考慮SSI 效應的輸電塔-線耦合系統抗震可靠度分析

王磊 ，李正良 ，2，王濤

［1.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045；2.山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室（重慶大學），重慶 400045；3.哈爾濱工業大學 交通科學與工程學院，黑龍江 哈爾濱 150040；4.哈爾濱工業大學 哈爾濱工業大學重慶研究院，重慶 401151］

輸電線路作為重要的生命線工程，其安全運行是保證國家經濟發展與人民幸福生活的基礎.隨著我國電力行業的快速發展，電網布設范圍更加廣泛，輸電線路不可避免地跨越地震頻發區［1］.近年來，國內外已有多起地震引發的輸電線路破壞事故［2］，這些事故不僅影響人們的正常生活，也使各國經濟遭受巨大損失.因此，為保障電力系統正常運行以及地震災后恢復，有必要對輸電線路的抗震性能展開研究.

在以往輸電塔設計中，通常假設地基土為剛性，導線作用則等效為靜力荷載施加于塔體，當輸電線路承受地震荷載時，上述假設下的結構計算響應與實際情況之間往往有較大誤差［3］.在輸電塔抗震設計中，若忽略土結相互作用以及塔線耦合作用，可能會低估結構響應，造成工程安全隱患.為此，國內外學者對考慮兩種作用的輸電塔結構抗震分析進行了大量的研究，并提出了相應的力學模型［4-8］.然而，上述研究多為確定性分析，實際地震動過程具有很強的隨機性，考慮到地震不確定性，從概率的角度對考慮SSI效應的輸電塔-線耦合系統進行抗震可靠度分析，對結構抗震設計及地震風險評估都具有重要意義.

1984年，Peyrot等［9］提出了基于可靠度的輸電塔設計，此后，各國學者對輸電線路的可靠度展開研究.Natarajan 等［10］將風荷載與構件抗力視為隨機變量，對輸電塔體系進行可靠度分析.俞登科等［11］基于等效隨機靜風荷載模型，考慮荷載隨機性，采用矩方法分析特高壓輸電塔的抗風體系可靠度.熊鐵華等［12］建立覆冰荷載作用下輸電塔失效模式的識別方法，并將所有的失效模式組成一個串聯系統，計算覆冰荷載下輸電塔-線體系可靠度.孔偉等［13］考慮覆冰厚度和風速的隨機性，對大風覆冰工況下的輸電塔可靠度進行分析.熊鐵華等［14］則將覆冰厚度、風速以及材料強度均視為隨機變量，采用響應面法模擬輸電桿塔構件極限狀態方程，并對構件可靠度進行求解.白海峰等［15］提出一種輸電塔風致疲勞可靠度分析及疲勞壽命的預測方法.以上研究主要關注風荷載以及覆冰荷載作用下的輸電塔可靠度分析.此外，亦有學者對輸電塔抗震可靠度展開研究，例如，劉玉龍等［16］根據實測資料，得到地震反應譜法中特征周期和地震影響系數最大值的概率分布及相關系數，考慮以上兩參數隨機性，對輸電塔進行抗震可靠度分析.黃帥等［17］運用正交展開方法得到隨機地震動，并基于概率密度演化理論，進行輸電塔順線方向的抗震可靠度分析.總體而言，學者對輸電塔抗震可靠度的研究仍然較少，考慮SSI 效應的塔-線體系抗震可靠度更鮮有涉及.

本文提出了隨機地震激勵下考慮SSI 效應的輸電塔-線耦合系統抗震可靠度分析方法.首先，建立耦合系統的簡化力學模型；其次，以隨機函數-譜表示方法生成隨機地震動，并基于簡化力學模型計算結構響應極值；最后，采用基于GF-偏差點集的樣本分數矩最大熵法重構等價極值事件概率密度函數，并求解系統抗震可靠度.以一實際算例證明了本文方法具有較高的精度和計算效率.

