基于TMDI 的大跨度橋梁顫振控制理論研究

封周權 ，吳強強 ，陳智 ，劉啟明 ，李聰 ，華旭剛

［1.風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室（湖南大學），湖南 長沙 410082；2.湖南大學 重慶研究院，重慶 401135；3.長沙市公共工程建設中心，湖南 長沙 410013］

隨著大跨度橋梁的發展，橋梁結構剛度和阻尼不斷下降，橋梁風致振動問題越來越突出.主梁和其他主要承重構件在風的作用下較易產生大幅振動，影響結構安全.其中，顫振是影響結構安全的一種大幅風致振動，是一種自激性、發散的氣動彈性不穩定現象.顫振一旦發生，可能導致橋梁結構徹底毀壞，橋梁設計過程中必須加以控制，避免橋梁顫振的發生.

目前，橋梁顫振控制措施主要有結構措施、氣動措施和機械措施3 種類型.在機械措施中，調諧質量阻尼器（Tuned Mass Dampers，TMD）因其簡單性和有效性而被廣泛采用.Gu 等［1］對采用TMD 提高大跨度橋梁顫振臨界風速進行了理論計算和實驗研究，結果表明TMD 能顯著提高顫振臨界風速.Lin 等［2-3］分析了多重調諧質量阻尼器（Multiple Tuned Mass Dampers，MTMD）設定參數對顫振控制的影響，并與單TMD 相對比，結果表明MTMD 在橋梁顫振控制方面更為有效.Chen 等［4］對橋梁-TMD 進行了多模態顫振分析并研究了使用TMD 控制由負阻尼引起的橋梁顫振，結果表明TMD 控制性能依賴于橋梁的動力特性和氣動特性.TMD 在橋梁減振實際應用方面也存在著一些問題，如豎向TMD 的質量塊靜位移過大及動位移響應過大等［5］.這些問題導致TMD 在箱梁結構中使用受限，影響其實用性.

近年來，慣容的提出使得振動控制由傳統的二元減振（阻尼和剛度）拓展為三元減振（慣容、阻尼和剛度）［6］.慣容是由Smith［7］提出的一種新型雙節點機械元件，元件兩端作用力與兩端相對加速度成正比，這個比例系數稱為慣性質量.慣容機械元件能夠將線性運動轉化為高速旋轉運動，從而實現慣性質量遠大于實際物理質量，目前可以產生比實際質量高兩個數量級的慣性質量［8］.慣容在土木工程振動控制領域的應用得到了國內外許多學者的關注和研究［9］.Wang 等［10］研究3 種不同的建筑模型，證明了用慣容減小建筑物振動的性能優勢.Ikago 等［11］提出了一種調諧黏滯質量阻尼器（Tuned Viscous Mass Damper，TVMD）以減輕建筑物的地震響應，擬采用的TVMD 已在日本的鋼結構建筑中應用［12］.Lazar等［13］將彈簧、阻尼、慣容結合在一起，形成了調諧慣容阻尼器（Tuned Inerter Damper，TID），以減少建筑物地震響應，結果表明只需增加少量質量即能實現更優的振動控制性能.Marian 等［14］將慣容與傳統的TMD 連在一起形成了調諧質量慣容阻尼器（Tuned Mass Damper Inerter，TMDI）以減少隨機支座激勵結構系統的振動響應，結果表明TMDI 比TMD 在減少支座激勵振動響應方面效果更好.Wen 等［15］、Pietrosanti 等［16］進一步對比和討論了TVMD、TMDI 和TID 減少結構地震響應方面的性能.李亞敏等［17］研究了電磁慣容阻尼器對超長斜拉索的減振性能，結果表明其響應控制效果優于黏滯阻尼器.Xu 等［18］進行了TMDI在控制橋梁渦振方面的性能研究，結果表明TMDI可以明顯降低橋梁渦激振動響應，且能夠有效減小質量塊靜位移和動位移.

因慣容具有放大物理質量的特性，把慣容加入傳統TMD 系統中形成TMDI從而改善傳統TMD 的性能.目前國內外尚未見到將TMDI用于大跨度橋梁顫振控制方面的研究.本文提出使用TMDI控制大跨度橋梁顫振，以期提高其顫振臨界風速.本文介紹了一種TMDI用于橋梁顫振控制的適用布置形式，建立具有彈簧、阻尼、慣容的單自由度TMDI 系統的自由振動方程.基于二維耦合顫振理論推導了橋梁-TMDI系統運動微分方程.最后基于具有理想平板斷面的簡支梁算例，研究了TMDI參數設定對橋梁顫振控制的影響.

