如何利用幾何畫板講解二次函數圖像的變化

宗迎峰

摘? 要：二次函數圖像是九年級數學教學中的重點，也是一個難點，因為二次函數圖像本身是一條曲線，不像一次函數圖像那么容易畫出，這就給教學活動帶來一定難度，所以在傳統教學中，教師很難直觀、準確地講清楚其性質特征及有關變化。運用幾何畫板中的畫圖、變化等工具，可以很快捷準確地畫出二次函數的圖像，并且能夠進行各種變化的動態演示，在學生頭腦中形成動態的映像，有利于學生更好地理解掌握二次函數圖像的有關變化。

關鍵詞：幾何畫板；二次函數圖像；圖像變化

一、研究背景

《義務教育數學課程標準（２０２２年版）》指出：促進信息技術與數學課程融合。因此教師可以合理利用現代信息技術，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革；在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養。

在探究函數圖像性質過程中，動態變化是一個很重要的內容，也是一個難點。因為在傳統教學中，體現出來的大多是一種靜態變化，教師很難把一些動態的問題解釋清楚，特別對一些空間想象能力較弱的學生而言更是如此。常用的ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ、Ｆｌａｓｈ動畫雖然能夠演示運動變化，但是由于它們不具備準確的計算、度量功能，因此演示的大多只是一種表象，很難反映出問題的本質。“幾何畫板”這一工具具有動態直觀、數形結合、色彩鮮明、變化無窮的特點，它的繪圖、計算、變化等功能能準確演示出圖像的運動，使學生能夠通過現象看到本質，這不僅極大地提升了學生的學習興趣，而且降低了學生理解問題的難度。

二次函數圖像的變化主要是做平移、軸對稱、中心對稱的變化，要求學生求出其變化后的解析式。教材中只涉及了在頂點形式下的平移變化，而對頂點形式下的軸對稱和中心對稱變化沒有做過多的安排。對一般形式下的變化，教學過程中通常采用先化成頂點的形式，然后再做相關的變化，這個過程比較煩瑣，容易出錯，并且學生對其變化以后的解析式缺乏準確透徹的理解。

在教學二次函數圖像的過程中，教師可以運用幾何畫板（５．０６版）這一工具，通過畫圖、變化、動畫等功能，讓學生在動態變化中觀察、體驗變化前后的圖像有哪些相同點、哪些不同點，進一步思考這些變化與不變給解析式帶來怎樣的變化，使學生體驗到數形結合的思想，從而更好地掌握教學內容。

因為函數圖像的變化會引起解析式中常數的相關變化，所以可以首先讓學生熟悉頂點形式ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ中各個常數的作用：ａ的絕對值決定著開口的大小，ａ的符號決定著開口的方向；ｋ決定著對稱軸（直線ｘ＝ｋ），還決定著頂點的橫坐標；ｈ決定著頂點的縱坐標，頂點坐標是（ｋ，ｈ）。

二、二次函數圖像在頂點形式下的軸對稱變化

以ｙ＝２（ｘ－３）²＋１為例，可以讓學生在練習本上畫出草圖，作關于ｘ軸對稱的圖形，觀察圖形的大致特征，思考哪些圖形發生變化、哪些不變，進一步思考解析式將發生怎樣的變化。但是通常學生畫出的圖形缺乏準確性，并且不同學生畫出的圖形也會有很大的差距，這樣就會造成理解困難，需要教師規范畫圖思路，利用幾何畫板的“繪圖”工具畫出ｙ＝２（ｘ－３）²＋１的圖像。

函數圖像在幾何畫板中是不能直接做關于直線對稱的圖形的，需要標記鏡面來“反射”。教師先在ｙ＝２（ｘ－３）²＋１圖像上構造一個點，然后做這個點關于ｘ軸的反射點，經過這兩個點構造線段，在新線段上構造點，選中這個點和第一個點作為軌跡，通過移動線段上的點，最終就得到了ｙ＝２（ｘ－３）^２＋１關于ｘ軸的對稱圖形。

這個變化過程是動態的，教師拖動新線段上構造的點就可以演示從原圖像到對稱圖形的整個變化過程，在學生頭腦中建立運動的映像，使學生更好地理解變化的規律。

過程演示之后，教師可以讓學生觀察變化后的圖形與原圖形相比有哪些發生變化、哪些不變。學生能很容易看出開口的大小不變，方向相反；對稱軸不變；頂點縱坐標變成相反數。此時教師可以先讓學生獨立思考，然后通過討論得出常數變化后的結果：ａ＝-２，ｋ＝-３，ｈ＝-１，解析式為ｙ＝ －２（ｘ－３）²－１。