1 考慮SSI 效應的輸電塔-線耦合系統簡化力學模型

1.1 輸電塔-線體系簡化模型

現有輸電塔-線體系簡化模型中，較為典型的是如圖1 所示的輸電塔-線體系多質點力學模型［4］.該模型將輸電塔簡化為串聯多自由度體系，導線簡化為集中質點，導線在塔-線體系側向振動和縱向振動中分別等效為錘鏈和懸索.如圖1（b）所示，在塔-線體系側向振動模型中，輸電塔可簡化為N個集中質點，即m1，m2，…，mj，…，mN，單層導線可簡化為2 個錘鏈，即mAi、mBi，若塔-線體系具有n層導線，則該模型具有2n+N個自由度，其振動為彈性-重力耦聯振動.

經推導，可得輸電塔-線體系隨機地震作用下的側向振動運動方程為：

式中：u為側向振動位移向量為速度向量為加速度向量為隨機地震動加速度；I為單位向量；M、K和C分別為質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣.剛度矩陣K可表示為：

式中：h為絕緣子長度；h1與h2定義見圖1；kj，j為輸電塔剛度系數，可采用輸電塔-線體系空間有限元模型，通過自由度靜態縮聚的方法獲得.

式（1）中，質量矩陣M采用集中質量矩陣，阻尼矩陣C采用瑞雷阻尼矩陣，其表達式分別為：

式中：α=2ξω1ω2∕（ω1+ω2）；β=2ξ∕（ω1+ω2）；ξ為阻尼比；ω1、ω2為輸電塔前兩階頻率，可由輸電塔空間有限元模型模態分析得到.

1.2 下部結構簡化模型

本文將塔底基礎簡化為具有等效質量m0和等效轉動慣量I0的集中質點.在土結相互作用的計算中，集中參數模型計算簡單，應用方便，本文采用S-R（Swaying-Rocking）模型來考慮地震作用下地基土對結構動力響應的影響，且不考慮結構豎向振動.該模型在基礎平動方向和轉動方向均設置彈簧和阻尼器，彈簧及阻尼參數由阻抗函數確定［18］：

式中：KS、KR分別為水平振動和搖擺振動的剛度阻抗；CS、CR為相應的阻尼阻抗；ρ為土體質量密度；v為土體泊松比；VS為土體剪切波速；r為基礎底板等效半徑，若等效基礎為圓形基礎，等效面積為A0，等效轉動慣量為I0，則對于平動，r=（A0∕π）1∕2，對于轉動，r=（4I0∕π）1∕4.參考《建筑與市政工程抗震通用規范》（GB 55002—2021）［19］，假設3種地基土體參數如表1所示.

表1 土體參數Tab.1 Parameters of different soil types

1.3 耦合系統運動方程

如圖2 所示，將塔-線體系的多質點模型、基礎簡化模型和下部地基的彈簧-阻尼模型結合，可建立考慮SSI效應的塔-線耦合系統簡化力學模型.

圖2 考慮SSI效應的輸電塔-線耦合系統簡化力學模型Fig.2 Simplified mechanical model of transmission tower-line coupling system considering SSI effect

基于式（1），可得考慮基礎位移的塔-線體系多質點模型側向振動運動方程：

建立基礎塔-線體系多質點模型的水平力平衡方程和關于過基礎形心軸的力矩平衡方程：

式中：mk、hk和Ik分別代表塔-線體系中第k個質點的質量、離地高度、相對加速度以及繞基礎形心軸的轉動慣量；m0為基礎等效質量；I0為基礎等效轉動慣量；V0和M0分別為地基土與基礎之間的相互作用的剪力和力矩，其可表示如下［20］：

式中：u0與θ0分別為基礎相對地面的平動位移和轉動位移；KS、CS由式（5）確定；KR、CR由式（6）確定.

聯立式（7）～式（10），可得考慮SSI 效應的塔-線耦合系統運動方程：

矩陣m與h計算式如下：

2 考慮SSI 效應的輸電塔-線耦合系統抗震可靠度分析方法

2.1 抗震可靠度分析的等價極值事件

對一考慮荷載不確定性的結構體系，其動力響應可表示為包含荷載不確定參數Θ的隨機過程.對于本文提出的考慮SSI效應的輸電塔-線耦合系統簡化力學模型，動力位移響應Ui（Θ，t）控制下的結構整體失效概率可表示為：

式中：Pr 表示概率；U*為位移閾值；T為荷載持續時間.對式（12）直接求解較為困難，可基于等價極值事件的思想［21］，構造一個等價極值事件：

式（12）可轉化為：

若等價極值事件Ue的概率密度函數為，則結構失效概率可進一步表示為：

本文基于隨機函數-譜表示方法模擬隨機地震動，采用基于GF-偏差點集的樣本分數矩最大熵法估計等價極值事件Ue的概率密度函數，進而分析考慮SSI效應的塔-線耦合系統抗震可靠度.