1 基本理論

1.1 單自由度TMDI系統

單自由度TMDI系統由質量、彈簧、阻尼和慣容4部分組成，如圖1所示，結構質量和剛度分別用m和k表示，阻尼和慣容分別用c和b表示，結構位移以靜力平衡位置為基準，用x表示.單自由度TMDI 的自由振動微分方程為：

圖1 單自由度豎向TMDI系統Fig.1 Single degree of freedom vertical TMDI system

令x=Geλt，代入式（1），則有：

令ω2=k∕(m+b)，得

式（3）的兩個根為：

式中：t為時間；G為復數幅值；λ為復數變量；ω=為系統固有頻率.定義ε=c∕2(m+b)ω為系統結構阻尼比.所求的根式中的根號項為零的情況即為臨界阻尼條件.

對于懸掛式豎向TMD，文獻［5，19］提出采用x0=估算質量塊靜位移，沿用該形式結合單自由度系統結構動力分析，對于懸掛式豎向TMDI，采用x0=mg∕(m+b)估算質量塊靜位移.其中，g為重力加速度，ωTMD、ωTMDI分別為TMD、TMDI 的頻率.

1.2 橋梁-TMDI系統布置形式

為了更好地控制橋梁主梁結構的扭轉振動，在靠近箱梁橫截面邊緣位置布置2 個對稱的TMDI.在最初提出的TMDI 系統中［14］，慣容一端連接質量塊，一端接地可以更好地利用慣容放大物理質量的特性，但由于橋梁主梁斷面位置較高，在實際工程中難以實現，故采用如圖2所示的布置形式.TMDI的慣容b2、彈簧k2、阻尼c2三者并聯在質量m2和主梁頂底面之間，l為TMDI 到橋梁截面中心的距離，h1、α1分別為橋梁的豎彎位移、扭轉廣義位移，h2、h3分別為兩個TMDI質量塊相對于主梁的豎向位移，線性慣容力F與慣容兩端的加速度μa和μb之差成正比.

圖2 橋梁-TMDI系統布置圖Fig.2 Layout of the bridge-TMDI

1.3 基于TMDI的二維耦合顫振控制理論

基于兩自由度經典顫振理論［20］，考慮最低階的豎彎和扭轉模態，通常可以產生最低顫振臨界風速.

本文僅考慮最低階豎彎和扭轉模態參與的二維耦合顫振，建立橋梁-TMDI系統運動微分方程.單位長度主梁受到的氣動升力Lse和氣動扭矩Mse［21］如下：

式中：U為來流風速；ρ為空氣密度；B為橋面寬度；為顫振導數，i=1，2，3，4，與橋梁斷面形狀有關.

由圖2得2個TMDI的運動方程分別為：

采用分離變量法，假定橋梁豎彎振型和扭轉振型分別為h1=?(s)μ(t)和α1=ψ(s)γ(t)，代入式（7）、式（8）.其中，?(s)、ψ(s)分別為橋梁豎彎模態、扭轉模態形狀函數；μ(t)、γ(t)分別為橋梁豎彎振型、扭轉振型廣義坐標；s為橋梁各構件中性軸坐標.則2 個TMDI的運動方程分別為：

式中：z0為TMDI在順橋向的位置.

橋梁結構在TMDI、氣動升力和氣動扭矩作用下，豎向位移、扭轉位移運動方程分別為：

式中：m1、c1、k1分別為橋梁每延米質量、豎向阻尼、豎向剛度；Iα、cα、kα分別為橋梁每延米質量慣性矩、扭轉阻尼、扭轉剛度；FTMDI和MTMDI分別為TMDI 作用在主梁上的豎向力和扭矩.

將式（5）～（10）代入式（11），方程兩邊同時乘以?(s)得：

式中：Ms、Ch和Kh分別為橋梁豎彎振型的模態質量、阻尼和剛度；C11、C12分別為豎彎模態積分、豎彎扭轉模態耦合積分.

將式（5）～（10）代入式（12），方程兩邊同時乘以ψ(s)得：

式中：Is、Cα和Kα分別為橋梁扭轉振型的模態質量慣性矩、阻尼和剛度；C22為扭轉模態積分.

橋梁-TMDI結構系統運動方程為：

式中：M、C、K分別為系統質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；Y為系統位移向量.令Y=Xeλt，X為復數幅值，代入式（16），則有：

式（18）有非零解，則要求其系數行列式為零，即：

展開式（19），得

式（20）多項式解的實部都小于零代表衰減振動，結構處于穩定狀態；多項式有一個解實部大于零代表發散振動，結構處于發散狀態；多項式任一解實部等于零為臨界狀態，此時計算的風速即為顫振臨界風速.根據勞斯-赫爾維茨穩定性判據，編寫橋梁-TMDI系統顫振臨界風速的求解程序.

