紹干涉星敏感器的基本原理；然后介紹干涉測角技術，結合干涉星敏感器的基本結構，對可能影響干涉條紋分割的因素逐一進行分析；研究這些因素對測角精度的影響程度；最后給出結論。

2 干涉星敏感器的基本原理

干涉星敏感器通過光學干涉系統提高姿態測量精度，光學干涉系統主要包括由2 個光柵組成的光柵對以及由4 個不同鍥角的光鍥組成的光鍥陣列。干涉星敏感器的基本結構如圖1 所示。探測到的星光通過第一個光柵時會產生多級衍射光，產生的±1 級衍射光通過第二個光柵時，又將產生多級衍射光。干涉星敏感器主要利用兩束衍射光形成莫爾條紋，一束是利用光柵1 衍射的+1 級光經過光柵2 后再次衍射產生的-1 級光（以下簡稱+1/-1 衍射光），另一束是利用光柵1 衍射的-1 級光經過光柵2 后再次衍射產生的+1 級光（以下簡稱-1/+1 衍射光）。光柵對產生的+1/-1 衍射光和-1/+1 衍射光相互平行并且都與光軸平行。第二個光柵以光軸為轉軸，旋轉一個很小的角度，這就在光柵對之間引入一個旋轉角，并且第二個光柵放置在第一個光柵的泰伯距離處，從而可以產生莫爾條紋。莫爾條紋相位與入射光的角度存在一一對應關系，而干涉星敏感器可以精確測量莫爾條紋相位，從而實現對目標光入射角的精確測量。莫爾條紋相位測量主要通過光鍥陣列、成像光學系統和相機實現。光楔陣列將一個周期的干涉條紋平均分成了4 個部分，4 個部分的光波經過成像光學系統后，最后在相機平面上形成4 個獨立可區分的光斑。再利用成熟的ABCD 方法[14-17]，即可實現對莫爾條紋相位的精確估計。

圖1 干涉星敏感器系統的基本結構Fig.1 The basic structure of the interferometer start tacker system

3 干涉測角技術的測角精度及其條紋分割誤差

干涉測角技術的莫爾條紋相位與目標光入射角之間存在近似線性關系[18]。通過對干涉星敏感器系統所形成的干涉條紋相位進行精確估計，并經過簡單計算，即可獲得目標光入射角的精確估計。下面將介紹干涉測角技術實現精確的角度測量的具體方法。入射目標光經過光柵對將在光楔陣列表面形成莫爾條紋（理想的條紋是正弦函數形狀），調節光柵對的相對軸向轉角，使其在光楔陣列范圍內產生一個周期的條紋結構。光楔陣列對一個條紋周期的4 個不同區域進行分割并引入不同方向的偏轉，再經過光學成像系統在探測器靶面上形成4 個獨立可區分的光斑（如圖2 所示[19]）。這4 個光斑的光強值對應一個周期條紋在4 個等分區間內的積分值。圖2 中，每一幅圖里由箭頭標記的光斑有最大的強度，即為最亮的光斑。由圖2 可知，在某些特定的角度下只能看到3 個光斑，這是因為光斑強度隨目標光入射角呈正弦規律變化，在某些特定角度下某個光斑的光強值為零。最亮光斑的位置在4 個點之間旋轉變化，實際上最亮光斑的旋轉方向取決于目標光與干涉星敏感器之間的相對運動，沿同一個方向相對運動將產生順時針旋轉，而沿相反方向的相對運動將產生逆時針旋轉。

圖2 單顆星在探測器平面上的光斑強度分布Fig.2 The spot intensity distribution of a single star on the plane of the detector

下面將結合相關數學公式給出計算干涉星敏感器測角精度的數學模型。根據ABCD 表達式，由4 個光斑的光強值可得出莫爾條紋的相位值，如式（1）所示：

式（1）中，φ表示莫爾條紋的相位，I1,I2,I3,I4分別表示4 個光斑的光強值（即分別代表A值、B值、C值、D值）。圖2 中第一幅圖指針所示為I1，I1右邊是I2，I1下邊是I3，I3右邊是I4。后面的圖則給出了光斑亮度周期性變化的分布結果。最后，根據目標光入射角與條紋相位之間的對應關系精確計算目標光的入射角：

