增強問題情境體驗 深化建模素養形成
——以飛鏢投擲游戲中的概率問題為例

北京教育學院 陳鵬舉 伍春蘭

發展數學建模素養的教學，不僅是將數學知識應用到實踐中去，更重要的是讓學生經歷建模過程并從中提煉出新知識，這也是培養其他核心素養的重要手段。生活中有豐富的概率類問題情境，當學生具有一定的概率知識經驗之后，讓他們經歷由實際問題到概率模型的建模過程，是促進學生深刻理解概率理論，形成概率模型解決實際問題的意識和方法的重要途徑。下面以真實的飛鏢投擲游戲為背景，闡釋引導學生經歷完整的數學模型的過程。

一、教學背景分析

（一）教學內容分析

概率論起源于博弈理論，是應用數學工具分析博弈問題而逐步形成的相對獨立的學科，因此，概率問題與生活中的博弈問題有著千絲萬縷的聯系，很多現實中的隨機問題都可以通過數學建模過程得到其概率。與傳統的博弈論相比，現代概率論基于集合論和測度理論，形成了更加嚴密、準確的理論體系。高中階段的概率學習將事件之間的關系轉化為集合運算，將隨機事件抽象為隨機變量，用豐富的概率分布模型解釋隨機現象。因此，引導學生抽取真實情境中的隨機變量建立模型關系，是培養學生概率領域數學抽象、邏輯推理及數學建模等核心素養的重要途徑。

（二）學情分析

學生在小學階段已經認識到事件的 “可能性”，能夠通過比例關系計算和比較可能性的大小，在初中階段學習了簡單事件的概率，能夠通過列舉法計算機會的大小，也對頻率估計概率有初步認識，但是對事件的概率僅停留在運算層次，并沒有對事件及其關系進行深刻剖析。高中階段引入樣本空間、隨機變量及其分布來刻畫隨機現象，這種抽象的表示和關系刻畫對學生構成較大的挑戰。

據課堂觀察及作業分析，學生能夠用隨機變量及其分布列來表示簡單的隨機事件結果，但是對于表示較為復雜的事件和分析變量的復雜關系均存在較大困難；學生較為熟悉離散型隨機變量及其概率運算，以古典概型為例，他們能夠理解通過可能性的樣本點的比例關系計算概率的過程，但在將此模型遷移到其他概率模型的過程中仍存在困難。此外，學生容易把生活中的 “可能性”“獨立性”等措辭和概率理論方面的概念混淆，針對實踐中問題的建模難以明確問題的目標或方向。

（三）學習目標

（1）在飛鏢投擲游戲過程中發現真實情境的實際問題，抽象情境中的關鍵變量，明確提出并概括適合探究的數學問題，經歷數學抽象的過程。

（2）經歷建立概率模型解決數學問題的完整過程，體驗邏輯推理在數學建模的應用，形成探索新事物中概率模型的方法和策略。

（3）在體驗游戲的過程中感受游戲的趣味性，在建立模型和驗證模型中經歷猜想、質疑、驗證及完善的科學精神，通過模型反饋感受數學模型的應用價值，感受數學模型的簡潔美與抽象美。

（四）學習重點、難點

重點：發現和提出數學問題，圍繞關鍵問題建立數學模型。

難點：概率模型的建立、校驗和逐步完善。

二、活動設計與實施

（一）體驗真實情境，發現現實問題

活動1：背景呈現，發散思維

情境素材：星期天老師帶孩子去游樂園玩耍，路過一游戲攤位時發現一個游戲：游客花1元租1個飛鏢，站在垂直地面放置的紙板3米之外投擲，如果飛鏢扎在紙板上的五角星上，店主返還游客2元，否則不返還。紙板如圖1所示。老師總共租了10個飛鏢，大家猜一猜老師賺了還是賠了，為什么？

圖1 垂直放置的紙板

學生1：我覺得離這么近，五角星分布又這么密，大概率應該全中，減去10元成本，總共賺了10元。

學生2：我認為老師應該賺不了10元，因為有可能投不中，如果沒有投中，對應的就是賠了1元，如果投中，才算賺了1元。關鍵在于投中五角星的概率，而老師的飛鏢技術決定了命中概率，相信老師會賺錢的。

【設計意圖】通過展現真實的游戲情境，引發學生思考和討論的興趣。教師讓學生基于自身的經驗先進行猜想，為后面的體驗活動的結果沖突做鋪墊。同時鼓勵學生從感性思考到理性思維轉化，比如：盈利額＝2×投中次數－購買成本；投中次數＝投中概率×投擲次數；。

活動2：親自體驗，提出設想

教師提供游戲紙板和游戲代幣，按前述規則讓學生模擬投擲活動并記錄。每名學生租10個飛鏢，18名學生共投擲180次，投擲結果見圖2所示。

圖2 18名學生共投擲180次結果

繼而教師引導學生思考并討論（見表1）。

表1 思考并討論的問題

【設計意圖】只有親身體驗游戲，才能感覺到投擲過程中涉及的諸多變量，以及復雜事件背后的變量之間的關系，這是學生后期建立概率模型的關鍵。

（二）抽象情境變量，逐步建立模型

活動3：抽取變量，聚焦問題

教師引導學生以分組的形式提煉并聚焦到三個核心數學問題（見表2、表3及表4）。

表2 問題1的假設及數學模型（建模過程略）

表3 問題2的假設及數學模型（建模過程略）

表4 問題3的假設及數學模型（建模過程略）

活動4：提出假設，建立模型

根據上述提出的數學問題，教師引導學生對題干中的關鍵信息進行提取，分析題干中的關鍵變量及其關系，結合實際投擲過程提出模型成立的假設條件，逐步建立數學模型解決問題（見表2、表3及表4）。

