立足問題情境 引導深度學習
——以概率統計首輪復習課為例

中國人民大學附屬中學通州校區 鞠宏偉

北京教育學院 伍春蘭

概率統計，在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》“學業質量”和 “數據分析”素養上，有明確的由低到高的三級水平刻畫，其中第三級水平描述見表1。

表1 概率統計的“學業質量”和“數據分析”素養第三級水平描述

近幾年的高考，概率統計部分突出了開放型應用問題的考查。以上述 “學業質量”和 “數據分析”素養第三級的相關要求為依據，結合學生開放型問題缺乏分析和解決的學習體驗，在概率統計的首輪復習課，創設了學生知識競賽的開放情境。

一、教學背景分析

（一）內容及學情分析

概率與統計，是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》必修課程和選擇性必修課程的主題之一。學生通過兩部分課程的學習，初步掌握了概率統計的相關學習內容（見圖1），但是對一些概念的理解還比較膚淺，面對具體問題特別是開放型問題情境，判斷、歸納、應用的綜合能力不足。

圖1 “概率與統計”必修課程和選擇性必修課程知識結構

高三學生具有一定的閱讀、觀察基礎，具備一定的合作交流、自主探究能力，對于有趣的問題情境存在好奇心和求知欲，但是由于受數學閱讀能力和生活經驗所限，很多學生認為概率統計的綜合題目比較困難。

為了更好地了解學生概率統計的學習困難，問卷調查了某校高三共計96名學生，題目為不定項選擇題。針對各類困難，又隨機訪談了若干名學生，得到了一些真實想法。調查結果見表2。

表2 學生概率統計的學習困難統計

在概率統計的首輪復習課，通過團體賽 “決策問題”，引導學生分析解決問題，既強化了學生對概率、期望和方差等基本概念和基本思想的理解與應用，又梳理知識結構完成思維的縱深發展。

（二）教學目標

（1）通過問題情境進行 “決策”，經歷用概率統計量描述、分析、解決實際問題的學習體驗。

（2）深化對概率、期望和方差等基本概念的理解和應用，從定量和理性的層次上更深入地內化核心概念，實現知識的整合和思維的螺旋式進階。

（3）體會數學的應用價值，促進概率統計單元的深度學習，培養數據分析、邏輯推理等數學核心素養。

（三）教學重難點

重點：通過問題情境進行分析與探究，做出決策，深刻理解概率、期望和方差等基本概念。

難點：如何理論聯系實際，在實際問題中運用恰當的概率統計量分析解決問題。

二、教學過程

（一）創設情境，提出問題

教學背景：校學生會文學社在語文組教師的大力支持下，擬舉辦 “詩傳古韻，詞潤芳華”的古詩詞挑戰賽。比賽擬設定預賽、初賽和決賽三個階段。預賽是客觀題，按照積分通過者即可參加后面的比賽。初賽是團體賽，決賽是個人闖關賽，考試形式都是主觀題。

初賽賽制擬定如下：以班級為單位擇優（預賽成績）組隊，團隊的參賽人數需為偶數，且不少于16人。為了避免答題先后的干擾，當一個班級團隊全體參賽者都答題完畢后，電腦會依次顯示各人的答題是否正確，并按比賽規則裁定該班級團隊是否挑戰成功。學生會負責人初步擬定了團體賽的兩種方式，供每個班自主選擇其中之一參賽，但是又不確定兩種賽制的制定是否科學合理，是否具有實際可行性，帶著這樣的問題尋求同學們的幫助：

方式一：將班級團隊選派的2n個人平均分成n組，每組2人。電腦隨機分配給同一組兩個人一道相同的試題，兩人同時獨立答題，若這兩人中都回答正確，則該小組闖關成功。若這n個小組有一半以上闖關成功，則該班級團隊挑戰成功。

方式二：將班級團隊選派的2n個人平均分成2組，每組n人。電腦隨機分配給同一組n個人一道相同的試題，各人同時獨立答題，若這n個人只要有一半以上回答正確，則該小組闖關成功。且這兩個小組必須都闖關成功，則該班級團隊挑戰成功。

