在綜合與實踐中發展學生的數學素養
——以 “探尋神奇的幻方”為例

江西省九江市同文中學 魏立珺

北京師范大學 阮珂怡

數學素養的培育不僅僅是基礎知識與基本技能的積累，更重要的是引導學生在教師組織的實踐活動中，學會用數學眼光觀察現實世界，用數學思維思考現實世界，用數學語言表達世界。在基于真實情境的學習中獲取知識、鍛煉思維、提升能力、體驗成功，這和“綜合與實踐”領域的教學目標 “培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力”不謀而合。因此，“綜合與實踐”是數學教育教學中溝通知識學習和實踐應用的橋梁，是實現核心素養培育目標的極佳載體。本文以北師大版第一冊 “綜合與實踐課”“探尋神奇的幻方”為例，就如何在課堂教學中培養學生的數學素養分享一些收獲與體會。

一、合理選題，情境激趣，用數學眼光發現問題

在明確 “綜合與實踐”主題內容這一環節，教師不僅要根據學生的經驗背景選擇教學素材，保證教學內容符合學生當前的知識基礎與認知水平，還要兼顧學生的興趣愛好，激發學生參與教學活動的積極性。在明確“綜合與實踐”主題內容之后，教師在教學實踐中可以創設多種問題、故事、活動的實踐情境，找到教學內容的切入點，引導學生進入情境內容，用數學眼光觀察問題，激發學生學習數學的興趣，讓學生產生一種強烈的求知欲，給學生創造自主探索的空間，讓學生在探索中體會成功的喜悅和成就感，從而增強自信心，培養學生的數學學科能力和素養。

“探尋神奇的幻方”是北師大版七年級上冊數學教材“綜合與實踐”部分的第一個課題。一方面，相較于傳統教學，綜合實踐活動對學生而言是新穎的，可以激發學生的求知欲，而且學生對 “幻方”也有一定的了解；另一方面，學生已經學習了 “有理數及其運算”與 “整式及其加減”，對于 “圖形的對稱性”也有初步認識，具備了一定的數學探究經驗。因此，筆者選定了 “幻方”這一實踐主題。

【教學片斷一】

師：同學們好！我們中華民族擁有上下五千多年的文明史，在這個歷史長河中，我們的祖先在數學領域有許多神奇的發現。今天我們首先通過一個小視頻（介紹洛書），帶領大家穿越歷史，一起回到兩千多年前，探究數學的奧秘吧！

圖1

師：請同學們仔細觀察下，如果把這個洛書上的圖案分成九塊，你發現了什么？

生：我發現這些圖案可以看成是數字。

師：嗯，這些圈圈點點可以看成我們熟悉的數字，分別對應？

生：4 9 2，3 5 7，8 1 6。

師：好，那請同學們觀察這九個數，你能發現哪些相等的數量關系？每行、每列、每條對角線上的三個數之和分別是多少？

生：都是15。

師：好，那像這樣一個3行3列的正方形方格中，每一橫行、每一豎列和對角線上的數字和都相等，這樣的數字方陣稱為 “三階幻方”，其中這個數字和稱為 “幻和”……

師：我國對于 “幻方”的記載最早出現于公元前500年，而國外在公元130年，希臘人才第一次提起幻方，因此我國擁有幻方的發明權。古往今來，不少數學家對幻方進行了深入研究，我們為祖先的成就感到自豪的同時，更應該繼承與發揚先輩們追求真理、持續探索的科學精神。本節課我們也來研究幻方，并重點研究三階幻方。

在這部分教學中，筆者先以 “洛書”為引，向學生介紹了幻方的背景知識，激發學生對幻方的研究興趣，從而引入課題。接著，筆者引導學生觀察洛書，發現其中的數學問題，引出 “三階幻方”的概念。在此基礎上，筆者還設置了4×4方格、5×5方格，引導學生計算與發現幻方的共性規律：“每一橫行、每一豎列和對角線上的數字和都相等”，進而歸納總結出 “階幻方”的一般性定義。最后通過告訴同學們本節課重點——研究三階幻方，引入本節課的主要內容，開啟三階幻方性質和構造方法的探究之旅。在教學過程中，學生學習的積極性與參與度較高，用幻方的文化背景作為課堂引入，不僅可以幫助學生了解數學文化，堅定民族自信，提高審美情趣，也可以激發學生的求知欲望與探究熱情，從被動學習轉向自主探究，在發現問題、探索規律的過程中欣賞數學之美。

