以實際情境驅動 促建模能力提升
——從學生整理圖書工作談起

北京教育科學研究院 丁明怡

北京景山學校 李 健 劉興華

一、教學內容分析

（一）指導思想

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。統計學是高中數學課程的重要內容之一，通過對數據的收集、整理、分析，培養學生用數據描述信息、分析與推斷數據等統計觀念，提升學生創新能力和數學建模素養。

本課時從學生身邊的生活情境出發，通過討論影響實際問題的主要因素，進一步建立合適的數學模型，解決實際問題，體會數學與實際生活的聯系，感受統計學的實用價值。

（二）教材分析

“統計案例”位于普通高中教科書人教A版數學必修第二冊第九章第三節，是學習過 “隨機抽樣”“用樣本估計總體”之后對統計知識的綜合應用。

通過本章學習，學生經歷了較為系統的數據處理全過程。在此過程中，進一步學習數據收集和整理的方法、數據直觀圖表的表示方法和數據統計特征的刻畫方法；感悟根據實際情況進行科學決策的必要性和可能性；體會統計思維與確定性思維的差異、歸納推理與演繹證明的差異；通過實際操作、計算機模擬等活動，積累數據分析的經驗，培養數據分析的素養。

本課時教材定位于通過一個完整案例讓學生經歷統計學解決問題的過程：了解背景知識、數據來源和要解決的問題，設計解決問題的思路，給出統計分析的結果。

二、學情分析

通過學情調查發現，在義務教育階段概率與統計學習后，85%的學生認為 “學好概率與統計對生活是有幫助的”，“與其他數學知識相比，學習概率與統計內容難度不大”。60%以上的學生解決概率與統計問題時能夠做到“正確選擇抽樣方法進行數據獲取、能夠結合獲取數據，用樣本估計總體、更加重視數據圖表的使用、關注樣本的隨機性，科學得到分析結論”。

通過分析學業水平測試發現，大部分學生在數據收集的方法、數據的描述、數據的分析以及統計的一般過程等不同層次水平上均表現良好，但通過條形圖與折線圖、雷達圖、散點圖等不同統計圖進行數據描述及進一步數據分析發現，學生的能力仍需進一步提高（見表1）。

表1 學業水平測試分析

三、教學目標

（1）通過對具體問題的分析，經歷用統計方法解決實際問題的過程，特別是用統計分析的結果解釋實際問題，體會統計方法在進行科學決策時的必要性，提升邏輯推理、數學運算素養；

（2）經歷從身邊的真實情境出發，并利用數學模型解決問題的探究過程，培養從實際情境中發現問題、提出問題的能力，提高分析問題、解決問題和數據分析的能力，發展數學建模素養；

（3）在 “問題情境—建立模型—解決問題”的過程中，逐步養成用數據分析問題的習慣，學會判斷影響事情的主要因素，從中感悟數學的應用價值，提升創新意識和實踐能力。

四、教學流程示意

教學流程示意圖如下（見圖1）。

圖1 教學流程示意圖

五、教學過程設計

（一）情境引入

維護校園環境的整潔有序，是每個學生的責任和義務。根據學校安排，我們班的公共勞動區是圖書館。開學至今，每周派兩名同學協助圖書館老師進行圖書整理工作。

下面，我們先請甲同學簡單介紹一下圖書館圖書整理工作的內容。

（通過播放視頻及學生現場講解介紹圖書整理工作）

教學預設：采訪上次去整理圖書的同學整理了多少書籍。

甲、乙兩名同學分別整理圖書28本和15本。

為滿足同學們的閱讀需要，圖書館在開學初又訂購了一些新書，這些新書按照每周30本的速度逐步上架。新書上架首先需要進行分類、編碼、錄入系統等，這些專業工作由圖書館老師完成。因此，參與圖書館圖書整理工作包括將借閱后還回來的書上架和將新書陸續上架。