式（2）中，θ表示入射角，p表示光柵周期，d表示光柵對之間的間距。干涉星敏感器系統的測角精度ε可以表示為：

式（3）中，M表示通過插值技術可獲取的一個周期條紋的相位細分數。由式（3）可以看出，光柵周期p越大，干涉探測系統的測角精度 ε越低；光柵對之間的間距d和相位細分數M越大，干涉探測系統的測角精度 ε越高。

當然前面給出的干涉測角技術的原理公式是在理想情況下推導出來的結果。實驗過程中測量角度與轉臺角度間存在偏差，即為測量誤差，轉臺在不同角度下的測量誤差如圖3 所示。由圖3 可以看出，受實際加工和裝調誤差的影響，干涉星敏感器本身就存在一些影響測角精度的因素，需要對這些因素進行定量分析，從而便于對影響較大的因素采取措施進行抑制，使干涉星敏感器的實際測角精度接近理論精度。在引言中提到主要有兩個關鍵問題制約干涉星敏感器的測角精度，本文主要分析第二個關鍵問題，即干涉條紋的分割誤差對測角精度的影響機理。下面我們將針對該問題進行深入的分析。

圖3 實驗測量誤差隨轉臺角度的變化Fig.3 Experimental measurement error varying with turnable angle

干涉測角技術采用ABCD 方法估計條紋相位，為了避免引入誤差，需要對兩個光柵所形成的一個周期的莫爾條紋在垂直條紋方向進行嚴格的四等分。然而，實際上莫爾條紋的周期和取向均會與光楔陣列的整體通光尺寸和排列方向存在差異性，另外由于存在加工和裝調誤差，4 個光楔也存在不等分的情況，上述因素會造成一個周期的干涉條紋出現分割誤差，從而降低條紋相位估計精度。綜上可知，干涉條紋的分割誤差可分成以下3 種情況：（1）光楔陣列不等分；（2）莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配;（3）莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交。下面我們將對這3 種情況以及解決方案進行詳細的介紹。

3.1 光楔陣列不等分

每個光楔都存在加工誤差，尺寸不會完全相等。也就是說4 個光楔在垂直條紋取向方向的寬度不相等，如此一來在相機靶面上獲得的4 個光強值與條紋四等分情況將存在差異，代入式（1）后得到的相位值也將存在差異，從而影響干涉測角技術的測角精度。對于該誤差對條紋相位估計的影響可采用以下方法進行研究。

假設覆蓋在光楔陣列前表面的干涉條紋是單色平面波產生的理想正弦條紋，并且滿足以下兩個條件：（1）條紋取向嚴格垂直于光楔陣列的排布方向；（2）莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸相等。這時光楔陣列不等分問題可利用正弦函數一個周期內所包圍面積的不等分來描述。

如圖4 所示，將一個周期正弦函數分成4 個區間。每個區間內正弦函數曲線下所包圍的面積值即為ABCD 方法中4 個數值（A值、B值、C值或D值）之一，然后將上述4 個數值代入ABCD 方法對應的計算公式，可獲得4 個區間不等分對條紋相位的影響情況，再代入條紋相位與測角精度的關系式即可得到對測角精度的影響。在上述的分析中可選擇不等分區間寬度與四等分寬度相對偏差的上限，例如1%，5%，10%等，再令前3 個不等分區間寬度等于四等分區間寬度再加上一個隨機變量（上限在前面給出），最后一個不等分區間寬度等于一個干涉條紋的周期減去前三個區間寬度之和。

圖4 一個周期正弦函數的區間分割Fig.4 Interval segmentation of the sine function in one period

3.2 莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配

實際莫爾條紋周期由兩個光柵沿光軸方向的相對旋轉產生，而光楔陣列整體通光尺寸取決于加工和裝調工藝，一旦裝好，光楔陣列的尺寸就是定值，這時只能通過調節莫爾條紋周期使其與光楔陣列尺寸相等。然而，對準過程必然存在誤差。對于該誤差對條紋相位估計的影響可采用以下方法進行研究。

