多變量控制圖及過程能力指數在生產中的應用

雷彬文 龔立雄

[摘 要]針對單一控制圖對小波動工序過程不能準確識別和診斷的問題，提出將多變量T²和MEWMA控制圖結合起來診斷生產過程的受控情況，再以多變量過程能力指數進一步判定制造企業的工序過程。以多變量T²、MEWMA控制圖以及規范區域為長方形的修正過程能力指數算法等理論為基礎，以某電子企業主板控制器生產過程為對象，對影響焊接過程質量的特性因素進行分析?；诼摵隙嘧兞縏²、MEWMA控制圖及過程能力指數，來診斷生產過程的工序狀態及影響因素，對樣本數據進行了分析和計算。結果表明：所采用的多變量質量診斷算法誤差較小，能有效監督和控制生產過程。

[關鍵詞]多變量控制圖；過程能力指數；生產過程控制；質量診斷

[中圖分類號]TQ460.6[文獻標識碼]A

控制圖和過程能力指數是質量控制的重要手段，對于降低廢品率、提升產品質量和管理水平具有重要作用，已被應用到機械、電子、汽車、化工等多個行業，成為制造企業在線質量診斷和控制方法的技術支撐^[1]。目前，眾多學者對控制圖和過程能力指數的研究以單變量和多變量控制圖和過程能力指數為主，以Shewhart控制圖為基礎，關注過程控制的變異。常用的包括χ²控制圖、T²控制圖、W控制圖。Nijhuis等提出了同時監控多變量過程分布特征和過程能力的TC2控制圖^[2]。Wu等對過程能力指數度量問題及應用進行了綜述，并進行了比較研究，指出多個相關性過程能力指數的計算和度量是一個值得研究的問題^[3]。Pearn等提出了一種估計Taan等所提出的多元過程能力指數方法，并給出了MPCI置信區間^{[4- 5]}。Ahmad等基于不合格品率準則及協方差距離，提出了一種新的多元過程能力指數，該能力指數能評價正態和非正態過程^[6]。羅碧青等在粉末直接壓片工藝中借助過程能力指數，獲得較高性價比的壓片工藝配方^[7]。郭佳晟通過蒙特卡洛（Monte Carlo）模擬法分析了WAB控制圖在過程失控時的性能表現，并與T²控制圖進行比較^[8]。此外，部分學者提出了基于神經網絡理論的智能多元質量診斷算法^[9-10]。但該算法需要大量經驗和統計數據對所構建的神經網絡模型進行訓練，對小樣本數據不太適用。T²控制圖在解決質量控制和質量診斷為題的重要方法，但多變量質量特性間存在相關性，并且多變量單值T²控制圖對小波動敏感性不強，影響質量診斷的準確性。本文在T²控制圖的基礎上，引入過程能力指數和多元指數加權移動平均（Multivariate Exponentially Weighted Moving Average，MEWMA）控制圖聯合診斷制造企業的生產狀態，并以某制造企業為案例進行了分析，分別采用T²、MEWMA控制圖以及修正區域為長方形的算法計算多變量過程能力指數，剔除原始數據中不合理的數據，運用Xbar-R控制圖進一步分析原因，將算法結論與企業生產實際進行對比，表明本文所提出的T²、MEWMA控制圖、過程能力指數聯合質量診斷的方法可行，能廣泛應用于制造企業生產過程的質量診斷和控制。

1 多變量控制圖及過程能力指數

1.1 多變量T²控制圖

統計量表達式：

使用T²控制圖可以同時監視兩個或多個相關變量的過程位置是否受控制。此控制圖是 Xbar 控制圖和單值控制圖的多變量形式。

1.2 MEWMA控制圖

多元指數加權移動平均（MEWMA）控制圖是用來對多變量過程X分布中心微小偏移進行統計監控的控制圖。MEWMA控制圖表達式為：

式中，R為P維對角矩陣，對角矩陣元素為r_i（0i<1，i=1，2，…，p）。

1.3 多變量過程能力指數

要進行過程能力分析，首先必須確定關鍵質量特征值，然后判斷其數值的特性，最后按照計量值型、計數值型相對應的過程能力分析方法步驟進行分析^[12]。

2 案例分析及應用

2.1 案例背景及影響質量因素

某電子企業主要生產品牌豆漿機主板控制器。近期，該主板控制器生產過程中出現了質量缺陷有所回升的不良趨勢，因而需從5M1E綜合分析，找出影響質量的具體原因。其主板控制器生產流程如圖2所示。