2.2 基于隨機函數-譜表示方法的平穩隨機地震動過程

基于隨機過程的演變譜表示理論，平穩隨機地震動過程üg（t）可表示為［22］：

式中：｛Xk，Yk｝為一組標準正交隨機變量；ωk為圓頻率；Δω為頻率間隔；ωk=kΔω，k=1，2，…，N；SU（ωk）為隨機地震動過程üg（t）的雙邊功率譜密度函數.

基于式（16）的隨機過程演變譜表示方法，文獻［22］用隨機函數來構造標準正交隨機變量，降低了問題維度，提高了隨機過程的模擬效率.當采用單個隨機變量構造隨機函數時，有［22］：

式中：隨機變量Θ服從區間［-π，π］上的均勻分布；α為常數，可取π∕4.通過一定的選點方法得到隨機變量Θ的樣本值，代入式（17），得到一組隨機數，n=1，2，…，N，由與式（16）中｛Xk，Yk｝的映射關系，得到一組正交隨機數｛Xk，Yk｝，k=1，2，…，N，代入式（16），即可獲得平穩隨機地震動過程üg（t）基于隨機函數-譜表示的結果.

2.3 基于GF-偏差點集的樣本分數矩最大熵法

傳統的分數矩最大熵法采用單變量降維進行分數矩估計［23］，其計算精度受功能函數形式的影響，難以廣泛地適用于復雜工程問題.因此，本文發展了一類基于GF-偏差點集的樣本分數矩最大熵法，進行考慮SSI 效應的輸電塔-線耦合系統抗震可靠度分析.

2.3.1 基于GF-偏差點集的極值變量分數矩估計

對于式（13）定義的等價極值事件Ue，其α階分數矩可表示如下：

式中：α為任意實數；為變量Ue的概率密度函數；Ω為變量Ue分布域.

將變量ua在常數c處進行泰勒（Taylor）展開可得：

對等式（19）兩邊求取期望得：

由式（20）可知，變量的任意階分數矩包含了無窮整數矩信息，因此，少量分數矩即可刻畫變量的概率分布特征，包括尾部信息.

根據式（18），變量Ue的各階分數矩可采用樣本值進行估計，即

式中：u（i）（i=1，2，…，N）為變量Ue的樣本點.

為了精確地估計變量Ue的分數矩，本文采用文獻［24］提出的GF-偏差點集選取樣本點.具體地，若Ψn=｛uq=（uq，1，uq，2，…，uq，k），q=1，2，…，n｝為一個k維點集，則其GF-偏差定義為：

式中：uq，i是uq的第i個分量；Pq是點uq的賦得概率.GF 偏差越小，點集越佳.有關GF-偏差點集的詳細內容可參考文獻［24］.

2.3.2 樣本分數矩最大熵法

對于變量Ue，若其概率密度函數為fUe(u)，其信息熵定義為：

以變量Ue的熵取最大值為目標函數，以其分數矩，k=1，2，…，m為約束條件，可建立優化模型［23］：

引入Lagrange 乘子，將上述優化模型轉化為無約束優化模型，定義Lagrange函數如下：

式中：λ=[λ0，λ1，…，λm]T為Lagrange 乘子向量；α=[α0，α1，…，αm]T為分數矩的階次向量.

上述無約束優化問題在其最優解處需滿足?L[λ，α(u)]∕?(u))=0，從而可得(u)的估計表達式：

式中：λ0為信息熵概率密度函數歸一化參數，其計算式如下.

通過數值算法求解式（29）的優化問題，得到參數λ與α的最優解，將計算結果代入式（27），可求得變量Ue的概率密度函數的估計式.