所以考慮以下問題：

問題1：每周要派出若干名同學去圖書館協助老師進行圖書整理工作半小時。試問每次要分派幾名同學參與此項活動最合理？

師生活動：教師展示問題情境，讓學生了解需要解決的問題。

【設計意圖】從身邊實際經歷的問題情境出發，激發學生的學習興趣，為本課時的后續學習做好準備。

（二）問題解決

1.擬訂方案

問題2：你認為有幾種獲得待上架圖書的數量的方法？它們的優缺點是什么？

師生活動：

學生討論抽樣方法及其優缺點，確定待上架圖書數量的組成。

（1）根據圖書館的電子借閱系統，獲取每天產生的借書與還書的數量。

（2）每周按照固定的時間（如在圖書館開館的時間）派同學去圖書館統計。

（3）側面調查，抽樣調查全校中學生去圖書館的頻率以及圖書館的使用情況，分析學生到圖書館借閱會產生多少本需要上架的圖書。

比較以上幾種調查方法，分析優缺點，確定既可行又良好的抽樣方法。

【設計意圖】引導學生思考實際情境與抽樣方法的關系，找到代表性比較好的抽樣方法，獲取數據，為解決問題奠定基礎。

問題3：如何衡量參與工作的同學的工作效率？

師生活動：學生討論交流，可以用單位時間（單位：分鐘）內整理圖書數量的多少作為圖書整理的工作效率。

如果已知甲、乙兩名同學的工作時間都是20分鐘，則這兩名同學的工作效率分別為1.4和0.75。

追問：為什么這兩個同學的工作效率差別有些大？

師生活動：學生討論回答。

甲同學已經參與過幾次圖書整理工作，整理流程比較熟悉，所以速度快，效率高；而乙同學是第一次參與整理，所以工作流程不熟練，書架位置也不清楚，所以速度慢，效率低。

【設計意圖】從實際情境出發，建立合適的數學模型，提升數學建模素養。

2.實施方案

問題4：怎樣用合適的方法估計待上架圖書的數量？

師生活動：師生討論認為，待上架圖書應該包括當日學生還回的圖書和需要上架的新書。

（1）為了更好地了解圖書館的使用情況，在課前調查了圖書館近期80個工作日每日還書的數量如下（見表2）。

表2 圖書館近期80個工作日每日還書的數量

從這些數據可以看出，每日還書的最大值是116，最小值是22，相差較大。

選取組距為10，可以得到如下頻數頻率統計表（見表3）。

表3 圖書館近期80個工作日每日還書的數量的頻數頻率統計表

利用信息技術進一步做出每日還書量的頻率分布直方圖（見圖2）。

圖2 圖書館近期80個工作日每日還書的數量的頻率分布直方圖

從頻率分布直方圖中可以看出，每日還書的冊數在50～80之間的占比比較大，少于40或者大于100的占比都比較小。

追問：圖書館近80天每日還書的數量都不相同，用哪個數字特征代表每日還書的數量？

師生活動：師生共同討論，取不同數字特征對估計結果的影響。

預案一：用平均數代表每日還書的數量。

此時，求得的學生數可以保證大多數情況完成工作。

預案二：用眾數代表每日還書的數量。

由具體數據可以得到眾數為54，由頻率分布直方圖可得眾數為55，由此求得的學生數可以保證大多數情況可以完成工作。

預案三：用最大值代表每日還書的數量。

由具體數據可以得到最大值為116，由頻率分布直方圖可得最大值為115，由此求得的學生數有接近100%的把握完成這個任務。但是很多情況下可能會有人員浪費。

預案四：用第90百分位數代表每日還書的數量。

由具體數據可以得到第90百分位數為99，由頻率分布直方圖可得第90百分位數為100，由此求得的學生數可以有90%的把握完成這個任務。

【設計意圖】經歷獲取數據的過程，并對數據進行分析，提升學生數據分析素養。

問題5：怎樣確定同學們的工作效率？

師生活動：學生討論交流，教師做必要的引導。

顯然，僅以甲乙兩名同學的工作效率作為樣本，樣本量比較小，不能很好地代表總體（我們班同學）的工作效率。

根據以往參加圖書整理活動同學的經驗，記錄這16個同學的真實數據（見表4）如下。

表4 學生每周參與圖書館服務的工作時間和完成整理圖書的數量

進一步根據工作效率的計算公式，可得表5。

表5 學生每周參與圖書館服務的工作效率

追問：用哪個數據能夠估計我們班同學的工作效率？

師生活動：教師引導，學生討論回答。

由于每個同學參與圖書館服務的時間不同，工作的熟練程度不同，所以工作效率不同甚至差別很大。

預案二：最小值：0.7。

由于估計所有同學都可以達到這個水平，當分派的人數多時容易造成人員浪費。

預案三：最大值：1.6

由于最大值多數同學達不到，所以不容易完成任務。

預案四：眾數：1，1.4，1.6。

有多于1個眾數，且差別較大，用哪個來估計總體都不準確。

所以為了保證圖書整理任務都能按時保質保量地完成，最終選擇用這16名同學工作效率的平均數來估計總體的工作效率。

【設計意圖】學生再次經歷獲取數據的過程，體會用樣本數據的哪個數字特征（平均數、眾數、中位數、百分位數）估計總體的數字特征，理解各個數字特征的作用，提升數據分析素養。