二、設問質疑，合作學習，用數學思維分析問題

數學是一門動態發展的科學，是一門以問題為驅動、不斷探索并發展的學科，“綜合與實踐”是從現實背景出發，以問題為載體、以學生為中心開展的活動課程，符合數學學科的本質特征。在綜合與實踐教學中，教師要引導學生圍繞核心問題的解決展開學習過程，通過自主參與、實踐探究、合作交流等方式進行學習，將數學知識與其他學科或日常生活實際建立起緊密聯系，鼓勵學生從情境中發現、提出、分析、解決問題，親歷思考、試誤、反思、調整的全過程，積累綜合運用知識、技能、方法的數學活動經驗，發展數學思維與數學素養。

【教學片段二】

師：請同學們一起玩個填數游戲，請同學們六人為一小組合作：將1～9九個自然數填入下圖的九個方格里，使每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等。請準備好的小組派代表展示在黑板上。（教師進入小組引導）。

生：小組展開熱烈討論，交流做法和想法。

對于該部分教學，筆者引導學生開展小組合作來填寫三階幻方，目的是以問題為驅動，讓學生經歷解決問題的初步實踐，推動實現素養導向的教學目標。基于問題解決的實踐經歷是學生學習過程中必不可少的活動，學生在探索開放性、挑戰性問題的過程中，對于真實情境中的背景知識進行綜合分析、推理，將不同領域的知識之間建立聯系，產生富有創造性的想法。同時，學生在問題驅動的學習過程中，也能體驗發現問題的喜悅、迷茫和困惑，進一步激發探究與交流的熱情。

【教學片段三】

教師集中展示已經完成的成果，讓學生檢查驗證，并將正確案例供大家參考研究。請學生從正確的案例中發現規律并進行提煉和說明。

生1：發現“5”應該填寫在最中間位置。

生2：角格上都是偶數，邊格上都是奇數。

生3：有 “成對的數”：4和6，9和1，2和8，7和3。

生4：可以將洛書那組數進行旋轉得到其他組數據。

師：基于以上的交流成果，或者你們小組的研討，你還能就以上的規律或結論給出怎樣合理的解釋？

生1：設三階幻方中的數字分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i，則（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i）＋3e＝60，45＋3e＝60，解得e＝5。

生2：因為奇數奇數偶數，奇數偶數奇數，偶數偶數偶數，如果 “5”不在中間位置將無法滿足題意。當把“5”填入中間格時，如果4個角上填奇數，則其他4格填偶數，我們可以看到第一行、第三行、第一列、第三列的和都得偶數，而根據題目所求，3個數之和為15，15是奇數，所以與題意不符。如果4個角上填1對奇數1對偶數，則剩下的4個格中也應該為1對奇數1對偶數，此時第一行、第三行的和都為偶數，同樣與題意不符。如果4個角上都填偶數，剩下的4個格填奇數則符合題意。

圖2

該部分教學，筆者先將學生的案例全部展示出來，要求學生從正確的案例中發現規律、提取經驗，充分發揮學生在合作問題解決中的主體作用。學生小組之間相互闡述觀點，集思廣益，進一步理解三階幻方的填寫方法，在動手操作中體驗和發現三階幻方的對稱性特征，明晰數字5處于幻方最中間的原因。同時，筆者也鼓勵學生積極發表不同見解，肯定學生的正確想法，并鼓勵學生對于已經獲得的結論進行質疑與驗證，從不同角度思考并探尋新的解題策略。在輕松愉快的課堂氛圍中，學生運用數學符號語言進行交流與表達，體會 “從特殊到一般”的數學思想方法，感悟數學探究的樂趣，增強應用意識與創新意識。在引導學生成功探索的基礎上，筆者深切體會到 “授之以漁”的重要性，正如錢偉長先生所言：“教師的教主要不是把知識教給學生，而是把處理知識的能力教給學生。”