假設覆蓋在光楔陣列前表面的干涉條紋是單色平面波產生的理想正弦條紋，并且滿足以下兩個條件：（1）條紋取向嚴格垂直于光楔陣列的排布方向；（2）光楔陣列四等分。這時莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配問題可用正弦函數一個周期內所包圍面積的不完全分割（欠分割）或過量分割（過分割）來描述。

圖5 為不同分割方式對應的整體分割寬度，即光楔陣列的整體通光尺寸。將分割寬度四等分，每個等分區間內正弦函數曲線下所包圍的面積值即為ABCD 方法中4 個數值（A值、B值、C值或D值）之一，然后將上述4 個數值代入ABCD 方法對應的計算公式，可分別獲得正分割、欠分割和過分割對應的條紋相位估計值。由此得出欠分割和過分割對條紋相位的影響情況。再代入條紋相位與測角精度的關系式即可獲得對測角精度的影響。在上述分析中可選擇不同分割寬度與正分割的相對偏離量，例如1%，5%，10%等。

圖5 一個周期正弦函數的分割方式Fig.5 The segmentation type of the sine function in one period

3.3 莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交

本方案假設水平取向的條紋周期等于光楔陣列整體通光尺寸且光楔陣列將一個條紋周期四等分。水平取向的正弦條紋在一個周期內的光強分布，如圖6 所示。將條紋旋轉一定角度可獲得傾斜條紋結構，如圖7 所示。水平條紋和傾斜條紋在不同位置豎直切面內的光強分布如圖8 所示。由圖8 可知，傾斜條紋的中心豎直切面內條紋周期比水平條紋偏大，這將引起條紋相位估計誤差。另外，傾斜條紋不同位置處的豎直切面內的條紋相位也不同，利用ABCD 方法獲得的整體條紋相位可認為是不同切面內相位的平均效果，也將引入相位估計誤差。

圖6 水平條紋的光強分布Fig.6 The light intensity distribution of the horizontal fringe

圖7 傾斜條紋的光強分布Fig.7 The light intensity distribution of the oblique fringe

圖8 水平條紋和傾斜條紋在不同位置豎直切面內的光強分布Fig.8 The light intensity distributions of the horizontal and oblique fringes in the vertical section at different positions

基于水平條紋的中心豎直切面中的函數結構（如圖8（彩圖見期刊電子版）中紅線所示），計算函數曲線在光楔陣列每個四等分區間內的面積值（即A值、B值、C值或D值），利用ABCD 方法計算該函數曲線的相位。因條紋取向水平，故任意豎直切面內條紋相位均相等，即該函數曲線的相位代表了水平條紋的相位。

對于傾斜條紋來說，不同位置處豎直切面內條紋相位不同（如圖8 中綠線和藍星線所示），故將光楔陣列四等分區間的第一個區間所對應的傾斜條紋所有豎直切面內函數曲線面積求和作為A值，同樣方法計算第二個區間作為B值，然后再獲得C值和D值。利用ABCD 方法計算傾斜條紋的相位。該相位與水平條紋相位的差值即為相位誤差，代入條紋相位與測角精度之間的關系式可獲得其對測角精度的影響。研究不同條紋傾斜角對條紋相位估值的影響，進而獲得對測角精度的影響。

前面介紹了干涉條紋的分割誤差可能出現的3 種情況，并給出研究方案，下面將按照上述方案對以上3 個影響因素進行研究分析。

4 條紋分割誤差對干涉星敏感器精度影響的研究分析

為了便于分析，取光柵周期p=50 μm，光柵對之間的間距d=5 cm，相位細分數M=1 024，將以上數據代入式（3）中，可以得到測角精度為 ε為0.1"。0.1"就是期望達到的理想值。下面分別對光楔陣列不等分誤差、莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差以及莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差這3 種情況開展研究分析，給出這3 個因素對干涉測角精度的定量影響結果。

