以應用能力培養為導向的高等數學課程改革初探

趙 蕾

文華學院數學科學系 湖北武漢 430074

高等數學是高等院校理工類?？粕匦薜闹匾碚摶A課,主要學習函數、一元和多元函數的微分學和積分學、常微分方程、空間解析幾何、線性代數和概率論的初步知識及其運用。學生掌握上述知識,能夠為學習后續課程奠定良好的數學基礎[1-2]。在實際教學中,教師主要是依據大綱要求,在課堂上對于數學基本概念、定理進行講解和推導,學生主動參與度較低。為提升教學質量,培養學生知識運用能力,把專業學習與動手實踐結合起來,全面提高人才培養的市場適應能力,改進教學方法和課程體系,將Matlab軟件引入高等數學教學。

Matlab是最近幾年應用廣泛、計算能力強大的數學計算軟件,幾乎涵蓋了高等數學中大部分計算,學生在大學一年級階段就可以得到Matlab編程和實踐能力的訓練,同時在實踐過程中促進理論知識的學習[3]。在教學中通過一些實際案例,讓學生在計算機中求極限、求函數的微分和積分、函數作圖、求解微分方程,這不僅幫助學生更好地理解了教材的知識和定理,又克服了高等數學內容抽象、不直觀的不足,提升了教學效果,在實踐中激發了學生的學習興趣,同時提升了學生運用數學知識,解決數學問題能力[4-5]。

一、Matlab在極限教學中的應用

在Matlab中用comet命令生成動態曲線圖,輸入如下程序:

x=-10:0.01:10;

y=sin(x)./x;

comet(x,y)

axis([-10 10 -1 1.5]);

grid on

運行后,在Matlab中自動生成動態曲線圖(如圖1所示)。

圖1 函數的動態曲線圖

當學生從幾何上深刻感知函數值隨著自變量取值的變化,教師可以指導學生通過Matlab的limit命令直接計算函數的極限,進一步去計算其他函數的極限。

在Matlab中輸入如下程序:

syms x y;

y=sin(x)/x;

limit(y,x,0)

ans =

0

二、Matlab在導數教學中的應用

Matlab的diff命令可以直接計算函數的導數,以函數y=x2為例:

例3:求函數y=x2在x=1處的導數,并求出在該點處的切線方程。

在Matlab中輸入如下程序:

close all;clear all;clc;

syms x

y=x^2

symDf1=diff(y,x,1);%求解y=x^2的一階導數Symbolic function

df1=matlabFunction(symDf1);

df1(1)

得到y=x2在x=1處的導數值為2,通過點斜式方程,得到切線在該點的切線方程為y=2x-1。

由于y=x2在x=1處的導數值即為曲線在該點處切線的斜率,為了讓學生更好地理解導數的意義,我們選擇幾個點,通過x→1時割線的位置變化,直觀展示出割線的極限即為切線。

首先,通過Matlab程序,在x=1附近選擇6個點,分別為(0,0),(0.5,0.52),(0.99,0.992),(1.01,1.012),(1.5,1.52),(2,22),觀察x趨于1時,割線的位置變化情況(圖2),幫助學生理解導數的幾何意義,對切線是割線位置的極限有了更深的認識。

圖2 函數y=x2在6個點處的割線(虛線為切線)

從上圖可以觀察到,x越靠近1,割線越接近切線。進一步驗證了導數就是切線的斜率這一結論。

為了提升演示效果,還可以將割線位置接近切線的過程進行動態展示,我們將步長設置為0.1,逐步演示當自變量x從0趨向于1,以及x從2趨向于1時,割線的變化規律(見圖3、圖4、圖5)。

圖3 割線的動態展示(初始狀態)

圖4 割線的動態展示(5次迭代后)

圖5 割線的動態展示(最終位置)

在動畫展示過程中,學生認識到曲線割線位置的極限即為切線,同時,更深刻地體會到了導數的幾何意義,導數是函數的局部性質,對于給定的函數,當函數的自變量和取值都是實數的時候,它在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。通過Matlab的動畫演示,我們更清晰地看到數形之間的聯系,同時也大大提升了學生的積極性和興趣,提升了學習效果[8-9]。

三、Matlab在積分教學中的應用

積分是高等數學的一個核心概念,也是需要學生重點掌握的概念,在高等數學教學中,積分主要分為不定積分和定積分兩個部分,Matlab軟件功能強大,既可以求函數的不定積分,也可以計算函數在指定區間上的定積分。Matlab計算積分是通過int命令實現[7]。

(一)Matlab計算不定積分

在Matlab中輸入如下程序:

close all;clear all;clc;

syms x

y=x*exp(x^2)

int(y);

pretty(int(y))

當被積函數中包含由字母表示的數時,要通過Matlab的int(f,v)命令,計算函數f對變量v的不定積分。

在Matlab中輸入如下程序:

close all;clear all;clc;

syms x a

y1=1/((a^2+x^2))

y=int(y1,x);

pretty(y)

(二)Matlab計算定積分

除了不定積分,Matlab軟件也可以計算定積分,通過Matlab的int(f,a,b)命令,求函數f在區間[a,b]上的定積分;當函數f包含由字母表示的數,要通過Matlab的int(f,v,a,b)命令,計算函數f對變量v在區間[a,b]上的定積分。

在Matlab中輸入如下程序:

close all;clear all;clc;

syms x

y1=sin(x)

y=int(y1,0,pi);

