解密神奇的“縮小空間”
——例談“代言畫”的教學(xué)應(yīng)用與價值

文|陳 昱（特級教師） 王甘雨

【教學(xué)困惑】為什么余數(shù)是20？

小學(xué)數(shù)學(xué)有一個學(xué)習(xí)內(nèi)容是被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0 的除法的簡便算法。其算法依據(jù)是商不變規(guī)律，學(xué)習(xí)難點是理解并掌握確定余數(shù)的方法，如900÷40，余數(shù)為什么是20 而不是2？有不少數(shù)學(xué)教師在確定余數(shù)時自己都有疑惑，筆者常在各種教研群里見到此類問題的熱烈討論；即便教師知道確定余數(shù)的方法與原理，在課堂上也難以讓學(xué)生理解而真正學(xué)懂。

對于這個問題，某配套《教師教學(xué)用書》給出如下教學(xué)建議：組織學(xué)生討論，使之認識到被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時去掉一個“0”后，算式表示90 個十除以4個十，算出的余數(shù)表示還剩2 個十，所以余數(shù)是20。但是，在實際課堂上，這樣的算理學(xué)生不容易明白，反而會陷入誤區(qū)：余數(shù)2 既然表示2 個十，那商22 也應(yīng)該是22 個十，因為它們在百位和十位上……

面對如此教學(xué)窘境，我們該如何應(yīng)對？只靠上面的機械說理遠不能為學(xué)生解惑，要解決這個問題，還得回歸被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0 的除法的簡便算法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，輔以具體實例。課堂上筆者試著運用“商不變規(guī)律”有效化解難題，還意外激發(fā)出學(xué)生對這一簡便算法的“情境版演繹”。

【教學(xué)突破】基于商不變規(guī)律

課堂上學(xué)生提出“余數(shù)是20，商是220”后，筆者靈機一動立即想到要拿起“商不變規(guī)律”這個武器，于是有了如下教學(xué)：

師：大家看這個簡便算法，商是220 嗎？

生1：商是220 就不對了，我驗算過了。

生2：可是那個2 明明在十位上啊！

師：我們進行這樣的簡便算法，依據(jù)是什么？

生：商不變規(guī)律！被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，商不變。

師：是呀！商-不-變呀！

生3：根據(jù)商不變規(guī)律，這里的商應(yīng)該還是22 才對（注：聚焦簡便算法前，學(xué)生自主計算環(huán)節(jié)，有出現(xiàn)直接算900 除以40 商22 余20）。

師：與剛才的筆算相比，簡便算法的豎式什么變了，什么沒有變？

生4：在簡便算法的豎式里，被除數(shù)和除數(shù)都縮小了10 倍，商沒有變。（注：“縮小10 倍”是習(xí)慣說法，就是“縮小到原數(shù)的”，下同）

生2：我明白了！簡便算法就是一種神奇的算法，在這里，被除數(shù)和除數(shù)縮小了10 倍，余數(shù)也跟著縮小了10 倍，但是商卻保持不變。

師：說得真好！這種算法之所以神奇，是因為它用到了一個重要的規(guī)律，那就是？

生：商不變規(guī)律！

師：那現(xiàn)在你會將橫式寫完整嗎？動筆寫一寫。

生5：我寫好了，我想提醒大家注意，橫式上的商和豎式的一樣，橫式上的余數(shù)跟豎式的不一樣，得添個0。

生6：我有個更好的想法！這個豎式就相當(dāng)于一個神奇的“縮小空間”！

師：“縮小空間”？聽起來就很神奇！你可以解釋一下嗎？

生6：你們看，這個豎式就是一個“縮小空間”，要進入這個空間，什么都必須縮小10 倍，像被除數(shù)、除數(shù)和余數(shù)都縮小了10 倍；但商除外，因為商有“尚方寶劍”，這個尚方寶劍就是商不變規(guī)律。

生7：好想法！我有補充，我們填寫橫式或者寫答語時，就好比跳出了“縮小空間”，這時候那些數(shù)字就會恢復(fù)“真身”，余數(shù)就要還原成縮小前的20，商一直不變。

師：你們的發(fā)言太精彩了，多么神奇的“縮小空間”啊！從大家的表情看，我知道你們都深深懂得了其中的道理。我還有另一個版本的解釋：被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時去掉一個“0”后，算式表示90 個十除以4個十，算出的余數(shù)表示還剩2 個十，所以余數(shù)是20。至于商為什么還是22，在學(xué)習(xí)商不變規(guī)律時大家應(yīng)該就已經(jīng)明白，900 里最多有22 個40，90（個十）里最多有22 個4（個十）。

以上教學(xué)之所以能突破學(xué)生的認知難點，為廣大學(xué)生普遍接受，主要是因為回歸了問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，緊扣商不變規(guī)律來引導(dǎo)學(xué)生理解。一方面運用商不變規(guī)律化解了被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0 的除法的簡便算法的算理困惑，另一方面也深化了對商不變規(guī)律的理解。教學(xué)圍繞學(xué)生的理解分不同層次推進：學(xué)生自由理解——引用商不變規(guī)律理解——學(xué)生創(chuàng)造性理解——算理性理解，如此這般，由里及外掃除學(xué)生的理解障礙，真正做到為理解和掌握而教，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也得以真實地發(fā)生。

【應(yīng)用掌握】充分理解和說明算理

為了加深學(xué)生理解，筆者設(shè)計了一份課后的“畫計算”作業(yè)：畫出400÷70 的簡便算法，將每一步的算理表達清楚。學(xué)生的表現(xiàn)可圈可點，充分體現(xiàn)了他們對這一學(xué)習(xí)難點的深刻領(lǐng)會（如圖1～4）。