工序中，點紅膠、ICT測試（In Circuit Tester，自動在線測試儀）為關鍵工序，規定回流焊、波峰焊為特殊工序。該企業統計數據表明：造成該企業產品缺陷比例最高的是材料不良，這需要與供應商溝通，加強對供應商的管控；其次是拉絲短路，該缺陷占比30%左右，是質量控制的重點。拉絲短路不良現象的主要原因存在于波峰焊工序中，波峰焊工序的錫爐溫度、助焊劑比例和波峰頻率等都有可能是關鍵因素。影響波峰焊質量的重要因素有短路、焊錫球、虛焊、空洞、拉尖等。圖3魚骨圖呈現了波峰焊缺陷的影響因素。

從文獻[13-14]了解到，在焊接過程中影響焊點焊接質量的主要因素有：波峰高度、軌道傾角、傳送速度、錫爐溫度、預熱溫度以及助焊劑比重。因此，本文將以選定此豆漿機主板控制器波峰焊工序中點焊的助焊劑比例x₁、預熱溫度x₂、焊錫液面高度x₃、軌道傾角x₄和波峰寬度x₅這5個質量特性作為分析的對象。根據經驗，后3個質量特性存在著自相關性，因此重點對其進行過程能力計算分析。

2.2 原始數據及控制圖分析

本文研究的數據來源于案例企業某品牌豆漿機主板控制器的生產實際數據，經統計分析和整理而成。重點對具有自相關性的x₃、x₄、x₅數據進行質量控制圖和質量特性計算，并與原文進行對比分析。x₃、x₄、x₅原始數據如表2所示。

可以看出用幾何平均法計算出的多元過程能力指數為1.058>1，滿足基本要求，但并不是每個質量特性均滿足要求。而用差異系數算法求解的多元過程能力指數為0.9801<1，說明過程能力一般，不滿足基本要求。因此，還需進一步對存在相關性的3個質量特性進行分析和判別。

2.3 進一步討論

原始數據的樣本子組容量為1。為更進一步研究多變量控制圖，在80組原始數據基礎上隨機生成一組數據，使得樣本子組容量為5。在后面的多變量控制圖與過程能力指數研究中選取30組數據進行分析。x₃、x₄、x₅（即焊錫液面高度x₃、軌道傾角x₄、波峰寬度x₅）3個質量特性數據的正態性檢驗見圖4，說明隨機生成的部分數據對研究結論影響極小，可以作為小樣本數據進行進一步分析和討論。

步驟1. T²、MEWMA控制圖及相關性變量的Xbar-R控制圖

將新的數據分成30組，求解每組的平均值、樣本方差、統計量T²，利用Minitab做T²控制圖。30組數據中每組數據均值如表3所示。

設30個樣本均值

因此，計算樣本統計量T²如表4所示。

由該企業生產背景得α=0.05，又n=5，p=3，查F分布表得F_0.05（3，118）=2.68；此時上控制線UCL=3×29×4118×2.68=7.90，得到T²、MEWMA控制圖（圖5）。T²控制圖中點13和點16出界，需要剔除重新計算。

圖6可以看出：多容量樣本數據為30組時，x₃均值-極差控制圖都正常；x₄的均值-極差圖第16個點超出3個標準差，均值圖中后14個點落在中心線兩側的C區內（在實際生產過程控制中此時應增加抽樣點來判斷過程是否異常），極差圖中有超過連續9點在中心線同側，也是造成第一次使用T²控制圖第16個點異常的原因；x₅均值圖正常，極差圖中有連續9點在中心線同側。

步驟2. 剔除不合格數據，重新計算T²和MEWMA控制圖以及Xbar-R控制圖

剔除12、13、16組數據后，剩下的27組數據重新計算

樣本協方差矩陣均值

計算控制上限為7.92。則T²、MEWMA、Xbar-R控制圖。

圖7中，27組多容量樣本繪制的T²控制圖所有打點值均在控制限范圍內，此時過程基本處于受控狀態。而自相關的x₃、x₄、x₅變量組的 MEWMA控制圖也顯示過程基本處于穩定，說明剔除不合格的數據后，該生產過程處于基本穩定狀況，但是仍有時出現波動狀態。

圖8中，x₃均值-極差圖過程穩定；x₄極差圖中第11點超出3個標準差，考慮該點所代表的樣本數據抽樣取值時的合理性，或是記錄數據有誤，或是抽樣時存在某個不合格樣品；x₅極差圖后12點有連續9點在同一側。

