帶有p(t)-Laplacian和Erdélyi-Kober算子的分數階邊值問題的正解

薛 亮

(安徽工業職業技術學院 基礎部,安徽 銅陵 244000)

0 引 言

分數階微積分是整數階微積分的拓展和延伸,帶有邊值條件的分數階微分方程被廣泛應用于工程和科學領域.因此,分數階微分方程解的存在性問題在國內外具有極高的關注度,這類問題的研究對促進現實問題的解決有著巨大的價值[1-7]．近年來,有關p(t)-Laplacian算子的研究獲得了極大的關注.該算子源于物理學,是一類非標準增長算子[8-11].例如,在文獻[8]中,作者運用上下解方法研究一類p(r)-Laplacian方程多點邊值問題解的存在性:

其中,-Δp(r)u=-(|u′|p(r)-2u′)′稱為p(r)-Laplacian．然而,絕大多數的研究局限于p-Laplacian算子(p(t)恒為常數)[12-16]．例如,在文獻[12]中,作者運用不動點定理和混合單調算子理論,研究Riemann-Liouville型分數階微分方程積分邊值問題正解的存在性和唯一性:

截至目前,很少有文獻研究具有p(t)-Laplacian和Erdélyi-Kober積分算子的微分方程邊值問題解的存在性.本文將研究以下分數階積分邊值問題:

(1)

其中,2<α≤3,0<β≤1,δ、η>0,λ>1,γ∈,CDβ為Caputo型分數階導數,f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),φp(t)(·)為p(t)-Laplacian 算子,為Erdélyi-Kober型分數階積分．

1 基礎知識

定義1[17]令f∈C((0,∞),),則f的δ階Erdélyi-Kober分數積分定義為:

(2)

其中,η>0,γ∈.

定義2[1-2]令f:(0,∞)→,則f的α階Caputo導數定義為:

其中,[α]為α的整數部分．

引理1[17]令δ、η>0,γ、q∈,則

(3)

引理2[18]對任意的(t,x)∈[0,1]×,φp(t)(x)=|x|p(t)-2x,是從到的一個同胚,對任意固定的t,關于x嚴格單調增長,且其逆算子定義為:

(4)

引理3[19]令2<α<3,λ≠2,y∈C[0,1],則邊值問題

(5)

有唯一解,其可表達為:

(6)

其中,

(7)

引理4令h(t)∈C[0,1],則邊值問題

(8)

可表達為積分方程:

(9)

其中,

(10)

證明運用分數階微積分運算性質,有:

φp(t)(CDαx(t))=-Iβh(t)+c.

(11)

注意到φp(t)可逆,則

(12)

將t=0代入式(12),并借助CDαx(0)=0,可得:

(13)

結合引理2可知c=0,從而根據式(12),可知:

由此可得:

證畢．

引理5[17]令2<α<3,0<λ<2,則G(t,s)滿足不等式:

(14)

定義集合P(θ,b,d)={x∈P:b≤θ(x),‖x‖≤d},Pc={x∈P:‖x‖≤c},其中b、c、d>0.

引理6[20]令P是Banach空間E上的一個錐,T:Pc→Pc是一全連續映射．若存在非負連續凹泛函θ,使得θ(x)≤‖x‖,x∈P和正數a

(Ⅰ) {x∈P(θ,b,d):θ(x)>b}≠φ且θ(Tx)>b,x∈P(θ,b,d);

(Ⅱ) ‖Tx‖

(Ⅲ)θ(Tx)>b,x∈P(θ,b,d)且‖Tx‖>b．

則T在Pc中至少有3個不動點x1、x2、x3．

2 主要結論

定義算子T:Pc→Pc:

(15)

定義非負連續凹泛函θ:

(16)

為方便起見,記

定理1若存在正數a

則問題(1)至少有3個正解.

因此,可得:

然后證明T是等度連續的.

對任意的x∈Ω,有:

因此,對任意的t1、t2∈[0,1]且t1

綜上,根據Arzelà-Ascoli定理,可得T:Pc→Pc是一全連續算子.

若x∈Pc,則有:

這表明T:Pc→Pc.類似的,由定理1(Ⅰ)可得‖Tx‖

{x∈P(θ,b,d):θ(x)>b}≠φ.

若x∈P(θ,b,d),根據定理1(Ⅱ)可得b≤x(t)≤c,t∈[τ,1-τ]和

這說明引理6(Ⅰ)滿足.當d=c,由引理6(Ⅰ)可得引理6(Ⅲ).至此,引理6的條件全部滿足.因此,問題(1)至少有3個正解.

證畢.

例1考慮以下問題:

(17)

(18)

很容易驗證(I1)～(I3)成立.因此,根據定理1,式(17)至少有3個正解．

3 結 語

本文運用不動點定理研究帶有p(t)-Laplacian和Erdélyi-Kober積分算子的微分方程邊值問題(1)多正解的存在性.先將問題(1)轉化為與其等價的積分方程,再運用不動點定理考察由積分方程構建的算子方程,從而獲得了原問題正解的存在性.