學生在根據圖像變化得出解析式以后，還需要檢驗答案是否正確。但是在幾何畫板中，二次函數“軌跡”的解析式是不能度量出來的，所以教師可以畫出函數ｙ＝ －２（ｘ－３）²－１的圖像，讓學生來觀察這條曲線和剛才的軌跡是否重合。然后引導學生上升到一般規律，得到結論：函數ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像關于ｘ軸對稱圖形的解析式為ｙ＝－ａ（ｘ－ｋ）²－ｈ。通過圖形變化得到解析式中常數的變化，這是典型的數圖結合思想。

教師可以用和上面相同的方法來教學函數ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像關于ｙ軸對稱的變化。這種動態變化的特點能夠在學生頭腦中留下深刻的印象，使學生更好地用運動的觀點理解變化規律。

在這個活動過程中，還可以增加學生到操作臺操作演示的環節，以調動學生積極性，激發學生的學習興趣。

三、函數ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像分析

教師可以先讓學生思考：平面直角坐標系中的點，關于原點對稱的點的坐標有什么樣的變化，然后讓學生思考二次函數ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）2＋ｈ的頂點關于原點對稱的點的坐標是什么。

以ｙ＝２（ｘ－３）²＋１為例。教師先讓學生在練習本上畫出草圖，要重點強調頂點的變化、開口的變化、對稱軸的變化。在學生畫出草圖之后，需要觀察思考：這些變化會引起解析式怎樣的變化，猜想解析式的變化。

此時教師用幾何畫板畫出ｙ＝２（ｘ－３）²＋１的圖像，在圖像上構造任意點，然后在“變化”菜單中選擇“旋轉”，以原點為中心旋轉１８０°，就能得到它關于原點對稱的點；連接這兩個點，構造線段，在這條線段上構造點，選中這個點和函數圖像上的點作軌跡，拖動線段上新構造的點，就得到了ｙ＝２（ｘ－３）²＋１關于原點的中心對稱圖形。

學生觀察新圖像和原來的圖像，容易看到開口方向、對稱軸、頂點坐標都發生了變化，相應的解析式中，ａ變為相反數、ｋ變為相反數、ｈ變為相反數，這樣就得到了解析式ｙ＝－２（ｘ＋３）²－１。然后通過畫出二次函數ｙ＝－２（ｘ＋３）²－１的圖像觀察它們是否重合來檢驗答案。

有了上面的過程，學生就能總結出一般規律：ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像關于原點對稱，ａ、ｋ、ｈ的符號都要發生變化，即解析式為ｙ＝－ａ（ｘ＋ｋ）²－ｈ。

在規律總結以后，教師可以讓學生舉例來鞏固所學的知識，先說出一個二次函數解析式，然后說出其圖像關于原點對稱圖像的解析式，再在操作臺上畫圖檢驗結果是否正確。這樣的教學效果是傳統教學無法比擬的。

四、一般形式的二次函數圖像變化

（一）平移變化

關于二次函數的平移，教材中只涉及了在頂點形式下的平移變化，遇到一般形式時，通常是先化成頂點形式，然后再做相關的變化，但這樣比較麻煩，容易出錯。

教師在講解一般形式二次函數圖像平移時，可以先讓學生再次明確一般形式ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ中各個常數的作用（ａ決定圖像開口的形狀，ａ、ｂ決定圖像的對稱軸，ｃ決定著圖像與ｙ軸的交點縱坐標），以便在觀察過程中準確把握常數隨函數圖像的變化而變化。

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向右平移２個單位長度為例。教師先用幾何畫板畫出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像，構造函數圖像上的一個點，然后在“變化”菜單中選擇“平移”，將這個點在水平方向上平移２個單位長度，垂直方向上移動為０，得到平移點；用這兩個點構造線段，然后在這條線段上構造點，用線段上構造的點和函數圖像上的那個點構造軌跡，拖動線段上的點就能得到原函數向右平移２個單位長度后的圖像。

此時教師讓學生觀察圖像猜想解析式，即根據二次函數頂點形式圖像左右平移的規律，先猜想結果，再畫圖加以檢驗。幾何畫板不能度量軌跡的解析式，只能通過觀察函數圖像是否重合來檢驗結論。

在教學實踐過程中曾經出現過圖像平移之后會跳回原來的位置，不能停留在終點，影響演示效果的情況。對此可以先做出函數ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向右平移２個單位長度的動畫，然后做出函數ｙ＝２（ｘ－２）²－４（ｘ－２）－６的圖像并選中隱藏按鈕，依次選中兩個按鈕，在“編輯”菜單中“操作類按鈕”選擇“系列按鈕”，這樣就實現了一個按鈕控制整個移動過程，并且不會發生跳回現象。