3 算例分析

3.1 工程概況

本文以某特高壓交流輸變電線路的直線塔為 研究對象，考慮SSI效應和塔-線耦合作用，對其抗震可靠度進行分析.直線塔總高108 m，呼高60 m，塔腿根開20.2 m，其平面尺寸如圖3 所示.輸電線路擋距為600 m，單跨線路含有4 層8 根導、地線.導、地線通過懸垂絕緣子與輸電塔相連，導、地線懸垂絕緣子長度分別為13 m和0.6 m，導線單位長度質量為2.06 kg∕m，地線單位長度質量為1.747 kg∕m.塔底基礎為獨立基礎，各塔腿下的獨立基礎尺寸為6 m×6 m×1.2 m.

圖3 直線塔平面尺寸（單位：mm）Fig.3 Dimension of the suspension tower（unit：mm）

3.1.1 上部結構簡化

塔-線體系有限元模型如圖4 所示，將輸電塔簡化為11 個集中質點，輸電塔各集中質點的高度和質量如表2 所示.每層導、地線簡化為2 個錘鏈，由于懸垂絕緣子的重量較大不能忽略，導、地線的上下錘鏈質量不同，上錘鏈質量mB等于導、地線一半質量加上懸垂絕緣子質量，下錘鏈質量mA等于導、地線一半的質量.經計算，對于地線，mB=1 148 kg，mA=1 048 kg；對于導線，mB=7 236 kg，mA=1 236 kg.

表2 直線塔計算參數Tab.2 Calculate parameters of the suspension tower

圖4 塔-線體系有限元模型Fig.4 Finite element model of the transmission tower-line system

為求解輸電塔剛度系數kj，j和輸電塔前2 階頻率ω1、ω2，運用有限元軟件ANSYS 建立輸電塔-線體系有限元模型（圖4）.塔體桿件采用BEAM188 梁單元模擬，因桿件連接方式均為法蘭連接，將桿件密度均除以0.75 來考慮該連接對質量的影響；輸電線和絕緣子均采用LINK10 桿單元來模擬，輸電線遠端和輸電塔底端均采用固結模擬.

3.1.2 下部結構簡化

將塔腳下4 個獨立基礎等效為一個圓形基礎，耦合系統簡化力學模型中基礎等效集中質點的位置取圓形基礎的圓心，如圖5 所示.等效基礎面積A0取獨立基礎底面積之和，截面慣性矩I0取獨立基礎對塔基對稱軸的慣性矩之和，計算得基礎等效質量m0=449 280 kg，等效面積A0=144 m2，等效慣性矩I0=47 232 806.4 kg·m2，基礎平動等效半徑為6.77 m，基礎轉動等效半徑為11.78 m.將不同地基土土體參數及基礎等效半徑代入式（5）和式（6），可得土體等效剛度和等效阻尼，如表3所示.由表3可知，土體越軟，其等效剛度和等效阻尼值越小.

表3 土體等效剛度和等效阻尼Tab.3 Equivalent stiffness coefficient and damping coefficient of soil

圖5 塔底等效基礎Fig.5 Equivalent foundation of the transmission tower

3.2 隨機地震動模擬

基于隨機函數-譜表示方法，模擬隨機地震動加速度時程.考慮Clough-Penzien譜［25］：

式中：S（ω）為雙邊功率譜；ωg、ξg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比；ωf、ξf分別為基巖的卓越圓頻率和阻尼比；S0為譜強度因子，其計算式如下.

式中：amax為地震動峰值加速度；r為峰值因子.

本算例中，考慮抗震設防烈度8 度，場地類別Ⅳ類，設計地震分組為第2 組，設計基本地震加速度0.2g.基于文獻［26］，本文的功率譜參數選取如下：ωg=8.38 rad∕s，ξg=0.90，ωf=0.838 rad∕s，ξf=0.90，r=2.60，amax=200 cm∕s2.在地震動隨機過程的譜表達中，參數ωu=240 rad∕s，Δω=0.15 rad∕s，N=1 601，T=20 s，Δt=0.01 s，滿足Δt＜π∕ωu.

