RBF神經網絡的機電伺服系統固定時間滑模控制

王傳璽,劉永慧

(上海電機學院 電氣學院,上海 201306)

機電伺服系統是由電動機驅動的運動伺服系統,目前已被廣泛應用于航天發動機[1]、航海[2]等領域。但該系統在實際運行過程中,存在許多干擾因素,如系統內部參數未知[3]、機械摩擦[4]等,這些不確定性因素會導致無法建立精確的數學模型,這為伺服系統的高性能控制器設計帶來了難度。

傳統的機電伺服系統常見控制方法有比例積分微分(Proportion Integration Differentiation,PID)控制[5]、模糊控制[6]等。PID控制算法簡單,但是其調節范圍有限,很難實現機電伺服系統的高精度跟蹤;模糊控制的設計缺乏系統性,單純將系統信息做模糊化處理會導致控制精度降低。滑模控制因其魯棒性強、響應速度快等特性,被廣泛應用于機電伺服系統的控制器設計中[7-9],但傳統、單一的滑模控制已經難以滿足機電伺服系統跟蹤性能的更高需求。為了保證系統能夠在固定的時間內達到收斂效果,Wu等[10]將終端滑動面和分段連續滑模面組成一種新的固定時間滑模面,通過預定時間強制系統到達終端滑模面,有效縮短了系統的收斂時間。Yan等[11]利用狀態逼近角和切換滑模構造了一種新的固定時間終端滑模控制器,通過改進固定時間理論,使得系統能夠快速消除奇異性引起的誤差。

許多學者將神經網絡等智能控制算法與滑模控制相結合,利用智能算法自學習的特性對建模不確定性部分進行逼近,再將智能算法的輸出信號輸入滑模控制器中。Tian等[12]在終端滑模控制器的基礎上加入神經網絡算法,利用飽和函數設計滑模面,避免系統產生奇異性,抑制了模型不確定性和外部干擾造成的影響。Shen等[13]構造了非奇異終端滑模面,采用徑向基函數(Radial Basis Function,RBF)神經網絡逼近模型中的不確定項,使系統在有限時間內達到穩定。

基于上述分析,為解決擾動因素造成機電伺服系統跟蹤性能下降、單個隱含層神經網絡估計復雜函數精度較低的問題,提出了一種基于RBF神經網絡的機電伺服系統固定時間滑模控制方法,使得機電伺服系統能夠在固定時間內實現快速穩定。本文建立了含擾動因素的機電伺服系統數學模型,設計了全局魯棒固定時間滑模控制器,保證系統誤差在固定時間內收斂到零,減小不確定性因素造成的控制系統抖振問題。此外,為了達到更高的學習精度和更強的函數擬合能力,采用雙隱含層RBF神經網絡對干擾的不確定性進行逼近和補償,并通過在線自適應更新網絡連接權重,進一步提高系統的魯棒性和跟蹤性能。

1 機電伺服系統數學模型

為簡化分析,在d-q坐標系下,令非零電流分量iq=0,建立慣性負載的機電伺服系統方程為[14-15]

式中:θ為狀態變量,表示電機輸出軸的位置;dθ/dt為電機輸出軸的轉速;J為等效轉動慣量;R為等效阻尼系數;K為電機扭矩常數;u(t)為控制器輸出信號;F(θ,dθ/dt,t)為擾動因素,有

式中:f(θ,dθ/dt,t)為未建模的非線性不確定干擾數學模型;Ff(θ,dθ/dt,t)為已建模靜摩擦力,有

式中:l1、l2為不同的摩擦力;f1、f2、f3為不同類型的摩擦效果對應系數為θ的導數。

系統模型式(1)可以描述為

將上述方程改寫為狀態方程的形式:

式中:x(t)=dθ/dt為系統的狀態變量;A=-R/J為狀態參數;B=K/J為系統輸入;C=1為輸出參數為系統輸出。

因為-1＜tanh(x(t))＜1,所以

2 控制器設計

本文控制器的設計主要分為兩步:①引入固定時間滑模控制使跟蹤誤差在固定時間內收斂到零,減小擾動因素對控制系統造成的影響;② 在系統狀態受到外界干擾的情況下,采用雙隱含層RBF神經網絡對擾動因素進行在線逼近和補償,使系統準確地跟蹤期望信號。

2.1 固定時間滑模控制器設計

本文采用固定時間滑模控制方法,結合機電伺服系統數學模型,設計一種新型的滑模面,使系統在固定時間內達到收斂。

定義x(t)∈Rn為狀態變量,f(t,x(t))為可導的非線性函數,針對非線性系統

若原點為系統的平衡點,且系統為全局漸進穩定,則引入以下定義:

定義1[16]假設系統能夠收斂,且收斂時間Ts(x0)≠∞,那么所有t≥Ts都滿足x(t)=0,則系統為全局有限時間穩定。

定義2[17]若系統的收斂時間存在一個獨立的上界值,并且系統滿足全局有限時間穩定條件,那么系統滿足全局固定時間穩定。

若系統滿足以上定義,則引入以下引理:

引理1[18]若一個徑向函數V: Rn→R+∪{0}連續且有界,有λ1、λ2＞0,0＜α＜1,β＞1,并且滿足

則稱系統模型式(6)為全局固定時間穩定,收斂時間T滿足,

引理2[19]若存在一個徑向函數V:Rn→R+∪{0}連續且有界,有k1、k2＞0,0＜q＜1,p＞1,η0＞0,并且滿足

則稱系統模型式(6)為實際固定時間穩定,收斂時間T滿足,

然后,設計滑模控制器,定義θ(t)為電動機輸出軸的實際位置,θd(t)為跟蹤期望軌跡,則跟蹤誤差為

對式(11)求導可得

將改進的滑模面設計為

式中:c1＞0,c2＞0;k＞0;0＜γ1＜1,γ2＞2,為防止奇異現象,令,其中m1、n1、m2、n2為正奇數,且m1＞n1,n2＞m2。對式(13)求導可得

不考慮擾動的情況下,由式(5)、式(12)和式(14)得出等效控制為

為保證系統在固定時間內收斂,定義p1＞0,p2＞0,υ1＞1,υ2＞1,設計切換控制項

,其中b1、q1、b2、q2為正奇數,且b1＞q1,b2＞q2。

結合式(15)和式(16),得到總的控制律為

由引理1可知,對系統模型式(5)而言,設計控制律式(17)能保證系統全局穩定,且系統在固定時間內達到收斂條件,以下給出證明過程。

證明選取以下Lyapunov函數:

則V1(t)的導數為

由引理1可得系統達到滑模面時間T1滿足,

當系統達到滑模面后,重新選取Lyapunov函數:

則對式(21)求導可得

式中:D≥|d(t)|為擾動的上界;c2＞0;k＞0;0＜γ1＜1,γ2＞2。

由引理1可得在滑模面運動時間T2滿足,

式中:δ=(γ2+1)/2-1＞0。

可見,所設計的控制器能夠使得系統在固定時間T內達到收斂條件,且

2.2 基于RBF神經網絡的滑模控制器設計

本文采用雙隱含層RBF神經網絡,逼近式(2)中復雜的非線性函數f(θ,dθ/dt,t),以達到降低模糊增益的目的。雙隱含層RBF神經網絡由輸入層、隱含層和輸出層構成,且有兩層隱含層,如圖1所示。

圖1 雙隱含層RBF神經網絡結構

雙隱含層RBF神經網絡工作原理如下:

(1) 輸入層。xi(t)為第i個輸入。本文采用輸入層維度為2,則輸入向量表示為

(2) 第1層隱含層。將輸入層的信息進行高斯函數計算,以激活該神經元,輸出值h1j(x(t))可表示為

式中:h1j、c1j、b1j分別為第j個節點的高斯基函數輸出值、坐標矢量和寬度。

(3) 第2層隱含層。為達到更好的逼近效果,對該層進行一次高斯函數計算,定義c2j、b2j分別為高斯基函數中心的坐標矢量和寬度,則第j個節點的輸出值可表示為

式中:ε為RBF神經網絡逼近誤差,且ε→0+。

定義雙隱含層RBF神經網絡的輸出為

則系統總的控制器設計為

式中:p1＞0,p2＞0;υ1＞1,υ2＞1。

結合式(5)、式(13)和式(31)得到

對于系統模型式(5),當選用控制器式(31)時,系統滿足跟蹤誤差在固定時間TZ=T+T3收斂至零,以下給出證明過程:

構造Lyapunov函數為

式中:η＞0。

求導可得

設計自適應律為

由引理2可知,系統模型式(5)在固定時間內收斂,且系統的收斂時間為

綜上可知,對于系統模型式(5),所設計的控制器能使得系統狀態在固定時間內收斂。

3 仿真驗證

本文基于Matlab進行仿真驗證。系統初值設置為:電機輸出軸初始位置θ(0)=0.1rad,機電伺服系統模型參數設置如表1所示。

表1 機電伺服系統模型參數

3.1 跟蹤仿真驗證

單隱含層和雙隱含層RBF神經網絡下的跟蹤仿真結果如圖2、圖3所示。由圖2可知,初始時刻,跟蹤波動較大,單隱含層RBF神經網絡下,系統實現跟蹤理想信號的調節時間大約為4s。由圖3可知,雙隱含層RBF神經網絡下,系統實現跟蹤理想信號的時間大約為1.4s。在實現穩定跟蹤后,通過單隱含層RBF神經網絡逼近和補償擾動后的系統會有較大的波動,而雙隱含層RBF神經網絡下的系統跟蹤穩定,波動不明顯。表明本文采用的雙隱含層RBF神經網絡對擾動有著更好的逼近和補償效果,能夠更好地削弱外界干擾對系統造成的影響。

圖2 單隱含層RBF神經網絡下的跟蹤仿真結果

圖3 雙隱含層RBF神經網絡下的跟蹤仿真結果

3.2 擾動逼近仿真驗證

單隱含層和雙隱含層RBF神經網絡逼近擾動仿真結果如圖4、圖5所示。由圖4可知,單隱含層RBF神經網絡穩定逼近擾動信號的時間大約為3.5s。由圖5可知,雙隱含層RBF神經網絡穩定逼近擾動信號的時間大約為1.2s,雙隱含層RBF神經網絡逼近擾動的起始波動值更大,但是收斂速度更快。當RBF神經網絡能夠穩定跟蹤擾動時,相對于單隱含層RBF神經網絡,雙隱含層下RBF神經網絡的逼近更加精確,波動幅度更小。

圖4 單隱含層RBF神經網絡逼近擾動仿真結果

圖5 雙隱含層RBF神經網絡逼近擾動仿真結果

4 結論

本文基于固定時間理論,利用RBF神經網絡對模型逼近的特性,提出了一種基于RBF神經網絡的固定時間滑模控制方法,以達到提高機電伺服系統跟蹤性能的目的。首先,建立了含有未知擾動力矩的不確定性機電伺服系統的數學模型;然后,對機電伺服系統設計了固定時間收斂的滑模控制器,使系統能在固定時間內跟蹤理想信號;最后,為減小外界擾動對系統造成的影響,采用雙隱含層RBF神經網絡對不確定性因素進行在線逼近和補償,并設計了自適應控制器對網絡連接權重進行自動更新。仿真結果驗證了該控制方法能夠快速實現精確的跟蹤控制。