活動5：回應情境，拓展思維

老師在真實游戲中，總共只投中1次，這個結果和我們建立的模型一致嗎？結合活動2中的游戲體驗及結果，你認為我們建立的模型2是否合適？如果合適，說明理由；如果不合適，你還有哪些改進建議？

學生：老師在游戲中賠了8元，比建模結果賠得還要多，但是作為個案沒有一定的代表性。本班學生共投擲180次，脫靶5次，175次投中紙板中僅有35次命中。平均每位學生的盈利額為，與模型中平均虧6．24元差不多。模型符合真實的投擲預期。

【設計意圖】活動3、活動4及活動5，讓學生經歷完整的數學建模的全過程。

（三）總結建模路徑，夯實核心素養

活動6：反思與梳理

教師引導學生回顧學習過程，形成建模過程流程（圖3）。

圖3 建模過程流程

三、教學反思及建議

結合本節課的設計與實施，提出以下四個方面的教學建議。

第一，重視真實情境創設，建立現實世界聯系。

真實情境的創設不僅是為了引發學生的學習興趣，更重要的是只有真實的情境才能作為真問題的土壤。荷蘭教育家弗蘭登塔爾提出數學化的思想，他認為學生學習的本質就是把現實世界問題數學化的過程，只有讓學生體驗到現實世界問題和數學世界問題的聯系，才能促進學生有意義地思考。

在日常教學實踐中，往往很多情境僅僅是為了引出數學概念，在之后的教學中便棄之如敝屣；為了加快課堂節奏，許多教師會特意把情境的真實性隱去，或者去掉大量真實性信息后，僅僅提供給學生只涵蓋數學信息的 “干貨”，這樣的情境與應用題或考試題無異，不僅學生讀之無味，也限制了學生自主思考和拓展思維的空間。

因此，情境創設需要教師既要保障情境與課堂的貼切性，又要維護情境自身的真實性，讓情境保持一定的新鮮感，才能促進學生對數學內容進一步思考。

第二，加強學生情境體驗，激發問題發現和提出。

情境作為教學中重要的活動素材，教師一般會根據課堂需要讓學生熟悉情境。讓學生閱讀情境是一種常見的方法，學生能夠結合數學知識和經驗提煉情境中的信息和要素，進而提出自己的觀點或問題；但對于很多學生而言，親自感受和體驗更能給他們帶來強烈的感官刺激和精神激發。

此外，學生的情境體驗是學生熟悉情境中的變量，以及結合自身感受發現提出問題的直接刺激。新課程改革鼓勵學生發現問題，但在很多教學中問題往往是教師給出的，缺少刺激學生主動發現問題的過程，而情境體驗的過程恰好就是刺激學生自主思考的過程。

第三，以情境問題為引領，逐步完善模型。

無論是數學建模還是數學探究，總是圍繞值得探究的問題開展。特別是在數學建模過程中，情境中蘊含的核心問題就是建模的指針，我們必須把明確的、適當的、關鍵的問題在課堂上讓學生提出來。因此，從現實問題入手，讓學生廣泛提出自己關心的問題，可以形成問題組或問題庫，這不僅是一節數學建模課的問題來源，也是學生后續發現新課題或完善模型的來源。

從現實問題到數學問題需要學生進行思考和提煉，充分提升學生抽象概括的能力，讓學生用數學的語言表達問題，才能形成數學建模的目標。數學問題是現實問題的遴選、聚焦、抽象和概括，應該鼓勵學生大膽地提出問題并精雕細琢地刻畫問題，數學問題提出的本身就為數學建模指定了方向。

數學模型的建立顯然也是圍繞問題逐步展開的，在數學建模的過程中，我們不能希冀學生直接能夠得到結果和答案，而是要鼓勵學生用自己的思維思考問題，可以從簡單到復雜，也可以從特殊到一般，只要學生能夠用自己的方法嘗試解決問題，我們便認為他在建模的過程中有所進步。

第四，重視情境回饋，體現建模價值

數學模型的價值重在對現實問題的反饋，模型能否經得起現實的檢驗是學生是否認可建模的關鍵。因此，在建立模型后，學生期盼將模型回饋于情境中的現實問題或者用模型預測結果。

回饋情境使課堂始于情境創設，終于問題解決，形成問題發現、提出、分析、解決的閉環，這是落實數學建模核心素養的要旨。無論數學模型簡單還是復雜，我們都應該嘗試將真實的數據代入模型以檢驗模型的有效性或可靠性，這既是調整模型或完善模型的依據，也是建模數學價值的體現。只有經得起實踐檢驗的數學模型才會被學生認可，數學建模的過程和價值也才會被學生接納。