基于GF-偏差點集選取式（17）中隨機變量Θ的樣本點，選點總數為500.根據式（17）的結果及映射方式，得到式（16）中標準正交隨機變量的確定性取值，并模擬生成500 條隨機地震動加速度時程樣本.圖6為隨機地震動加速度時程代表樣本；圖7為樣本均值和標準差，其吻合度良好；圖8 為樣本均值功率譜與目標值，其吻合程度也較為理想.

圖6 隨機地震動加速度時程代表樣本Fig.6 Representative sample of stochastic seismic acceleration process

圖7 樣本均值和標準差Fig.7 The mean and standard deviation of samples

圖8 樣本均值功率譜與目標值Fig.8 The mean power spectral density of samples and target values

3.3 典型隨機地震動樣本的耦合系統動力響應分析

采用隨機函數-譜表示方法模擬生成隨機地震動后，將隨機地震動加速度沿垂直于導線方向作用于耦合系統.采用第1 節所述方法，考慮地基土類型為Ⅳ類（軟弱土），分別建立單塔、單塔地基、塔-線、塔-線地基4種體系的側向振動簡化模型.基于圖6，采用Newmark-β積分法進行動力時程分析.各體系塔頂位移與加速度最大值的結果如表4所示，圖9和圖10分別為不同體系塔頂位移和加速度時程曲線.

表4 塔頂位移與加速度最大值（不同體系）Tab.4 The maximum value of vertex displacement and acceleration（different systems）

圖9 塔頂位移時程曲線（不同體系）Fig.9 Time history curves of the vertex displacement of transmission tower（different systems）

圖10 塔頂加速度時程曲線（不同體系）Fig.10 Time history curves of the vertex acceleration of transmission tower（different systems）

由表4 和圖9 可知，當塔底地基土為軟弱土時，單塔考慮SSI 效應后，塔頂最大位移增大46.59%，且塔頂位移時程曲線形狀與單塔體系明顯不同；單塔考慮塔-線耦合作用后，塔頂最大位移減小0.51%，位移時程曲線形狀與單塔體系基本相同.在隨機地震作用下，當地基土較軟時，土結相互作用對輸電塔的位移響應影響較大，在塔體抗震設計中不易忽視，而塔-線耦合作用對位移響應影響較小，且導線有一定的減震作用.

由表4和圖10可知，當塔底地基土為軟弱土時，單塔考慮SSI 效應后，塔頂最大加速度增大17.43%；單塔考慮塔-線耦合作用后，塔頂最大加速度增大1.74%.在隨機地震作用下，當地基土較軟時，土結相互作用對輸電塔的加速度響應影響較大，而塔-線耦合作用對加速度響應影響較小.

3.4 典型隨機地震動樣本下不同土體類型對耦合系統動力響應的影響

考慮不同的地基土工況，基于圖6 隨機地震動加速度時程代表樣本，對耦合系統進行動力時程分析.表5 為不同工況下，耦合系統塔頂位移與加速度的最大值結果，圖11和圖12分別為不同工況耦合系統塔頂位移和加速度的時程曲線，其中固定端代表塔底地基土為剛性.

表5 塔頂位移與加速度最大值（不同工況）Tab.5 The maximum value of vertex displacement and acceleration（different conditions）

圖11 塔頂位移時程曲線（不同工況）Fig.11 Time history curves of the vertex displacement of transmission tower（different conditions）

圖12 塔頂加速度時程曲線（不同工況）Fig.12 Time history curves of the vertex acceleration of transmission tower（different conditions）

由表5 可知，地基土越軟，塔頂位移及加速度響應最大值越大.觀察圖11 和圖12 可知，在0～5 s 內，不同工況下塔頂位移和加速度響應形狀基本一致，幅值也基本相同；在5～20 s內，不同工況下塔頂位移響應時程曲線波形基本一致，但幅值明顯不同，地基土越軟，幅值越大；在5～20 s內，4種工況的塔頂加速度響應也有明顯差別.