圖1

圖2

圖3

圖4

學(xué)生對這一內(nèi)容有了較為深入的認識，當(dāng)他們在單元測試中遇到相關(guān)問題時表現(xiàn)出了非常難得的應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。如圖5 所示，這是一道除法算式題，題目要求“用你喜歡的方法計算”，大部分學(xué)生像圖中左邊那樣用豎式計算，得到“商26 余12”；少數(shù)學(xué)生像圖中右邊那樣利用除法的性質(zhì)簡算，得到“商26 余4”“商26 余2”“商26 余6”幾種結(jié)果。于是問題來了：算法不同，這些算法都是有根有據(jù)的，商也都一樣，為什么余數(shù)不一樣呢？問題出在哪兒？

圖5

經(jīng)過獨立思考，學(xué)生有了自己的想法。生1 最先陳述觀點，還畫出了自己的思考（如圖6），她經(jīng)過“試驗”和比較，認為“一定是余數(shù)搞的鬼”，并發(fā)現(xiàn)有余數(shù)的除法算式不可以利用除法的性質(zhì)簡算。

圖6

生2 也有類似的想法（如圖7）：480÷18=26……12 是對的，因為在有余數(shù)的除法算式中，除數(shù)越大余數(shù)就越大（除數(shù)越小余數(shù)也越小），而簡便算法（指利用除法的性質(zhì)）把除數(shù)變小了，余數(shù)也就變小了，所以簡便算法只可以算沒有余數(shù)的除法。

圖7

此時，筆者追問：商26 余12 是誰的計算結(jié)果？商26 余4 呢？在簡算的過程中發(fā)生了什么改變？原來的余數(shù)12 是怎樣變成4、2、6 的？請大家想一想，小組內(nèi)議一議。

全班交流環(huán)節(jié)，大家得出一致的看法：商26 余12 是480÷18 的結(jié)果；商26 余4 是160÷6 的結(jié)果，相當(dāng)于進入縮小空間，把被除數(shù)、除數(shù)同時縮小3 倍，根據(jù)商不變規(guī)律，商不變，但余數(shù)也縮小了3 倍變成了4，要想寫出480÷18 的結(jié)果，需要將余數(shù)4 擴大3 倍還原成12 才行；商26 余2 是80÷3 的結(jié)果，被除數(shù)、除數(shù)、余數(shù)同時縮小了6 倍；商26 余6 是240÷9 的結(jié)果，被除數(shù)、除數(shù)、余數(shù)同時縮小了2 倍……

至此，學(xué)生對商不變規(guī)律、除法的性質(zhì)、有余數(shù)的除法等知識有了較為深刻且本質(zhì)的認知，從而體味出數(shù)學(xué)本身的無窮魅力。

【研究聚焦】“代言畫”的產(chǎn)生背景與教學(xué)價值

上例中“畫出400÷70 的簡便算法”其實是“畫計算”中的一種形式，這種形式也叫為豎式代言的“代言畫”。“代言畫”一般基于算式，用精煉的文字輔以箭頭等符號說明計算的算法與算理。除了“代言畫”，“畫計算”的形式主要還有實物畫、幾何圖形畫、點陣畫、模型畫、數(shù)式畫等（見表1）。

表1 “畫計算”課程簡表

“畫計算”諸多形式的產(chǎn)生主要基于學(xué)生的認知心理特征和具體計算的表征需要。一年級學(xué)生偏向于實物畫，并且很快就自發(fā)對所畫實物加以簡化和符號化處理，如表2 中實物畫實例就是簡化后的小棒圖，所以只需稍加引導(dǎo)，學(xué)生就能掌握最常見、最重要的形式——幾何圖形畫。隨著學(xué)生年齡和計算數(shù)據(jù)的增大，一方面，學(xué)生覺得沒有必要繼續(xù)畫實物或圖形，于是就產(chǎn)生了直接在算式上畫計算思考過程的數(shù)式畫；另一方面，一些較復(fù)雜計算如果再用幾何圖形畫就顯得非常繁復(fù)（如圖8），由此點陣畫、模型畫、代言畫應(yīng)運而生。點陣畫、面積模型畫、點線模型畫還帶有較強的“以形助數(shù)”“以形象表征抽象”的屬性，其中點線模型畫結(jié)構(gòu)特別精妙，不僅含有點陣畫的意思，而且蘊含著類似于“位值”的“線值”意義；而地錦模型畫、數(shù)式畫、代言畫基本已經(jīng)不具備這種屬性了，其中地錦模型畫像豎式一樣，更多只是計算過程的一種記錄。盡管在以形助數(shù)程度方面有差異，但是所有的“畫計算”形式都能夠較清楚地表征和解釋計算思維。

表2 “畫計算”主要形式舉例

圖8

這樣一梳理，不難看出“代言畫”對計算的表征不再依賴直觀圖形，而是付諸圈畫與文字符號，同數(shù)式畫一樣是一種“符號畫”。它可以基于算式本身加以說明，具有很強的靈活性和適應(yīng)性，可以避免像其他主要利用直觀圖形的形式那樣出現(xiàn)繁復(fù)、難以表征等現(xiàn)象，且保留了“數(shù)學(xué)畫”的作品屬性和理解功能，同樣能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)作欲望和學(xué)習(xí)興趣，亦能夠促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，從而可以在更大范圍上加以教學(xué)應(yīng)用。

“代言畫”的產(chǎn)生及廣泛的教學(xué)應(yīng)用也凸顯了“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)提倡多元表征、不惟畫圖、兼容并包的教學(xué)理念與價值追求。“代言人”的角色帶入與學(xué)習(xí)主人意識給予學(xué)生的不僅僅是教學(xué)手段與技術(shù)層面的革新，也不僅僅是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的增進，更涉及對“人”的尊重、對“全人”的培育。