4.1 光楔陣列不等分誤差的影響分析

光楔陣列的加工公差一般為1%，較嚴格的加工公差可以達到0.5%，更為精細的加工公差可以達到0.2%。因此，在對光楔陣列不等分誤差進行研究時，選取了0.1%～1%的誤差范圍進行分析。圖9 給出了0.1%～1%的誤差范圍所產生的測角誤差?？梢钥吹綔y角誤差隨光鍥陣列不等分誤差的增大而增大，光楔陣列不等分誤差為1%時，測角誤差達到最大值，為0.004 5"與理想值0.1"還相差兩個數量級，完全可以忽略不計。因此，光鍥陣列不等分誤差顯然不是影響干涉測角技術精度的因素。

圖9 光楔陣列不等分誤差Fig.9 Optical wedge array unequal division error

4.2 莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差的影響分析

由第2 部分的分析可知，莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差分為兩種情況。圖10 是欠分割誤差與過分割誤差的結果，實線表示的是欠分割誤差的結果，虛線表示的是過分割誤差的結果。結合實際情況，莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差應當不超過10%，因此，選取了1%到10%的誤差范圍進行分析。由圖10 可以看出，不論是欠分割誤差還是過分割誤差，測角誤差都會隨之增大而增大。此外，過分割時測角誤差增長的速度比欠分割時增長的速度更快，也就是說過分割時，測角誤差累積得更快。第4 節剛開始給出了干涉測角技術的主要模擬參數，可算出綜合測角精度的理論值為0.1"。為了使實際綜合測角精度接近上述理論值，單因素引起的測角誤差應小于理論值的1/10，因此莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配引起的測角誤差應小于0.01"。欠分割誤差為1%時，測角誤差為0.009"；過分割誤差為1%時，測角誤差為0.009"。因此，莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差小于1%可保證單因素測角誤差小于0.01"。這就對莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸的匹配情況提出較為嚴格的要求。

圖10 欠分割與過分割誤差Fig.10 Under segmentation and over segmentation errors

4.3 莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差的影響分析

圖11 是莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差的研究分析結果。條紋旋轉角度的范圍為1°～10°。從圖11 可以看出，隨著干涉條紋旋轉角度增大，測角精度的誤差先增大后減小。當條紋旋轉角度從3°變化到4°時，測角誤差有一個突變，使測角誤差陡然增大。測角誤差最小為0.066"，對應條紋旋轉角度為1°。但是仍大于可接受的測角誤差(0.01")。因此，將條紋旋轉角度進一步細分，取0.1°到1°的范圍進行分析，如圖12 所示。當條紋旋轉角度從0.1°變化到1°時，測角精度的誤差總體來說是逐漸增大的，但是測角誤差出現了3 組相同的數據，條紋旋轉角度為0.2°和0.3°、0.4°和0.5°以及0.6°和0.7°時，測角誤差完全相同。當條紋旋轉角度為0.1°時，測角誤差為0.006"，符合理想誤差值。因此，條紋旋轉角度應當小于0.1°，此時通過人眼已經無法分辨如此小的角度，可以通過相機進行分辨。

圖11 莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差Fig.11 Nonorthogonal error between the orientation of the Moire fringe and the orientation of the optical wedge array

圖12 莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差（細分）Fig.12 Nonorthogonal error between the orientation of the Moire fringe and the orientation of the optical wedge array (subdivision)

5 結論

本文針對干涉星敏感器存在的若干影響其單星測角精度的因素展開研究。首先，介紹了干涉星敏感器的基本原理。然后，介紹了干涉測角技術，并將干涉條紋的分割誤差問題分解為3 種情況：（1）光楔陣列不等分誤差；（2）莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差；（3）莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差。最后，分別對上述3 種影響干涉星敏感器測角精度的因素展開分析，獲得其對測角精度的定量影響結果。

研究結果證明：莫爾條紋周期與光楔陣列整體通光尺寸不匹配誤差小于1%時，可保證單因素測角誤差小于0.01"；對于莫爾條紋取向與光楔陣列排布方向不正交誤差，條紋旋轉角度應當小于0.1°，可保證單因素測角誤差小于0.01"。