T²控制圖經過2次控制限調修生產過程處于基本穩定狀態。從各樣本數據的單值圖中可知，經過剔除3組數據后，均值圖處于基本受控狀態，但極差圖在后12組數據中有連續9點在中心線同側，需要進一步分析原因。而數據中x₃、x₄、x₅分別是影響波峰焊點焊質量的焊錫液面高度、軌道傾角、波峰寬度，在控制圖分析的過程中可以獲悉，軌道傾角的極差圖總是有連續9點在中心線同側，這可能是由于在用角度規測試讀取數時存在著人為地讀數誤差；波峰寬度和焊錫液面高度是用專用儀器測量，讀取數據較精確，可以從專用儀器感知軌道傾角方面來提高軌道傾角的準確性，但是也要注意儀器的保護，避免儀器疲勞導致測量不準確。

步驟3 多變量過程能力指數計算

這里仍采用規范區域為長方形的多變量過程能力的計算公式。分布中心與規范中心不重合。

進而求得：

最后得到修正的過程能力指數為1.0196。根據表1過程能力評定標準，仿真過程處于基本穩定狀態，但過程能力一般。應該在保持現有生產情況下，繼續用控制圖或其他有效手段對過程進行嚴格監督和控制，嚴格檢查產品質量，防止出現過程能力大幅下滑。就單個變量而言，x₃需要強化質量控制檢驗、分析變異原因，進而采取有效的措施；x₄處于一個理想狀態，需要繼續保持；x₅處于一種中風險狀態，需要增加檢驗頻次，找到變異原因并消除，提高過程能力值。

分別對原始數據和多容量組數據采用幾何平均法、差異系數法、規范區域為長方形修正法的多變量過程能力指數進行計算。表4對各種多變量過程能力指數計算方法進行了比較。

由表4可知，幾何平均法計算的多變量過程能力指數比采用差異系數法和規范區域為長方形的修正法要大。幾何平均法是一種早期求解多變量過程能力指數的計算方法，其計算求得的過程能力指數值偏大，不太適合多變量過程能力指數的求解。本文采用的規范區域為長方形的修正法，計算結果跟差異系數法求得結果比較接近，也最接近真實的實際情況。同時，本文針對原始子組容量為1的數據計算結果與隨機生成的子組容量為5的仿真計算的多變量過程能力指數進行了對比，對比結果除了幾何平均法誤差較大外，其余兩種計算方法基本一致，這也說明隨機生成的數據是有效的，而多容量樣本分組也是多變量質量控制圖的要求。

3 結論

本文采用規范區域為長方形的修正法計算了生產過程能力指數，通過案例研究對控制圖和過程能力指數的分析，使得工序過程一直處于統計受控狀態，以提高產品質量。

1）多變量T²、MEWMA控制圖能較好地對工序狀態進行診斷，及時發現過程異常波動，并能對工藝過程質量進行初步分析，找出其中失控的原因。

2）多變量過程能力指數計算方法很多，但早期根據單變量過程能力指數采用幾何平均法求得的多變量過程能力指數偏大，會影響生產過程能力的判斷。本文采用規范區域長方形修正法計算多變量過程能力指數誤差較小，能有效監督和控制生產過程。

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Research on Multivariate Control Chart and Process Capability

Index Applied for Manufacturing Process

LEI Binwen¹，GONG Lixiong²

（School of Mechanical Engineering， Hubei Univ. of Tech.， Wuhan 430072， China）

Abstract：Aiming at problems that single control charts cant accurately find and diagnose small swing of process， the paper proposed to joint multivariate T² and MEWMA control chart to diagnose manufacturing process state， and judged the production process state by multivariate process capability index. First， it analyzed multivariate T² and MEMWA control chart & revision process capability index that norm district is rectangular， and then targeted at an electronic enterprise motherboard controller manufacturing process， focused on the analysis of factors affecting welding process quality. Moreover， it proposed method that jointed multivariate T²and MEWMA control chart & process capability index diagnosed production state， respectively analyzed influencing factors of process quality. Result shows that the multivariate quality diagnose error proposed in the paper is small， and can effectively monitor and control manufacturing process.

Keywords：Multivariate control chart；Process capability index；Manufacturing process control；MEMWA chart；Quality diagnosis

[責任編校：張 眾]