面對以上問題，學生有不同的認識，經過分析得到一些初步的結論。

學生1：這個問題的目的是運用概率統計思想進行決策，從能解決問題的所有方法中，選出最優的方法來。現在我們的主要問題是確定選優原則。

學生2：我認為既然問題比較開放，則可以分析兩種賽制的區別，從不同角度比較，比如可以用概率的大小來決定。

學生3：我認為也可以通過分析兩種賽制對應的離散型隨機變量的期望和方差的大小來決定。

學生4：概率和人數都是不確定的怎么辦呢？不確定的條件太多了。但是我可以確定根據問題的描述，“先答題，后出分”“兩人同時獨立答題”，可見各個同學答題之前是 “相互獨立事件”，每組多名同學之間就是“獨立重復事件”。

學生5：我覺得通過問題建立理想化數學模型，在團體初賽中，由于每位參賽的同學經過預賽相同題目的選拔，優勝者才有資格參加團體賽。可以假設參賽者水平相當，因此可以設試題回答正確的概率均為常數p（0＜p＜1）。

設計意圖：通過真實問題情境，運用開放型問題導入課堂，體現數學的應用價值，增強學生的探究欲望，形成積極的內在學習動機。從兩個不同賽制方式中歸納、概括出問題特征，提升分析、解決問題的意識和能力。

（二）分析情境，解決問題

學生6：我的思路是依托數學期望做決策

對于方式一：設X表示每組2人中回答正確的人數，X為的可能取值為0，1，2，

X的分布列見表3。

表3

且每班參賽人數不少于16人，總的數學期望一定有Eξ≥8p

學生7：我的思路也是依托數學期望做決策，但是我覺得需要按照n分類：

則n挑戰成功，這n小組有一半以上闖關成功，

n偶數時：

n為奇數時：

對于方式二：設Y示每組n中回答正確的人數，Y的可能取值為0，1，2…n，

Y～B（n，p）

Y的分布列見表4。

表4

學生8：我認為利用數學期望的大小表示隨機變量平均取值的大小，在這個問題中可以初步體現兩種方式的差異，但是并不能明確表示是否 “挑戰成功”，研究的結論差異也不明顯。我的思路是，在此基礎上利用方差的大小作比較，因為方差可以衡量隨機變量或一組數據時離散程度的度量，用方差研究偏離程度有何穩定性，本題可以利用是否 “挑戰成功”利用0－1分布表示。

ξi（i＝1，2）表示挑戰結果，其中0表示挑戰失敗，1表示挑戰成功。

對于方式一，每組的2個人的挑戰結果，ξi服從0－1分布，方式一的ξ1分布列見表5。

表5

學生9：方式一是若這n個小組有一半以上闖關成功，則該班級團隊挑戰成功。那么如何用方差表示呢？同樣方式二的ξ2分布列如何解決呢？我認為可以依托概率的大小做決策，假設參賽者回答正確的概率均為常數p（0＜p＜1）。

則選擇方式一每組2人都挑戰成功P（X＝2）＝p2（見表6）；

表6

n為偶數時：

n為奇數時：

選擇方式二：設Y表示每組n人中回答正確的人數，Y為的可能取值為0，1，2…n，Y～B（n，p）。

n為偶數時：

n為奇數時：

學生10：我認為方式二可以應用古典概型的理論和極限的思想，。

設計意圖：結合實際的決策問題，對比數學期望、方差和數學概率三種決策方案的可行性和問題，明確了應用概率統計知識進行決策問題選優的原則。

（三）深化情境，拓展問題

學生會負責人：我預設的兩種賽制方式的目標是“獲勝”，經過同學們上述分析，發現應用期望和方差計算不太適合，應用概率作為決策標準比較直觀適用，但是求解過程又比較復雜。請同學們幫我修改一下比賽方式！

學生10：我認為為了提高可行性，可以修改如下（方式三和方式四）。

方式三：將班級團隊選派的2n個人平均分成n組，每組2人。電腦隨機分配給同一組兩個人一道相同的試題，兩人同時獨立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關成功。若這n個小組都闖關成功，則該班級團隊挑戰成功。