問題6：根據上面的分析，每周要分派幾名同學參加圖書整理工作？

師生活動：教師引導，學生交流討論：由于我們志愿服務的時長是30分鐘，因此我們可以通過以下公式計算需要分派的學生數。

預案一：以圖書館近80天每日還書數量的（樣本）平均數估計當日還書量：

所以需要分派3名同學參加圖書整理工作。

預案二：以圖書館近80天每日還書數量的（樣本）眾數估計當日還書量：

所以需要分派3名同學參加圖書整理工作。

預案三：以圖書館近80天每日還書的數量的（樣本）最大值估計當日還書量：

此時分派4名同學參加圖書整理工作，應該就可以完成絕大部分工作。

預案四：第90百分位數：

所以分派4名同學參加圖書整理工作能完成幾乎所有工作。

【設計意圖】解決問題。應用前面獲取的數據，初步解決問題。發展邏輯推理和數學建模素養。

3.拓展深化

問題7：隨著同學們參與圖書整理工作的次數越來越多，相信大家的工作效率會有不同程度的提高，此時，分派參與圖書整理工作的學生數是否需要調整呢？

師生活動：教師引導，學生交流討論：經過一段時間，不僅學生整理圖書的工作效率會變，圖書館每日的待上架圖書數量可能也會發生變化，因此，我們需要再做一次調查，收集待上架圖書的數量和學生工作效率的數據，用樣本估計總體，計算出需要分派的學生數。

【設計意圖】進一步明確統計結果是具有時效性。同一個問題，在不同時期，由于內因（學生工作熟練度增加，工作效率提高）與外因（待上架圖書的數量變化）的影響作用，問題的結果是不一樣的。

問題8：在剛剛解決問題的過程中，我們以16名同學工作效率的平均數估計全班同學的平均數，求出需要分派的學生數。這樣求得的結果一定能保證完成任務嗎？

師生活動：學生討論交流，教師給予必要的指導。

由于個別同學可能因為個人（能力、態度等）原因，工作效率較低，如果在全班范圍內隨機抽樣，很可能會抽到工作效率都很低的3名同學，那么他們很難完成任務。所以可以采用分層抽樣的方法，即把全班同學分成有經驗和沒有經驗的兩層，分別抽取組成樣本，這樣完成任務的可能性會增大。

【設計意圖】讓學生體會抽樣方法的重要性，體會樣本的隨機性。

（三）課堂小結

問題9：通過本節課的學習，你有哪些收獲和感受？

師生活動：教師引導學生加強學習反思，歸納提升。

【設計意圖】通過小結，提升學生對本章學習的認識：第一，統計是通過收集數據和分析數據來解決實際問題，認識到 “有效地”收集數據和分析數據是解決問題的關鍵；第二，能根據實際問題的具體特點，設計恰當的抽樣方法收集數據，選擇恰當的統計圖表描述數據，選擇合適的數字特征刻畫統計特征；第三：理解基本的統計知識，掌握基本的統計方法，能根據生活經驗調整解決實際問題的辦法，提升數據分析和數學建模素養。

（四）布置作業

我校圖書館從1996年開始到2023年五年借出圖書的數量如圖3所示。分小組設計一個調查方法，并研究產生這種情況的原因。

圖3 圖書館五年借出圖書的數量

【設計意圖】本課時內容圍繞圖書館學生的借閱情況展開，課后作業則進一步針對圖書館歷年的借閱量情況進行研究。讓學生在解決問題的過程中，具體經歷收集數據、分析數據、整理數據的過程，培養學生邏輯推理、數據分析和數學建模素養。

六、教學反思

（一）創設情境，構建模型

以學生身邊的實際情境為出發點，討論為圖書館分派幾名同學參與圖書整理工作較為合理。學生結合圖書館的借閱系統提供的數據以及學生實際工作中統計的數據，應用學過的統計知識分析問題，并構建合理的數學模型，再通過數學運算解決問題，體會數學在實際生活中的應用，提高創新能力。

（二）分析數據，提升素養

通過實際情境引導學生根據實際問題的需求，選擇不同的方法獲取數據，理解數據蘊含的信息；根據數據分析的需求，選擇適當的統計圖表描述和表達數據，并從樣本數據中提取合適的數字特征，估計總體的統計規律，解決相應的實際問題。在解決同一個問題時，用不同的數字特征進行分析得到的結果略有不同，有利于學生進行比較，提升數據分析和數學建模素養。

（三）運用技術，突出重點

在統計學習中，不可避免地會出現機械、煩瑣的數據處理工作。合理使用信息技術，可以將學生從這些復雜的計算中解放出來，更集中精力去理解統計的概念和基本方法，使統計問題的研究和解決更加流暢，有利于培養邏輯推理和數據分析素養。