(三)Matlab通過數值計算方法計算定積分

對于初等函數來講,雖然原函數存在,但是其原函數不一定都是初等函數,也不一定能夠用解析式表達,此時用符號解法計算定積分失效,我們可以通過數值積分去計算定積分的值[10]。

求定積分近似值的方法,教材上通常給出的是矩形法、梯形法和拋物線法(辛普森法),接下來就以一個例子來說明這三種辦法求解定積分近似值的過程[1]。

矩形法:

在Matlab中輸入如下程序:

dx=0.1;

x=0:dx:1;

y=4./(1+x.^2);

sum(y(1:length(x)-1)*dx)

梯形法:

拋物線法:

小曲邊梯形的曲邊通過拋物線近似,得到小曲邊梯形面積的近似值,進一步得到定積分的近似值,在新版本的Matlab軟件中可通過integral命令計算:

Matlab程序如下:

y=@(x)4./(1+x.^2);

val=integral(y,0,1,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-13)

本例所給積分的精確值可以通過int命令直接計算得到:

下表展示了本例積分的精確值及不同數值積分方法計算處的積分值,可見,通過拋物線法(integral命令)得到的精確值最高。

不同數值積分方法得到的結果比較表

一元函數積分學是學好高等數學的基礎,在學習過程中,許多同學都會反映有點難度,教師在教授積分方法與技巧的同時,用Matlab軟件實現積分計算,不僅可以幫助學生掌握一些積分公式,還可以對積分的結果進行驗證。同時,對于復雜函數的積分,當原函數無法用初等函數表示時,我們仍然可以通過數值積分的方法,在Matlab軟件上計算出定積分值,在這個過程中加強了學生的學習積極性和學好高等數學的信心。

(四)Matlab計算重積分

在實際問題中,往往要計算與多元函數有關的量,比如計算空間立體的體積、計算曲面面積等,即要把積分加以推廣。在高等數學教學中,二重積分是教學的重點也是難點。

當積分區域D為X-型區域時,即當區域為:

當積分區域D為Y-型區域時,即當區域為:

在Matlab軟件中可以計算重積分,所用到的命令仍然是int,當積分區域為X-型區域時,Matlab命令為int(int(f,y,φ1(x),φ2(x)),x,a,b),當積分區域為Y-型區域時,Matlab命令為int(int(f,x,ψ1(y),ψ2(y)),y,c,d)。下面以具體例子來說明二重積分的計算。

在Matlab中輸入如下程序:

syms x y

f=x*y;

int(int(f,y,0,1-x),x,0,1)

由于積分區域既是X-型區域也是Y-型區域,可以考慮用兩種不同的方法求解。

在Matlab中輸入如下程序:

syms x y

f=4-2*x-y;

int(int(f,y,-1,1),x,-2,2) 注:將積分區域看作X-型區域。

int(int(f,x,-2,2),y,-1,1) 注:將積分區域看作Y-型區域。

輸出結果均為32。

由此可見,Matlab僅僅用一些簡單的指令就可以計算重積分,二重積分的計算比一元函數的積分要復雜一點。通過Matlab軟件,學生可以直接得到積分值,大大提升了學生的課堂參與度,激發學生學習的興趣,對于計算機軟件的運用能力也得到了提升。

四、Matlab在微分方程教學中的應用

函數是微積分的研究對象,反映了客觀事物的內在聯系,在科學研究和生產實際問題中,尋找事物間的函數關系非常重要,但很多情況下,函數關系不能直接得到,而是根據問題情境,列出未知函數及其導數的關系式,這樣的關系式即為微分方程,當未知函數為一元函數時,即為常微分方程。隨著科技進步與發展,物理、經濟、金融、航空航天等眾多領域的問題都可以描述為常微分方程,因此它的運用也非常廣泛。在教學過程中,教師要引導學生不斷探索和發現生活中的數學問題,通過微分方程,建立數學模型去描述、分析和解決實際問題,提升數學知識的應用能力。

Matlab軟件求解常微分方程,得到微分方程的符號解,是通過dsolve命令實現的[11]。

在Matlab中輸入如下程序:

syms y(x)

y(x)=dsolve(diff(y,x)==2*x*y)

得到結果為y=Cex2。

例11:求微分方程y″+2y′+y=0滿足初始條件y(0)=4,y′(0)=-2的特解。

在Matlab中輸入如下程序:

syms y(x)

Dy=diff(y);

y(x)=dsolve(diff(y,x,2)+2* diff(y,x)+y==0,y(0)==4,Dy(0)==-2)

得到結果為y(x)=4e-x+2xe-x

在教學過程中,我們講到不同類型的微分方程,如可分離變量的微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、二階常系數齊次線性微分方程等,對于不同類型的微分方程,有不同的解題方法,因此常微分方程既是教學重點,也是難點。Matlab功能強大,可以通過dsolve命令計算出微分方程的解析解,計算準確,運行效率高。將Matlab與高等數學教學結合起來,學生可以將手工計算的結果進行驗證,提升了教學質量和教學效果。

結語

在?？聘叩葦祵W教學中引入Matlab軟件,在保持原有教學體系不變的前提下,弱化定理的證明和邏輯推導,通過設計和專業知識相結合的案例,讓學生在實踐中學到了知識,即克服了教學內容抽象、不直觀的不足,又讓學生逐步學會Matlab軟件使用和操作方法,增強了學生的實踐能力和應用能力,感知數學美,進一步增強學好數學的自信心。