方式四：將班級團隊選派的2n個人平均分成2組，每組n人。電腦隨機分配給同一組n個人一道相同的試題，各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組闖關成功。且這兩個小組必須都闖關成功，則該班級團隊挑戰成功。

學生11：我認為新的方案比較可行，其中問題明確，挑戰成功的可能性更大，即應用概率大小進行，設選擇方式三、四的班級團隊挑戰成功的概率分別為P1，P2。假設參賽者回答正確的概率均為常數p（0＜p＜1）。

當選擇方式三時：

因為兩人都回答錯誤的概率為1－p2，則兩人中至少有一人回答正確的概率為1－（1－p）2。則P1＝［1－（1－p）2］n＝［1－（1－2p＋p2）］n＝（2p－p2）n＝pn（2－p）n。

當選擇方式四時：

因為一個小組闖關成功的概率為pn，則一個小組闖關不成功的概率為1－pn，則P2＝1－（1－pn）2＝1－（1－2pn＋p2n）＝2pn－p2n＝pn（2－pn）。

學生11：兩種方式對應概率的求法都比較簡單，可是最后怎么比較大小呢？期待同學們的幫助。

學生12：可以用作差比較法啊！

P1－P2＝pn（2－p）n－pn（2－pn）＝pn［（2－p）n＋pn－2］。

由0＜p＜1，pn＞0，

設f（n）＝（2－p）n＋pn－2，

則有f（n＋1）－f（n）＝［（2－p）n＋1＋pn＋1－2］－［（2－p）n＋pn－2］

＝（2－p）n＋1＋pn＋1－（2－p）n－pn＝（2－p）n（2－p－1）＋pn（p－1）

＝（2－p）n（1－p）＋pn（p－1）＝（2－p）n（1－p）－pn（1－p）

＝（1－p）［（2－p）n－pn］

由0＜p＜1，則1－p＞0，2－p＞1，所以（2－p）n＞1，pn＜1，

即f（n＋1）－f（n）＝（1－p）［（2－p）n－pn］＞0。

所以f（n＋1）＞f（n），即f（n）單調遞增。

學生13：我認為為了嚴謹，需要求出f（2），

又f（2）＝（2－p）2＋p2－2＝2p2－4p＋2＝2（p2－2p＋1）＝2（p－1）2＞0。

由已知n≥8，則f（n）＞0，P1－P2＞0，即P1＞P2。

學生會負責人：謝謝大家，我明白了！按照這兩種方案，若使本班挑戰成功的可能性更大，應該選擇第三種方式參加比賽，這個比賽既推廣了傳統文化，又啟發每班進行方法選擇的數學研究，我感到非常有意義！

設計意圖：基于進階性的問題情境設置，意在圍繞數學核心內容，從而搭設一系列由淺入深、由表層知識到知識本源、問題序列的情境，給予學生體會由 “用以致學”到 “學以致用”的機會。

（四）回顧情境，反思問題

師生進一步梳理知識，總結完善知識體系，并形成發現提出問題、分析解決問題的路徑（見圖2）。

圖2 發現提出問題、分析解決問題的路徑圖

三、教學反思

（一）問題情境要引 “深”到學生世界中

學生作為學習的主體，在數學知識基礎、認知基礎等方面存在一定差異，構建的問題情境要能讓數學知識引起不同層次的學生深度互動，才能不斷激發興趣、激發情感、激活思維，才能使用數學的眼光觀察世界成為可能。

（二）問題情境引 “深”到現實的問題中

引導學生對現實生活中客觀存在的現象，運用數學知識，有意識地、主動地對其進行解釋，實現對現象本質的認識；同時學生學到一定的數學知識后，要有意識地思考在現實生活中應用這個數學知識能解決什么問題，理論聯系實際，可以使學生在數學和現實中不斷切換，才能使用數學語言表達世界成為可能。

（三）問題情境引 “深”到知識的本源中

學生超越數學知識表層實現對知識本源的理解、達成意義系統的構成是數學深度學習達成的基本特征之一。問題情境設置，一方面需要引導學生不斷深刻領悟知識本源的基礎上融會貫通；另一方面，需要實現學生對知識的轉化、處理、重構，才能對所學知識本質和規律有真正的理解，才能使用數學的思維思考世界成為可能。