向左平移可以讓學生自己類比探究。二次函數圖像上下平移相對比較簡單，因為學生知道圖像在上下平移的過程中，開口形狀不變，所以ａ不變；對稱軸不變，所以ｂ值不變；只有與ｙ軸的交點發生變化，即上升或者下降。對這個平移變化，學生不難理解，教師可以讓學生以操作、觀察、分析為主。把函數ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向上平移２個單位長度，學生能直接得到解析式ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６＋２，然后讓學生畫出圖形，觀察分析。

讓學生用幾何畫板自己體驗的過程必不可少，經過多次的猜想、畫圖、觀察、分析，學生不僅能理解平移的規律，還能在頭腦中留下深刻直觀的印象。

（二）軸對稱變化

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像關于ｘ軸對稱為例。教師用幾何畫板畫出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像以后，在圖像上構造一個點，然后在“變化”中選擇“反射”，做這個點關于ｘ軸的反射點；經過這兩個點構造線段，在新線段上構造點，選中這個點和第一個點作軌跡，拖動線段上的點，就得到了ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６關于ｘ軸的對稱圖像。

根據前面的學習，學生可以知道開口的大小不變，方向相反，所以ａ變為-２；對稱軸不變，所以ｂ變為４；與ｙ軸的交點變了，所以ｃ＝６。此時，教師讓學生進一步思考討論圖像的變化會讓解析式發生怎樣的變化，得出結論以后進行畫圖驗證。

通過對多個圖像變化的演示觀察，教師可以引導學生總結一般規律，得到結論：函數ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的圖像關于ｘ軸對稱圖形的解析式為ｙ＝－ａｘ²－ｂｘ－ｃ。

教師也可以用同樣的方法來教學函數ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的圖像關于ｙ軸對稱的變化。以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６為例，可以讓學生進行操作演示體驗， 學生在畫出圖形以后，就可以觀察到圖像開口的形狀不變，所以ａ＝２；對稱軸變化，所以ｂ變為４；與ｙ軸的交點不變，所以ｃ＝－６。然后得出解析式為ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６，畫圖驗證，最終得到結論：函數ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的圖像關于ｙ軸對稱圖形的解析式為ｙ＝ａｘ²－ｂｘ＋ｃ。

（三）關于原點對稱

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６為例，教師先讓學生在練習本上畫出草圖，可以強調一下開口的變化、對稱軸的變化、與ｙ軸交點的變化。學生畫出圖形之后需要觀察思考：這些變化會引起解析式怎樣的變化，并進一步猜想變化之后的解析式。

然后教師用幾何畫板畫出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像，在圖像上構造任意點，在“變化”菜單中選擇“旋轉”，以原點為中心旋轉１８０°，得到它關于原點對稱的點；連接這兩個點，構造線段，在這條線段上構造點，選中這個點和函數圖像上的點作軌跡，拖動這個點，就得到了ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６關于原點中心對稱的圖形。

根據頂點形式關于原點對稱變化的規律，學生知道開口方向、對稱軸、與ｙ軸交點都發生了變化，相應的解析式中，ａ變為相反數、ｂ值不變、ｃ變為相反數，這樣就得到了解析式ｙ＝-２ｘ²－４ｘ+６，然后教師通過畫出二次函數ｙ＝-２ｘ²－４ｘ+６的圖像來檢驗答案。

學生再探究總結出一般規律：ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的圖像關于原點對稱，ａ、ｃ的符號改變，ｂ的符號不變，即解析式為ｙ＝－ａｘ²＋ｂｘ－ｃ。

建議教師在每次總結規律以后，就讓學生舉例來鞏固所學的知識，先說出一個二次函數解析式，然后說出其圖像變化之后的解析式，再在操作臺上畫圖檢驗結果是否正確。這樣不僅可以使學生熟練掌握規律，還能讓學生更加透徹地理解原理。

函數圖像變化問題體現函數的聯系和數形結合的思想。解析式理解具有抽象性，在傳統教學活動中，二次函數圖像繪圖的準確性是無法保證的，圖形有關變化之后解析式的檢驗更是無法實現的。而幾何畫板能化抽象為直觀，有助于說明函數圖像間的聯系及變化特點；畫板動態反映了函數的變化過程，使得學生進一步理解二次函數圖像的性質，強大的交互性也讓學生有更多的參與機會，提高學生學習數學的興趣。

盡管幾何畫板使教學更加便捷、有效，但只能作為輔助教學工具，而不能以演示代替教師的分析和講解。要想提高數學教學效率，促進數學教育改革，重點還是應放在教師自身素質的培養和提高上。

參考文獻：

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（責任編輯：向志莉）