3.5 耦合系統抗震可靠度分析

考慮地基土為軟弱土，以輸電塔位移響應為控制變量進行耦合系統抗震可靠度分析，塔頂位移響應極值為本文構造的等價極值事件.以500 條隨機函數-譜表示方法生成的隨機地震動加速度時程樣本計算塔頂位移響應極值，采用樣本分數矩最大熵法構建極值變量概率密度函數，并基于式（15）求解結構失效概率.采用單純形算法求解式（29）的無約束優化問題，在MATLAB 中，分別設置拉格朗日乘子λ與分數矩指數α的初始值為隨機數“1 000×rand（）”和“rand（）”.此外，本文進行106次蒙特卡洛模擬（Monte Carlo Simulation，MCS）計算，用于驗證建議方法的有效性.塔頂位移響應極值的概率密度函數（Probability Density Function，PDF）如圖13所示.不同體系極值變量的PDF 如圖14 所示.《110～750 kV 架空輸電線路設計規范》（GB 50545—2010）［27］規定了懸垂直線自立式鐵塔的計算撓度限值為3h∕1 000，其中h為桿塔最長腿基礎頂面起至計算點高度，計算得塔頂位移閾值為0.324 m，基于構建的概率密度函數求解系統失效概率，計算結果如表6所示.

表6 不同體系的失效概率Tab.6 Failure probabilities of different systems

圖13 塔頂位移響應極值的PDFFig.13 PDF of extreme value of the vertex displacement of transmission tower

圖14 不同體系極值變量的PDFFig.14 PDF of extreme variable of different systems of transmission tower

由圖13 可知，采用本文方法得到的塔頂位移響應極值的概率密度函數與MCS 結果吻合良好，尾部刻畫精確.此外，由表6 可知，采用本文方法計算的結構失效概率與MCS 結果相接近，最大相對誤差為9.97%.且相較于一百萬次MCS 法，建議方法僅需500次結構分析便可精確求解失效概率，具有較高的計算效率.

由圖14 可知，若塔下地基土為軟弱土，當考慮SSI 效應時，塔頂位移極值的概率密度函數峰值減小，曲線明顯右移，這說明塔頂位移響應增大，系統失效概率上升；而考慮塔-線耦合作用時，概率密度函數峰值增大，曲線輕微左移，這說明塔頂位移響應減小，系統失效概率下降.

圖15 為各體系失效概率相對于單塔的變化幅度.由圖15 可見，基于本文方法的計算結果，相對于單塔體系，單塔地基、塔-線、塔-線地基的失效概率變化幅度分別為96.72%、-15.71%、70.32%；基于MCS 的計算結果，對應的失效概率變化幅度分別為88.48%、-13.61%、68.17%.由此可知，對于輸電塔抗震可靠度，若以塔體位移為控制變量，當塔底地基土較軟時，土結相互作用將增加結構失效概率，且幅度較大；而塔-線耦合作用將減小結構失效概率，但幅度較小.

圖15 失效概率變化幅度Fig.15 The variation of failure probability

4 結論

本文建立了考慮SSI效應的輸電塔-線耦合系統的簡化力學模型，并推導了在隨機地震作用下系統側向振動的一般運動方程.結合隨機函數-譜表示方法和基于GF-偏差點集的樣本分數矩最大熵法，建立考慮SSI效應的輸電塔-線耦合系統抗震可靠度分析方法.選取工程中某特高壓輸電塔-線體系，進行結構抗震可靠度分析，其計算結果表明：

1）輸電塔結構考慮SSI 效應時，塔底地基土越軟，塔頂位移與加速度響應越大；當塔底地基土為軟弱土時，塔頂位移響應最大值增幅較大，結構失效概率顯著增加.

2）輸電塔結構考慮塔-線耦合作用時，輸電塔位移響應減小，但減小幅度較低，這說明導線具有一定的減震效果，結構失效概率有所減小.

3）本文方法可精確構建等價極值事件的概率密度函數，且結構失效概率的計算精度較高.相較于MCS 法，建議方法僅需少量的結構分析即可計算結構失效概率，計算效率顯著提升.

本文提出的考慮SSI效應輸電塔-線耦合系統抗震可靠度分析方法當前僅用于線性耦合系統中，其亦有望被推廣到非線性耦合系統.此外，為使該耦合系統抗震可靠度更接近工程實際，在未來的工作中，可在本文建議方法的基礎上考慮地震非平穩性和結構不確定性進行深入研究.