2 算例

2.1 算例驗證

為了檢驗本文理論方法及求解程序的正確性和可靠性，采用文獻［22］中具有理想平板斷面的簡支梁模型進行驗證.設置縱橋向為x軸、橫橋向為z軸、豎向為y軸，簡支梁橋橋長L取300 m，橋寬B取40 m.材料屬性彈性模量E取210 GPa，泊松比為0.3.豎向抗彎慣性矩IZZ取10 m4，橫向抗彎慣性矩IYY取85.714 m4，抗扭慣性矩IXX取5.076 m4.每延米質量m為20 t，每延米質量慣性矩Im為4.5×106kg·m，空氣密度ρ為1.248 kg∕m3.

采用BEAM4 單元模擬主梁，采用MASS21 單元模擬質量和質量慣性矩，全橋模型共30 個梁單元、29 個質量單元，對于細長梁的質量采用集中質量矩陣近似.模型左端支座約束UX，UY，UZ，ROTX，右端支座約束UY，UZ，ROTX，如圖3 所示.表1 為簡支梁前10階模態分析結果.

表1 簡支梁前10階模態分析結果Tab.1 The first ten modal analysis results of simple supported beam

圖3 簡支梁有限元模型Fig.3 Finite element model for simply supported beam

假定各階模態阻尼比為零，選取簡支梁1階正對稱豎彎及1階正對稱扭轉模態，計算簡支梁的顫振臨界風速.文獻［21，23］零攻角理想平板顫振導數解析解為無量綱折算頻率k(k=bbω∕U)或無量綱頻率K(K=2k)的函數，與橋面半寬bb、振動圓頻率ω（由模態分析結果可知）、來流風速U（程序搜索計算給出）等參數有關.顫振臨界風速計算結果為135.01 m∕s，顫振頻率為0.397 8 Hz.根據文獻［22］可知，具有理想平板斷面的簡支梁顫振臨界風速精確解為136.30 m∕s，顫振頻率精確解為0.391 4 Hz，具體結果對比見表2.說明本文理論方法及求解程序具有較高的精度.

表2 顫振計算結果對比Tab.2 Comparison of flutter analysis results

2.2 TMDI參數設定

以具有理想平板斷面的簡支梁為算例，研究TMDI 參數設置對顫振控制的影響.設定TMDI 顫振控制效率為：

式中：UTMDI、Ub分別表示橋梁-TMDI系統和橋梁原結構顫振臨界風速.

TMDI 用于顫振控制的主要參數主要包括：TMDI 的安放位置、質量、慣容、頻率和阻尼比.TMDI控制效率與其慣性力有關，一般TMDI安放在橋梁主梁振幅最大位置，本文TMDI 安放在主梁跨中位置，為了控制橋梁扭轉，TMDI盡量安放在靠近橋梁橫斷面邊緣位置，l取16 m.對TMDI的質量、慣容、頻率和阻尼比本文分別設定了較大取值區間以獲得更好的研究結果.分別設定TMDI 質量比μm、TMDI 慣容比β、TMDI頻率偏比μω及阻尼比εTMDI.

式中：mTMDI、bTMDI、ωTMDI、cTMDI分別為TMDI 的質量、慣容、頻率、阻尼系數；mb、ωb分別為橋梁每延米模態等效質量、顫振頻率.

2.3 TMDI參數分析

質量比μm取0.1～0.8，間距為0.1，共8 組；慣容比β取0～0.8，間距為0.1，共9 組；頻率偏比μω取-0.25～0.25，共15 組；阻尼比εTMDI取0～0.1，間距0.02，共6組.對以上所有參數利用橋梁-TMDI 系統顫振臨界風速求解程序對具有理想平板斷面的簡支梁進行顫振分析，并與傳統TMD（慣容比β=0）分析結果進行對比研究.

圖4 給出了質量比μm為0.4、阻尼比εTMDI為0.04時，顫振控制效率與頻率偏比的關系.由圖4 可知，TMDI的顫振控制效率略遜于TMD，當慣容比分別為0.2、0.4 時，TMDI 顫振控制效率相比于TMD（慣容比β=0）分別下降了6.78%、18.17%，這與慣容連接在質量塊和橋面板之間未能接地有關，慣容能放大物理質量的特性并沒有完全被利用.分別用x0=和x0=mg∕(m+b)估算TMD、TMDI 質量塊的靜位移.當慣容比分別為0、0.2、0.4 時，質量塊的靜位移分別為1.62 m、1.08 m、0.81 m，TMDI 相比于TMD 質量塊靜位移大幅降低，分別下降了33.33%、50.00%，這取決于慣容比與質量比的比值.TMDI可以在得到較好顫振控制效率情況下，大幅降低質量塊靜位移，在實際工程顫振控制方面，TMDI更為實用.