三、反思提煉，拓展創新，用數學的語言表達問題

數學素養的發展有一個循序漸進的過程，初中是基礎教育的重要階段，在學生發展中起著承上啟下的作用，初中教學對于學生數學素養的培育具有重要意義。因此，教師在教學活動中應結合數學學科本質，讓學生理解數學概念，把握數學思想，感悟數學思維，追求數學精神，注重真實情境的創設，以問題解決為導向，為學生提供 “從做中學”的機會，要求學生打破思維定式，綜合運用各種知識和技能進行探究學習，引導學生開展自主探究與合作來解決現實情境中的問題，為學生創造解決自主問題的空間，使學生成為知識建構的主體，以落實發展學生數學素養的教育目標。

【教學片段四】

師：在下列方格中，從1～9中選擇合適的數填寫，使橫行、豎列及兩條對角線上三個數的和都相等。

生：答案不唯一，可以沿著對角線對稱。

師：如果我再給你一個數呢？已知這樣的三個數呢？寫出來的是唯一的幻方嗎？

生：唯一的。從上往下，從左往右分別填：7、9、1、4、3、8。

師：小結，整理所獲。

圖3

圖4

教師提示：（1）知道了什么是幻方；（2）弄清了三階幻方的本質；（3）學會了構造三階幻方。

生：經過小組討論，很快形成思路，即第一步確定“中心數”，第二步配對，第三步分析奇偶性。教師追問“中心數”如何確定，學生加以補充，最終形成五步法：①計算九數之和；②計算幻和（÷3）；③確定 “中心數”（÷3÷3）；④配對；⑤定奇偶。

師：最少需要已知幾個數字，使得我們可以確定幻方中的其他數字呢？

師：以小組為單位，撰寫關于 “幻方”的研究報告。

成果要求：①嘗試解決問題；②需要利用代數式、方程等知識；③以小組為單位分工合作，手寫或用軟件等撰寫研究報告；④對于小組提出的個性化研究問題，可以在報告中闡述研究思路、研究過程與研究結論（選做作業）。

此部分教學，首先，通過運用所學知識解決填數習題，檢驗學生的研究成果、鞏固學生的研究方法，讓學生對構造唯一的三階幻方所需條件有了初步的思考，也給學生創設遇到困難返回案例進行規律再研究的機會。其次，讓學生思考本節課所獲，就是要學生摒棄小學時對幻方的機械記憶，在了解幻方實質的基礎上，形成自己對三階幻方性質的認識及構造三階幻方的方法，培養學生歸納總結創新能力。最后，撰寫關于 “幻方”的研究性報告，使得學生課后要對 “幻方”進行更深入的研究，這一任務對學生 “用字母表示數”的應用能力也有著更高要求，在撰寫中同學們會遇到各種困難和不理解，這就要求教師教授綜合與實踐課程時，除了安排好課前和課上的內容，更不能忽視課后對學生的引導和幫助。這節課到此落下帷幕，但課后我們的探索還在繼續。荷蘭數學家弗賴登塔爾認為，“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗，僅僅從書中靠聽講或觀察他人的演示是學不到的”。在真實情境中開展綜合與實踐活動已成為今后數學教學的趨勢，其意義不僅在于有效激發學生的數學學習興趣，還在于讓學生在自主探究過程中加深對數學知識的理解，摒棄機械記憶與思維定式，學會知識的遷移與綜合運用，進而提升問題解決能力。因此，教師應引導學生關注現實生活，嘗試用數學的眼光發現并提出問題，用數學方法思考并解決問題，讓數學教學過程脫離抽象符號與理論的桎梏，引導學生從 “做”中學，在親身實踐中體會數學知識的價值與數學文化的魅力，激發數學學習興趣，在現實問題解決過程中感悟數學之美。

發展數學素養的方式有很多，以上是筆者在教學實踐中的幾點收獲與體會。隨著教育理念的不斷更新，數學教學經歷了從 “雙基”到 “四基”，到現在的核心素養，而不管理念如何變化，培養學生的思維能力，教會學生思考，這是永遠不會變的，抓住這一核心，并不斷提高教師自身的數學素養，吃透教材，充分收集并利用各種教材資源，將自己的核心素養理念貫穿于教學策略中，相信在這樣的數學教學中，學生的數學素養一定會得到發展與提高。