圖4 TMDI顫振控制效率與頻率偏比的關系（μm=0.4，εTMDI=0.04）Fig.4 Relationship between TMDI flutter control efficiency and frequency offset ratio（μm=0.4，εTMDI=0.04）

從圖4 可以看出，TMDI 中間有效帶寬比TMD 更窄，TMDI顫振控制效率對頻率更加敏感.TMDI頻率偏離橋梁結構顫振頻率適用范圍時，TMDI顫振控制效率會迅速下降.當頻率偏比達到一定程度時，無論怎樣調整TMDI 的其他參數，對TMDI 顫振控制效率提升效果都不大.一般在頻率偏比接近零的情況下，可以獲得較優顫振控制效率，在實際工程應用中TMDI的頻率設定非常重要.

圖5～圖7 對比了不同阻尼比TMDI 顫振最優控制效率與質量比的關系.由圖6 可知，當μm=0.6，慣容比分別為0.2、0.4、0.6、0.8 時，顫振最優控制效率分別為13.94%、13.14%、11.87%、10.36%，在慣容、阻尼、彈簧并聯在質量塊和主梁頂底板之間的布置形式下，慣容會削弱TMDI顫振控制效果.由圖7可知，當β=0.2，質量比分別為0.2、0.4、0.6、0.8 時，顫振最優控制效率分別為3.03%、7.51%、11.90%、16.09%，質量比的增大，對TMDI顫振最優控制效率有明顯的提升作用，這與傳統TMD 的特性類似；在給定條件下，2 個TMDI 的顫振控制效率達到了16.09%，說明TMDI 能有效控制橋梁顫振，提高橋梁顫振臨界風速.從圖5～圖7對比可以看出，質量比為0.2時，阻尼比為0.02 時的顫振控制效率最高；質量比分別為0.4、0.6時，阻尼比為0.04時的顫振控制效率最高；質量比為0.8 時，阻尼比為0.06 時的顫振控制效率最高.對于阻尼比的影響，總的來說，當質量比較小時，阻尼比較小更加有效；質量比較大時，較大的阻尼比更為有效，阻尼比的選擇范圍也更廣.

圖5 TMDI顫振最優控制效率與質量比的關系（εTMDI=0.02）Fig.5 Relationship between TMDI optimal flutter control efficiency and mass ratio（εTMDI=0.02）

圖6 TMDI顫振最優控制效率與質量比的關系（εTMDI=0.04）Fig.6 Relationship between TMDI optimal flutter control efficiency and mass ratio（εTMDI=0.04）

圖7 TMDI顫振最優控制效率與質量比的關系（εTMDI=0.06）Fig.7 Relationship between TMDI optimal flutter control efficiency and mass ratio（εTMDI=0.06）

3 結論

以具有理想平板斷面的簡支梁為例，經過橋梁-TMDI 系統顫振臨界風速求解及參數分析研究，并與傳統TMD 控制效果進行比較，得出了以下結論：

1）TMDI 可以有效提高橋梁的顫振臨界風速，在給定條件下，顫振控制率可以達到16.09%.

2）雖然與TMD相比，TMDI顫振控制效率略有降低，但TMDI 可以大幅減小質量塊的靜態位移.在保證良好顫振控制效果的前提下，靜態位移可以降低50.00%以上，使TMDI在實際工程中更具實用性.

3）質量越大，TMDI 顫振控制效果越明顯.同等條件下相對于慣容，質量對顫振控制效果影響更明顯.

4）TMDI阻尼比具有不同的質量適用范圍.當質量較小時，較小的阻尼比更有效；當質量較大時，較大的阻尼比效果更佳，適用范圍也更廣泛.

5）TMDI 顫振控制效率對TMDI 頻率極為敏感.較小的頻率偏差會導致顫振控制效率明顯下降，因此在實際工程應用中，TMDI頻率設定至關重要.

本文為TMDI 在橋梁顫振控制工程應用中的可行性提供了理論參考.TMDI 二維耦合顫振理論適用于豎彎和扭轉模態較純的橋型，對于模態耦合復雜的橋型，多模態理論更為適用.本文基于線性顫振理論采用頻域方法進行顫振分析，后續可以考慮顫振的非線性，研究TMDI非線性顫振過程中的動態位移響應.另外，彈簧、阻尼、慣容并聯的方式，未能充分發揮慣容放大物理質量的作用，可以考慮改變三者連接方式或使慣容類接地，以更有效地發揮慣容的作用.